نظرية K

ومن الأمثلة التوضيحية التي يمكن النظر إليها إنجاز غروتينديك لـ${\displaystyle \mathbb {N} }$يمكننا أن نرى ذلك${\displaystyle G((\mathbb {N} ,+))=(\mathbb {Z} ,+).}$لأي زوج${\displaystyle (a,b)}$يمكننا إيجاد تمثيل بسيط${\displaystyle (a',b')}$باستخدام خاصية الثبات تحت تغيير المقياس. على سبيل المثال، يمكننا أن نرى من خاصية الثبات تحت تغيير المقياس أن

${\displaystyle (4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)}$

بشكل عام، إذا${\displaystyle k:=\min\{a,b\}}$ثم

${\displaystyle (a,b)\sim (ak,bk)}$وهو على شكل${\displaystyle (c,0)}$أو${\displaystyle (0,d).}$

هذا يدل على أنه ينبغي علينا التفكير في${\displaystyle (a,0)}$كأعداد صحيحة موجبة و${\displaystyle (0,b)}$كأعداد صحيحة سالبة.

بالنظر إلى فضاء هاوسدورف المضغوط${\displaystyle X}$لنفترض مجموعة فئات التشاكل لحزم المتجهات ذات الأبعاد المحدودة على${\displaystyle X}$، المشار إليه${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$ولتكن فئة التشاكل لحزمة متجهة${\displaystyle \pi :E\to X}$يُشار إليه بـ${\displaystyle [E]}$بما أن فئات التشاكل لحزم المتجهات تتصرف بشكل جيد فيما يتعلق بالمجاميع المباشرة ، فيمكننا كتابة هذه العمليات على فئات التشاكل بواسطة

${\displaystyle [E]\oplus [E']=[E\oplus E']}$

ينبغي أن يكون واضحاً أن${\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}$هي شبه زمرة تبديلية حيث تُعطى الوحدة بواسطة حزمة المتجهات التافهة${\displaystyle \mathbb {R} ^{0}\times X\to X}$يمكننا بعد ذلك تطبيق إكمال غروتينديك للحصول على زمرة أبيلية من هذه الزمرة الأبلية. وهذا ما يسمى بنظرية K.${\displaystyle X}$ويُشار إليه بـ${\displaystyle K^{0}(X)}$.

يمكننا استخدام نظرية سير-سوان وبعض العمليات الجبرية للحصول على وصف بديل لحزم المتجهات على${\displaystyle X}$كوحدات إسقاطية فوق الحلقة${\displaystyle C^{0}(X;\mathbb {C} )}$من الدوال المركبة المتصلة. بعد ذلك، يمكن تعريف هذه الدوال بمصفوفات متساوية القوة في حلقة ما من المصفوفات.${\displaystyle M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C} ))}$يمكننا تعريف فئات التكافؤ للمصفوفات المتساوية القوة وتشكيل أحادي أبيلي${\displaystyle {\textbf {Idem}}(X)}$ويُطلق على إنجازها من قبل غروتينديك أيضاً اسم${\displaystyle K^{0}(X)}$تُعدّ متتالية أتياس-هيرزبروش الطيفية إحدى التقنيات الرئيسية لحساب زمرة غروتينديك للفضاءات الطوبولوجية ، مما يجعلها سهلة الفهم. والحسابات الوحيدة المطلوبة لفهم المتتاليات الطيفية هي حساب الزمرة.${\displaystyle K^{0}}$بالنسبة للكرات${\displaystyle S^{n}}$[ ^{2 ] الصفحات 51-110}

يوجد بناء مماثل من خلال النظر في حزم المتجهات في الهندسة الجبرية . بالنسبة لمخطط نوثيري${\displaystyle X}$هناك مجموعة${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$جميع فئات التشاكل لحزم المتجهات الجبرية على${\displaystyle X}$ثم، كما في السابق، المجموع المباشر${\displaystyle \oplus }$إن فئات التشاكلات لحزم المتجهات محددة جيدًا، مما يعطي أحاديًا أبيليًا${\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}$ثم مجموعة غروتينديك${\displaystyle K^{0}(X)}$يتم تعريفها من خلال تطبيق بناء غروتينديك على هذا المونويد الأبلي.

