الانغماس (الرياضيات)

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 25 صور
الموسوعة الحرة
زجاجة كلاين ، مغمورة في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

في الرياضيات ، الغمر هو دالة قابلة للتفاضل بين مشعبات قابلة للتفاضل، ويكون دفعها التفاضلي الأمامي حقنيًا في كل مكان . [ 1 ] وبالتحديد، f  : M → N هو غمر إذا

دصو:تيصم→تيو(ص)شمال{\displaystyle D_{p}f:T_{p}M\to T_{f(p)}N\,}

هي دالة أحادية عند كل نقطة p من M (حيث T p X يرمز إلى الفضاء المماسي لمتشعب X عند نقطة p في X، و D p f هي مشتقة (دفع للأمام) التطبيق f عند النقطة p ). وبصورة مكافئة، يكون f غمرًا إذا كانت مشتقته ذات رتبة ثابتة تساوي بُعد M : [ 2 ]

رتبةدصو=خافت⁡م.{\displaystyle \operatorname {rank} \,D_{p}f=\dim M.}

لا يشترط أن تكون الدالة f نفسها أحادية، بل يجب أن تكون مشتقتها كذلك.

مقابل التضمين

مفهوم ذو صلة هو مفهوم التضمين . التضمين الأملس هو غمر حقني f  : M → N وهو أيضًا تضمين طوبولوجي ، بحيث يكون M متماثلًا مع صورته في N. الغمر هو تحديدًا تضمين محلي - أي أنه لأي نقطة x ∈ M، توجد جوار U ⊆ M لـ x بحيث يكون f  : U → N تضمينًا، والعكس صحيح. [ 3 ] بالنسبة للمشعبات اللانهائية الأبعاد، يُعتبر هذا أحيانًا تعريفًا للغمر. [ 4 ]

مشعب فرعي مغمور حقنياً ليس تضميناً.

إذا كانت M متراصة ، فإن الغمر الحقني هو تضمين، ولكن إذا لم تكن M متراصة، فإن الغمر الحقني ليس بالضرورة أن يكون تضمينًا؛ قارن ذلك بالتقابلات المستمرة مقابل التشاكلات الموضعية .

التماثل المنتظم

يُعرَّف التماثل المنتظم بين غمرين f و g من متعدد الشعب M إلى متعدد الشعب N بأنه دالة قابلة للتفاضل H : M × [ 0,1 ] → N بحيث تكون الدالة  H t : M → N المعرفة بـ H t ( x ) = H ( x , t ) لكل x ∈ M غمرًا ، مع H 0 = f و H 1 = g . وبالتالي ، فإن التماثل المنتظم هو تماثل عبر الغمرات. 

تصنيف

بدأ هاسلر ويتني الدراسة المنهجية للغمر والتماثل المنتظم في الأربعينيات من القرن العشرين، حيث أثبت أنه بالنسبة لـ 2 m < n + 1، فإن كل تطبيق f  : M m → N n من مشعب ذي أبعاد m إلى مشعب ذي أبعاد n يكون متماثلًا مع الغمر، وفي الواقع مع التضمين لـ 2 m < n ؛ هذه هي نظرية ويتني للغمر ونظرية ويتني للتضمين .

عبّر ستيفن سميل عن فئات التماثل المنتظم للغمر ⁠و:مم→Rن{\displaystyle f:M^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}باعتبارها مجموعات التماثل لمتشعب ستيفل معين. وكان انقلاب الكرة نتيجة لافتة للنظر بشكل خاص.

قام موريس هيرش بتعميم تعبير سميل إلى وصف نظرية التماثل لفئات التماثل المنتظمة للغمر لأي مشعب ذي أبعاد m M m في أي مشعب ذي أبعاد n N n .

قام ميخائيل غروموف بتعميم تصنيف هيرش-سميل للغمر .

وجود

لا ينغمس شريط موبيوس في البعد المشترك 0 لأن حزمة المماس الخاصة به غير تافهة.

