توزيع النسب

التوزيع النسبي ( المعروف أيضًا بالتوزيع القسمي ) هو توزيع احتمالي يُبنى على أساس توزيع نسبة متغيرين عشوائيين لهما توزيعان معروفان آخران. فعلى سبيل المثال، إذا كان لدينا متغيران عشوائيان (عادةً مستقلان ) $X$ و $Y$ ، فإن توزيع المتغير العشوائي $Z$ الذي يُحسب كنسبة $Z = X / Y$ هو توزيع نسبي .

من الأمثلة على ذلك توزيع كوشي (ويُسمى أيضًا توزيع النسبة الطبيعية )، وهو ناتج عن نسبة متغيرين موزعين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط صفر. وهناك توزيعان آخران يُستخدمان بكثرة في إحصاءات الاختبار، وهما أيضًا توزيعات نسبية: توزيع $t$ للطالب ، الناتج عن قسمة متغير عشوائي غاوسي على متغير عشوائي مستقل موزع توزيع كاي ، بينما ينشأ توزيع F من نسبة متغيرين عشوائيين مستقلين موزعين توزيع كاي تربيع . وقد تناولت الدراسات المنشورة توزيعات نسبية أكثر عمومية. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

غالباً ما تكون توزيعات النسب ذات ذيول سميكة ، وقد يصعب التعامل مع هذه التوزيعات وتطوير اختبار إحصائي مناسب لها . وقد اقتُرحت طريقة تعتمد على الوسيط كحل بديل. ^{[ 8 ]}

جبر المتغيرات العشوائية

النسبة هي أحد أنواع الجبر للمتغيرات العشوائية: ترتبط بتوزيع النسبة توزيع الضرب ، وتوزيع المجموع ، وتوزيع الفرق . وبشكل أعم، يمكن الحديث عن تراكيب من المجاميع والفروق والضرب والنسب. وقد وُصفت العديد من هذه التوزيعات في كتاب ميلفين د. سبرينغر الصادر عام 1979 بعنوان "جبر المتغيرات العشوائية" . ^{[ 5 ]}

لا تنطبق القواعد الجبرية المعروفة للأعداد العادية على جبر المتغيرات العشوائية . على سبيل المثال، إذا كان حاصل الضرب ⁠ $C=AB$ والنسبة هي $D=C/A$ لا يعني ذلك بالضرورة أن توزيعات $D$ و $B$ هما متطابقان. في الواقع، يُلاحظ تأثيرٌ خاصٌ لتوزيع كوشي : إن حاصل ضرب ونسبة توزيعين مستقلين لكوشي (لهما نفس معامل المقياس ومعامل الموقع مُعيّن على الصفر) يُعطيان نفس التوزيع.^{[ 5 ]} ويتضح هذا عند اعتبار توزيع كوشي نفسه توزيعًا نسبيًا لتوزيعين غاوسيين بمتوسطات صفرية: لنفترض متغيرين عشوائيين من نوع كوشي ، $C_{1}$ و $C_{2}$ ، كل منها مُنشأ من توزيعين غاوسيين $C_{1}=G_{1}/G_{2}$ و $C_{2}=G_{3}/G_{4}$ ثم ${\frac {C_{1}}{C_{2}}}={\frac {{G_{1}}/{G_{2}}}{{G_{3}}/{G_{4}}}}={\frac {G_{1}G_{4}}{G_{2}G_{3}}}={\frac {G_{1}}{G_{2}}}\times {\frac {G_{4}}{G_{3}}}=C_{1}\times C_{3},$ أين $C_{3}=G_{4}/G_{3}$ الحد الأول هو نسبة توزيعين كوشي بينما الحد الأخير هو حاصل ضرب توزيعين من هذا القبيل.

الاشتقاق

طريقة لاستخلاص توزيع النسبة لـ $Z=X/Y$ من التوزيع المشترك للمتغيرين العشوائيين الآخرين $X$ ، $Y$ ، مع ملف PDF مشترك $p_{X,Y}(x,y)$ ، وذلك عن طريق التكامل بالشكل التالي^{[ 2 ]} $p_{Z}(z)=\int _{-\infty }^{+\infty }|y|\,p_{X,Y}(zy,y)\,dy.$

إذا كان المتغيران مستقلين، $p_{XY}(x,y)=p_{X}(x)p_{Y}(y)$ ويصبح هذا $p_{Z}(z)=\int _{-\infty }^{+\infty }|y|\,p_{X}(zy)p_{Y}(y)\,dy.$

قد لا يكون هذا الأمر بسيطًا. على سبيل المثال، لنأخذ المسألة الكلاسيكية لنسبة عينتين غاوسيتين قياسيتين. دالة كثافة الاحتمال المشتركة هي $p_{X,Y}(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right)\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2}}\right).$

تعريف $Z=X/Y$ لدينا ${\begin{aligned}p_{Z}(z)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\,|y|\,\exp \left(-{\frac {\left(zy\right)^{2}}{2}}\right)\,\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2}}\right)\,dy\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\,|y|\,\exp \left(-{\frac {y^{2}\left(z^{2}+1\right)}{2}}\right)\,dy.\end{aligned}}$ باستخدام التكامل المحدد المعروف ${\textstyle \int _{0}^{\infty }x\exp \left(-cx^{2}\right)dx={\frac {1}{2c}}}$ نحصل $p_{Z}(z)={\frac {1}{\pi (z^{2}+1)}},$ وهو توزيع كوشي، أو توزيع $t$ للطالب مع ⁠ $n=1$ ⁠ .