في الهندسة الجبرية، يمكن تطبيق نفس البناء على حزم المتجهات الجبرية على مخطط أملس. ولكن، يوجد بناء بديل لأي مخطط نوثري.${\displaystyle X}$إذا نظرنا إلى فئات التشاكل للحزم المتماسكة${\displaystyle \operatorname {Coh} (X)}$يمكننا التعديل حسب العلاقة${\displaystyle [{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']}$إذا كان هناك تسلسل دقيق قصير

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0.}$

وهذا يعطي مجموعة غروتينديك${\displaystyle K_{0}(X)}$وهو متماثل مع${\displaystyle K^{0}(X)}$لو${\displaystyle X}$سلس. المجموعة${\displaystyle K_{0}(X)}$وهي مميزة لوجود بنية حلقية أيضًا: نُعرّفها على النحو التالي:

${\displaystyle [{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operatorname {Tor} _{k}^{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\right].}$

باستخدام نظرية غروتينديك-ريمان-روخ ، لدينا أن

${\displaystyle \operatorname {ch} :K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to A(X)\otimes \mathbb {Q} }$

هو تماثل بين الحلقات. لذا يمكننا استخدام${\displaystyle K_{0}(X)}$لنظرية التقاطع . ^{[ 3 ]}

أبسط مثال على مجموعة غروتينديك هو مجموعة غروتينديك لنقطة${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {F} )}$لمجال${\displaystyle \mathbb {F} }$بما أن حزمة المتجهات فوق هذا الفضاء هي مجرد فضاء متجهي محدود الأبعاد، وهو كائن حر في فئة الحزم المتماسكة، وبالتالي إسقاطي، فإن أحادي فئات التشاكل هو${\displaystyle \mathbb {N} }$يتوافق ذلك مع بُعد الفضاء المتجهي. ومن السهل إثبات أن زمرة غروتينديك هي كذلك.${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

إحدى الخصائص المهمة لمجموعة غروتينديك في مخطط نوثيري${\displaystyle X}$إنها ثابتة تحت الاختزال، ومن ثم${\displaystyle K(X)=K(X_{\text{red}})}$[ ^{7 ]} ومن ثم مجموعة غروتينديك لأي ^أرتيني${\displaystyle \mathbb {F} }$الجبر هو مجموع مباشر لنسخ من${\displaystyle \mathbb {Z} }$واحد لكل مكون متصل من مكونات طيفه. على سبيل المثال، $${\displaystyle K_{0}\left({\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {F} [x]}{(x^{9})}}\times \mathbb {F} \right)\right)=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$$

تُعد عملية حساب مجموعة غروتينديك واحدة من أكثر العمليات الحسابية استخدامًا.${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}$للفضاء الإسقاطي فوق حقل. وذلك لأن أعداد التقاطع للإسقاط${\displaystyle X}$يمكن حسابها عن طريق التضمين${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{n}}$وباستخدام صيغة الدفع والسحب${\displaystyle i^{*}([i_{*}{\mathcal {E}}]\cdot [i_{*}{\mathcal {F}}])}$وهذا يجعل من الممكن إجراء حسابات ملموسة باستخدام العناصر في${\displaystyle K(X)}$دون الحاجة إلى معرفة بنيتها بشكل صريح منذ ^{[ 8 ]}$${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})={\frac {\mathbb {Z} [T]}{(T^{n+1})}}}$$ إحدى تقنيات تحديد مجموعة غروتينديك لـ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ينبع ذلك من تصنيفها الطبقي كـ $${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}=\mathbb {A} ^{n}\coprod \mathbb {A} ^{n-1}\coprod \cdots \coprod \mathbb {A} ^{0}}$$ بما أن مجموعة غروتينديك للحزم المتماسكة على الفضاءات الأفينية متماثلة مع${\displaystyle \mathbb {Z} }$وتقاطع${\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1}},\mathbb {A} ^{n-k_{2}}}$بشكل عام $${\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1}}\cap \mathbb {A} ^{n-k_{2}}=\mathbb {A} ^{n-k_{1}-k_{2}}}$$ ل${\displaystyle k_{1}+k_{2}\leq n}$.