العائق الرئيسي أمام وجود الغمرأنا:مم→Rن{\displaystyle i:M^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}⁠ هي الحزمة الطبيعية المستقرة لـ M ، كما تم تحديدها بواسطة فئاتها المميزة ، ولا سيما فئات ستيفل-ويتني الخاصة بها . أي، بما أن ⁠Rن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}بما أن ⁠ قابلة للتوازي ، فإن سحب حزمة المماس الخاصة بها إلى M يكون تافهاً؛ ولأن هذا السحب هو المجموع المباشر لحزمة المماس (المعرفة جوهرياً) على M ، TM ، والتي لها البعد m ، ولحزمة العمودية ν للغمر i ، والتي لها البعد n − m ، فلكي يكون هناك غمر مشترك البعد k لـ M ، يجب أن تكون هناك حزمة متجهة ذات بعد k ، ξ k ، تحل محل حزمة العمودية ν ، بحيث ⁠تيم⊕ζك{\displaystyle TM\oplus \zeta ^{k}}هذا أمر تافه. وعلى العكس من ذلك، بالنظر إلى مثل هذه الحزمة، فإن غمر M مع هذه الحزمة العادية يكافئ غمرًا ذا بُعد مشترك 0 للفضاء الكلي لهذه الحزمة، وهو فضاء مفتوح.

الحزمة الطبيعية المستقرة هي فئة الحزم الطبيعية بالإضافة إلى الحزم التافهة، وبالتالي إذا كانت للحزمة الطبيعية المستقرة بُعد تماثلي k ، فلا يمكن أن تنشأ من حزمة طبيعية (غير مستقرة) ذات بُعد أقل من k . لذا، فإن البُعد التماثلي للحزمة الطبيعية المستقرة، كما يُكشف عنه من خلال أعلى فئة مميزة غير معدومة لها، يُشكل عائقًا أمام عمليات الغمر.

بما أن الفئات المميزة تتضاعف تحت الجمع المباشر لحزم المتجهات، يمكن التعبير عن هذا العائق جوهريًا بدلالة الفضاء M وحزمة المماس الخاصة به وجبر التماثل. وقد صاغ ويتني هذا العائق (بدلالة حزمة المماس، وليس حزمة المتجهات العمودية المستقرة).

فعلى سبيل المثال، يحتوي شريط موبيوس على حزمة مماسية غير تافهة، لذا لا يمكن غمره في البعد المشترك 0 (في ⁠R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}) ، على الرغم من أنها مضمنة في البعد المشترك 1 ( فيR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}) .

أظهر ويليام إس. ماسي ( 1960 ) أن هذه الفئات المميزة (فئات ستيفل-ويتني للحزمة الطبيعية المستقرة) تتلاشى فوق الدرجة n − α ( n ) ، حيث α ( n ) هو عدد الأرقام "1" عند كتابة n بالنظام الثنائي؛ وهذا الحد دقيق، كما يتضح من الفضاء الإسقاطي الحقيقي . وقد قدم هذا دليلاً على فرضية الغمر ، أي أن كل متعدد شعب ذي n بُعد يمكن غمره في بُعد مشترك n − α ( n ) ، أي في R2ن-α(ن).{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-\alpha (n)}.}وقد أثبت رالف كوهين ( 1985 ) صحة هذه الفرضية . 

البُعد الرمزي 0

تُعتبر عمليات الغمر ذات البُعد المشترك صفر مكافئةً لعمليات الغمر الجزئي ذات البُعد النسبي صفر ، ويُفضّل اعتبارها عمليات غمر جزئي. إن عملية الغمر ذات البُعد المشترك صفر لمتشعب مغلق هي تحديدًا خريطة تغطية ، أي حزمة ليفية ذات ألياف منفصلة (صفرية البُعد). وبحسب مبرهنة إهرسمان ومبرهنة فيليبس حول عمليات الغمر الجزئي، فإن عملية الغمر الجزئي الصحيحة للمتشعبات هي حزمة ليفية، وبالتالي فإن عمليات الغمر/الغمر الجزئي ذات البُعد المشترك/البُعد النسبي صفر تتصرف كعمليات غمر جزئي.

علاوة على ذلك، لا تتصرف عمليات الغمر ذات البعد المشترك 0 مثل عمليات الغمر الأخرى، التي تحددها إلى حد كبير الحزمة العادية المستقرة: ففي البعد المشترك 0 توجد مشكلات تتعلق بالفئة الأساسية وفضاءات التغطية. على سبيل المثال، لا يوجد غمر ذو بعد مشترك 0 .S1→R1،{\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {R} ^{1},}على الرغم من إمكانية موازاة الدائرة، وهو ما يمكن إثباته لأن الخط لا يملك فئة أساسية، فلا يمكن الحصول على التطبيق المطلوب على علم التماثل العلوي. أو بدلاً من ذلك، يمكن إثبات ذلك من خلال ثبات المجال . وبالمثل، على الرغم من ...S3{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}والحلقة الثلاثية​تي3{\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}كلاهما قابل للتنفيذ بالتوازي، ولا يوجد انغماس .تي3→S3{\displaystyle \mathbb {T} ^{3}\to \mathbb {S} ^{3}}– أي غطاء من هذا القبيل يجب أن يكون متفرعًا في بعض النقاط، لأن الكرة متصلة ببساطة.

هناك طريقة أخرى لفهم هذا وهي أن غمر متعدد الشعب ذي البعد المشترك k يتوافق مع غمر حزمة متجهات ذات البعد المشترك k ذي البعد المشترك 0، وهو متعدد شعب مفتوح إذا كان البعد المشترك أكبر من 0، ولكنه متعدد شعب مغلق في البعد المشترك 0 (إذا كان متعدد الشعب الأصلي مغلقًا).

نقاط متعددة

النقطة k -tuple (ثنائية، ثلاثية، إلخ) في عملية غمر f  : M → N هي مجموعة غير مرتبة { x 1 , ..., x k } من النقاط المتميزة x i ∈ M التي لها نفس الصورة f ( x i ) ∈ N. إذا كانت M متعددة شعب ذات m بُعد و N متعددة شعب ذات n بُعد، فإن مجموعة النقاط k -tuple في عملية غمر f  : M → N في الوضع العام هي متعددة شعب ذات ( n − k ( n − m )) بُعد. كل تضمين هو عملية غمر بدون نقاط متعددة (حيث k > 1 ). مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن العكس غير صحيح: توجد عمليات غمر أحادية ليست تضمينات.

إن طبيعة النقاط المتعددة تصنف عمليات الغمر؛ على سبيل المثال، يتم تصنيف عمليات غمر الدائرة في المستوى حتى التماثل المنتظم حسب عدد النقاط المزدوجة.

في نقطة محورية في نظرية الجراحة، من الضروري تحديد ما إذا كان الغمرو:Sم→شمال2م{\displaystyle f:\mathbb {S} ^{m}\to N^{2m}}إن جدارًامرتبطًا بـ f، وهو ثابت μ ( f ) في فضاء خارج قسمة حلقةالمجموعة الأساسية ، يكون منتظمًا ومتماثلًا مع تضمين، وفي هذه الحالة يمكن إزالته جراحيًا.Z[π1(شمال)]{\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(N)]}والذي يحسب النقاط المزدوجة لـ f في الغطاء الشامل لـ N. بالنسبة لـ m > 2 ، يكون f متماثلًا منتظمًا مع تضمين إذا وفقط إذا كان μ ( f ) = 0 بواسطة خدعة ويتني .