صيغة أخرى مهمة لمجموعة غروتينديك هي صيغة الحزمة الإسقاطية: ^{[ 9 ]} بالنظر إلى حزمة متجهات من الرتبة r${\displaystyle {\mathcal {E}}}$على أساس مخطط نوثيري${\displaystyle X}$، مجموعة غروتينديك للحزمة الإسقاطية${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} ^{\bullet }({\mathcal {E}}^{\vee }))}$هو مجاني${\displaystyle K(X)}$- وحدة نمطية من الرتبة r ذات أساس${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{n-1}}$تسمح هذه الصيغة بحساب مجموعة غروتينديك لـ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{n}}$وهذا يجعل من الممكن حساب${\displaystyle K_{0}}$أو أسطح هيرزبروش. بالإضافة إلى ذلك، يمكن استخدام هذا لحساب مجموعة غروتينديك.${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}$بملاحظتها، فهي حزمة إسقاطية فوق الحقل${\displaystyle \mathbb {F} }$.

تعتمد إحدى التقنيات الحديثة لحساب مجموعة غروتينديك للفضاءات ذات النقاط الشاذة الثانوية على تقييم الفرق بين${\displaystyle K^{0}(X)}$و${\displaystyle K_{0}(X)}$وهذا ينبع من حقيقة أنه يمكن وصف كل حزمة متجهة بشكل مكافئ على أنها حزمة متماسكة. ويتم ذلك باستخدام مجموعة غروتينديك لفئة التفرد.${\displaystyle D_{sg}(X)}$^{[ 10 ] [ 11 ]} منالهندسة الجبرية غير التبادلية المشتقة. وهي تعطي متتالية تامة طويلة تبدأ بـ $${\displaystyle \cdots \to K^{0}(X)\to K_{0}(X)\to K_{sg}(X)\to 0}$$ حيث تأتي الحدود الأعلى من نظرية K الأعلى . لاحظ أن حزم المتجهات على مفردة${\displaystyle X}$يتم تحديدها بواسطة حزم متجهة${\displaystyle E\to X_{sm}}$على الموضع الأملس${\displaystyle X_{sm}\hookrightarrow X}$وهذا يُتيح حساب زمرة غروتينديك على الفضاءات الإسقاطية الموزونة، نظرًا لأنها عادةً ما تحتوي على نقاط شاذة معزولة في فضاء القسمة. وعلى وجه الخصوص، إذا كانت هذه النقاط الشاذة تحتوي على زمر تماثل.${\displaystyle G_{i}}$ثم الخريطة $${\displaystyle K^{0}(X)\to K_{0}(X)}$$ هي دالة حقنية ويتم إفناء النواة المشتركة بواسطة${\displaystyle {\text{lcm}}(|G_{1}|,\ldots ,|G_{k}|)^{n-1}}$ل${\displaystyle n=\dim X}$[ ^{11 ] صفحة 3}