يمكن دراسة التضمينات باعتبارها "انغماسات بدون نقاط متعددة"، نظرًا لسهولة تصنيف الانغماسات. وبالتالي، يمكن البدء بالانغماسات ومحاولة إزالة النقاط المتعددة، لمعرفة ما إذا كان بالإمكان فعل ذلك دون إدخال حالات شاذة أخرى - أي دراسة "الانفصالات المتعددة". وقد قام أندريه هافليجر بهذا العمل لأول مرة ، ويُعدّ هذا النهج مثمرًا في البُعد المشترك 3 أو أكثر - من وجهة نظر نظرية الجراحة، يُعتبر هذا "بُعدًا مشتركًا عاليًا"، على عكس البُعد المشترك 2 الذي يُمثّل بُعد العقد، كما هو الحال في نظرية العقد . وقد دُرِسَ هذا البُعد تصنيفيًا عبر " حساب الدوال " بواسطة توماس جودويلي ، وجون كلاين ، ومايكل إس. فايس . (مؤرشف في 28 نوفمبر 2009 على موقع Wayback Machine) .

أمثلة وخصائص

الكوادريفوليوم ، الوردة ذات الأربع بتلات.
  • الوردة الرياضية ذات k بتلات هي غمر الدائرة في المستوى بنقطة واحدة من k -tuple؛ يمكن أن يكون k أي عدد فردي، ولكن إذا كان زوجيًا فيجب أن يكون من مضاعفات 4، لذا فإن الشكل 8، مع k = 2 ، ليس وردة.
  • يمكن غمر زجاجة كلاين ، وجميع الأسطح المغلقة الأخرى غير القابلة للتوجيه، في الفضاء ثلاثي الأبعاد ولكن لا يمكن تضمينها.
  • بحسب نظرية ويتني-جراوستين ، يتم تصنيف فئات التماثل المنتظم لغمر الدائرة في المستوى بواسطة عدد اللفات ، وهو أيضًا عدد النقاط المزدوجة المحسوبة جبريًا (أي مع الإشارات).
  • يمكن قلب الكرة رأسًا على عقب : التضمين القياسيو0:S2→R3{\displaystyle f_{0}:\mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}يرتبط بـو1=-و0:S2→R3{\displaystyle f_{1}=-f_{0}:\mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}بواسطة تماثل منتظم للغمروت:S2→R3.{\displaystyle f_{t}:\mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}.}⁠
  • سطح الصبي هو غمر للمستوى الإسقاطي الحقيقي في الفضاء ثلاثي الأبعاد؛ وبالتالي فهو أيضًا غمر بنسبة 2 إلى 1 للكرة.
  • سطح مورين هو غمر للكرة؛ كل من سطح مورين وسطح بوي ينشآن كنموذجين وسطيين في انقلاب الكرة.

منحنيات مستوية مغمورة

يبلغ إجمالي انحناء هذا المنحنى  6 π ، وعدد دوراته  3، على الرغم من أنه يحتوي فقط على عدد لفات  2 حول النقطة p . 

تتميز المنحنيات المستوية المغمورة برقم دوران محدد جيدًا ، يُعرَّف بأنه الانحناء الكلي مقسومًا على  2π . هذا الرقم ثابت تحت التماثل المنتظم، وفقًا لنظرية ويتني-غراوستين - طوبولوجيًا، هو درجة خريطة غاوس ، أو ما يكافئها رقم التفاف المماس الواحد (الذي لا يتلاشى) حول نقطة الأصل. علاوة على ذلك، هذه مجموعة كاملة من الثوابت - أي منحنيين مستويين لهما نفس رقم الدوران يكونان متماثلين منتظمين.

كل منحنى مستوٍ مغمور يتحول إلى منحنى فضائي مضمن عبر فصل نقاط التقاطع، وهو ما لا ينطبق في الأبعاد الأعلى. مع إضافة بيانات (مثل تحديد الخيط العلوي)، تُنتج المنحنيات المستوية المغمورة مخططات العقد ، التي تُعدّ ذات أهمية مركزية في نظرية العقد . في حين أن المنحنيات المستوية المغمورة، حتى التماثل المنتظم، تُحدد بعدد دوراتها، فإن للعقد بنية غنية ومعقدة للغاية.

الأسطح المغمورة في الفضاء ثلاثي الأبعاد

ترتبط دراسة الأسطح المغمورة في الفضاء ثلاثي الأبعاد ارتباطًا وثيقًا بدراسة الأسطح المعقودة (المضمنة) في الفضاء رباعي الأبعاد، قياسًا على نظرية مخططات العقد (المنحنيات المستوية المغمورة في الفضاء ثنائي الأبعاد كإسقاطات لمنحنيات معقودة في الفضاء ثلاثي الأبعاد): فبالنظر إلى سطح معقود في الفضاء رباعي الأبعاد، يمكن إسقاطه على سطح مغمور في الفضاء ثلاثي الأبعاد، وبالعكس، بالنظر إلى سطح مغمور في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يمكن التساؤل عما إذا كان يرتفع إلى الفضاء رباعي الأبعاد - هل هو إسقاط لسطح معقود في الفضاء رباعي الأبعاد؟ وهذا يسمح بربط الأسئلة المتعلقة بهذه الكائنات.

تتمثل إحدى النتائج الأساسية، على عكس حالة المنحنيات المستوية، في أن ليس كل سطح مغمور يرتفع إلى سطح معقّد. [ 5 ] في بعض الحالات، يكون العائق عبارة عن التواء من الدرجة الثانية، كما في مثال كوشوركه ( مؤرشف في 20 يوليو 2011 على موقع Wayback Machine) ، [ 6 ] وهو سطح مغمور (مُشكّل من 3 أشرطة موبيوس، بنقطة ثلاثية ) لا يرتفع إلى سطح معقّد، ولكنه يحتوي على غطاء مزدوج يرتفع. يُقدّم تحليل مفصّل في كارتر وسايتو (1998أ) ، بينما تُقدّم دراسة استقصائية أحدث في كارتر وكامادا وسايتو (2004) .

التعميمات

يُعد مبدأ التماثل تعميمًا واسع النطاق لنظرية الغمر : إذ يُمكن اعتبار شرط الغمر (رتبة المشتقة دائمًا k ) علاقة تفاضلية جزئية ، كما يُمكن التعبير عنها بدلالة المشتقات الجزئية للدالة. ومن ثم، فإن نظرية سميل-هيرش للغمر هي النتيجة المترتبة على اختزال هذه العلاقة إلى نظرية التماثل، ويُقدم مبدأ التماثل شروطًا وأسبابًا عامة لاختزال العلاقات التفاضلية الجزئية إلى نظرية التماثل.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ^ هذا التعريف مقدم من Bishop & Crittenden 1964 ، ص. 185 ، دارلينج 1994 ، ص. 53 ، دو كارمو 1994 ، ص. 11 , فرانكل 1997 ، ص. 169 ، جالوت وهولين ولافونتين 2004 ، ص. 12 ، كوباياشي ونوميزو 1963 ، ص. 9 ، كوسينسكي 2007 ، ص. 27 ، سيكيريس 2004 ، ص. 429 .        
  2. ↑ هذا التعريف مقدم من قبل Crampin & Pirani 1994 ، ص 243 ، Spivak 1999 ، ص 46 .  
  3. ↑ هذا النوع من التعريف، القائم على التشاكلات المحلية، تم تقديمه بواسطة Bishop & Goldberg 1968 ، ص 40 ، Lang 1999 ، ص 26 .  
  4. ↑ هذا النوع من التعريف اللانهائي الأبعاد مقدم من قبل لانغ 1999 ، ص 26 . 
  5. ↑ كارتر وسايتو 1998 ؛ كارتر، كامادا وسايتو 2004 ، ملاحظة 1.23، ص 17
  6. ↑ كوشوركه 1979

مراجع