للحصول على منحنى إسقاطي سلس${\displaystyle C}$مجموعة غروتينديك هي $${\displaystyle K_{0}(C)=\mathbb {Z} \oplus {\text{Pic}}(C)}$$ لمجموعة بيكارد​${\displaystyle C}$وينتج هذا عن متتالية براون-غيرستن-كويلين الطيفية ^{[ 12 ] صفحة 72} لنظرية K الجبرية . بالنسبة لمخطط منتظم من النوع المحدود على حقل، توجد متتالية طيفية متقاربة $${\displaystyle E_{1}^{p,q}=\coprod _{x\in X^{(p)}}K^{-p-q}(k(x))\Rightarrow K_{-p-q}(X)}$$ ل${\displaystyle X^{(p)}}$مجموعة الأبعاد المشتركة${\displaystyle p}$النقاط، أي مجموعة المخططات الفرعية${\displaystyle x:Y\to X}$من الأبعاد المشتركة${\displaystyle p}$، و${\displaystyle k(x)}$حقل الدوال الجبرية للمخطط الفرعي. تتمتع هذه المتتالية الطيفية بالخاصية ^{[ 12 ] صفحة 80}$${\displaystyle E_{2}^{p,-p}\cong {\text{CH}}^{p}(X)}$$ لحلقة تشاو${\displaystyle X}$، مما يعطي أساسًا حساب${\displaystyle K_{0}(C)}$لاحظ ذلك لأن${\displaystyle C}$ليس له بُعد رمزي${\displaystyle 2}$النقاط، الأجزاء الوحيدة غير التافهة من التسلسل الطيفي هي${\displaystyle E_{1}^{0,q},E_{1}^{1,q}}$، لذلك $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\infty }^{1,-1}\cong E_{2}^{1,-1}&\cong {\text{CH}}^{1}(C)\\E_{\infty }^{0,0}\cong E_{2}^{0,0}&\cong {\text{CH}}^{0}(C)\end{aligned}}}$$يمكن بعد ذلك استخدام ترشيح المستوى لتحديد${\displaystyle K_{0}(C)}$باعتبارها المجموع المباشر الصريح المطلوب لأنها تعطي متتالية تامة $${\displaystyle 0\to F^{1}(K_{0}(X))\to K_{0}(X)\to K_{0}(X)/F^{1}(K_{0}(X))\to 0}$$ حيث يكون الحد الأيسر متماثلاً مع${\displaystyle {\text{CH}}^{1}(C)\cong {\text{Pic}}(C)}$والطرف الأيمن متماثل مع${\displaystyle CH^{0}(C)\cong \mathbb {Z} }$. منذ${\displaystyle {\text{Ext}}_{\text{Ab}}^{1}(\mathbb {Z} ,G)=0}$لدينا تسلسل الزمر الأبيلية أعلاه ينقسم، مما يعطي التشاكل. لاحظ أنه إذا${\displaystyle C}$هو منحنى إسقاطي أملس من جنس${\displaystyle g}$زيادة${\displaystyle \mathbb {C} }$، ثم $${\displaystyle K_{0}(C)\cong \mathbb {Z} \oplus (\mathbb {C} ^{g}/\mathbb {Z} ^{2g})}$$ علاوة على ذلك، يمكن توسيع التقنيات المذكورة أعلاه، والتي تستخدم فئة النقاط الشاذة المشتقة للنقاط الشاذة المعزولة، لتشمل نقاط كوهين-ماكولي الشاذة المعزولة ، مما يوفر تقنيات لحساب زمرة غروتينديك لأي منحنى جبري شاذ. ويعود ذلك إلى أن الاختزال ينتج عنه منحنى أملس بشكل عام، وجميع النقاط الشاذة هي من نوع كوهين-ماكولي.

من التطبيقات المفيدة لمجموعة غروتينديك تعريف حزم المتجهات الافتراضية. على سبيل المثال، إذا كان لدينا تضمين للفضاءات الملساء${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$ثم هناك تسلسل دقيق قصير

${\displaystyle 0\to \Omega _{Y}\to \Omega _{X}|_{Y}\to C_{Y/X}\to 0}$

أين${\displaystyle C_{Y/X}}$هي الحزمة المعيارية المشتركة لـ${\displaystyle Y}$في${\displaystyle X}$إذا كان لدينا فضاء منفرد${\displaystyle Y}$مدمج في مساحة ناعمة${\displaystyle X}$نُعرّف الحزمة الطبيعية الافتراضية على النحو التالي:

${\displaystyle [\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]}$

من التطبيقات المفيدة الأخرى للحزم الافتراضية تعريف حزمة مماسية افتراضية لتقاطع الفضاءات: ليكن${\displaystyle Y_{1},Y_{2}\subset X}$لتكن أصنافًا فرعية إسقاطية من صنف إسقاطي أملس. عندئذٍ، يمكننا تعريف حزمة المماس الافتراضية لتقاطعها.${\displaystyle Z=Y_{1}\cap Y_{2}}$مثل

${\displaystyle [T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}]|_{Z}.}$

يستخدم كونتسيفيتش هذا التركيب في إحدى أوراقه البحثية. ^{[ 13 ]}

يمكن استخدام فئات تشيرن لإنشاء تشاكل بين الحلقات من نظرية K الطوبولوجية للفضاء إلى (إكمال) تماثلها العقلاني. بالنسبة لحزمة خطية L ، يُعرَّف رمز تشيرن ch كما يلي:

${\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$

وبشكل أعم، إذا${\displaystyle V=L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n}}$هو مجموع مباشر لحزم الخطوط، مع فئات تشيرن الأولى${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$يتم تعريف خاصية تشيرن بشكل إضافي

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\dots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\dots +x_{n}^{m}).}$

يُعدّ مُعامل تشيرن مفيدًا جزئيًا لأنه يُسهّل حساب فئة تشيرن لجداء الموترات. ويُستخدم مُعامل تشيرن في نظرية هيرزبروش-ريمان-روخ .