وقد تم اقتراح تحويل ميلين أيضاً لاشتقاق توزيعات النسب. ^{[ 5 ]}

في حالة المتغيرات المستقلة الموجبة، اتبع الخطوات التالية. يوضح الرسم البياني توزيعًا ثنائي المتغيرات قابلًا للفصل $f_{x,y}(x,y)=f_{x}(x)f_{y}(y)$ والذي يحظى بدعم في الربع الموجب $x,y>0$ ونرغب في إيجاد دالة كثافة الاحتمال للنسبة ⁠ $R=X/Y$ . الحجم المظلل أعلى الخط ⁠ $y=x/R$ يمثل التوزيع التراكمي للدالة $f_{x,y}(x,y)$ مضروبًا في الدالة المنطقية $X/Y\leq R$ يتم أولاً حساب الكثافة في شرائح أفقية؛ الشريحة الأفقية عند ارتفاع معين $y$ يمتد من $x=0$ إلى $x=Ry$ وله احتمال متزايد ${\textstyle f_{y}(y)dy\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx}$ .

ثانيًا، دمج الشرائط الأفقية لأعلى على كامل $y$ ينتج عنه حجم الاحتمالية فوق الخط $F_{R}(R)=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left(\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx\right)dy$ وأخيرًا، قم بالتفريق $F_{R}(R)$ بالنسبة إلى $R$ للحصول على ملف PDF $f_{R}(R)$ ⁠ . $f_{R}(R)={\frac {d}{dR}}\left[\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left(\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx\right)dy\right]$ انقل عملية التفاضل داخل التكامل: $f_{R}(R)=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left({\frac {d}{dR}}\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx\right)dy$ ومنذ ذلك الحين ${\frac {d}{dR}}\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx=yf_{x}(Ry)$ ثم $f_{R}(R)=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)f_{x}(Ry)ydy.$ على سبيل المثال، أوجد دالة كثافة الاحتمال للنسبة ⁠ $R$ عندما ${\begin{aligned}f_{x}(x)&=\alpha e^{-\alpha x},\\f_{y}(y)&=\beta e^{-\beta y},\\x,y&\geq 0.\end{aligned}}$

لدينا $\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx=-\left.e^{-\alpha x}\right\vert _{0}^{Ry}=1-e^{-\alpha Ry}$ هكذا ${\begin{aligned}F_{R}(R)&=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left(1-e^{-\alpha Ry}\right)dy\\&=\int _{0}^{\infty }\beta e^{-\beta y}\left(1-e^{-\alpha Ry}\right)dy\\&=1-{\frac {\alpha R}{\beta +\alpha R}}\\&={\frac {R}{{\tfrac {\beta }{\alpha }}+R}}.\end{aligned}}$ التفاضل بالنسبة إلى $R$ ينتج عنه دالة كثافة الاحتمال لـ $R$ ⁠ : $f_{R}(R)={\frac {d}{dR}}\left({\frac {R}{{\tfrac {\beta }{\alpha }}+R}}\right)={\frac {\tfrac {\beta }{\alpha }}{\left({\tfrac {\beta }{\alpha }}+R\right)^{2}}}.$

لحظات النسب العشوائية

من نظرية تحويل ميلين ، بالنسبة للتوزيعات الموجودة فقط على نصف الخط الموجب ⁠ $x\geq 0$ لدينا هوية المنتج $\operatorname {E} [(UV)^{p}]=\operatorname {E} [U^{p}]\cdot \operatorname {E} [V^{p}]$ مقدم $U$ ، $V$ مستقلة . في حالة نسبة عينات مثل $\operatorname {E} [(X/Y)^{p}]$ للاستفادة من هذه المتطابقة، من الضروري استخدام عزوم التوزيع العكسي . $1/Y=Z$ بحيث $\operatorname {E} [(XZ)^{p}]=\operatorname {E} [X^{p}]\cdot \operatorname {E} [Y^{-p}]$ وبالتالي ، إذا كانت لحظات $X^{p}$ و $Y^{-p}$ يمكن تحديدها بشكل منفصل، ثم لحظات $X/Y$ يمكن العثور عليها. لحظات $Y^{-p}$ يتم تحديدها من دالة كثافة الاحتمال العكسية لـ $Y$ ، وهو تمرين سهل في كثير من الأحيان. ببساطة ، $\textstyle \operatorname {E} [Y^{-p}]=\int _{0}^{\infty }y^{-p}f_{y}(y)dy$ ⁠ .

على سبيل المثال، لنفترض $X$ يتم أخذ العينات من توزيع جاما القياسي $x^{\alpha -1}e^{-x}/\Gamma (\alpha )$ الذي $p$ اللحظة رقم - هي $\Gamma (\alpha +p)/\Gamma (\alpha )$ ⁠ .

$Z=Y^{-1}$ يتم أخذ العينات من توزيع جاما معكوس ذي معلمة $\beta$ ويحتوي على ملف PDF $\Gamma ^{-1}(\beta )z^{-(1+\beta )}e^{-1/z}$ . لحظات هذا الملف بصيغة PDF هي $\operatorname {E} [Z^{p}]=\operatorname {E} [Y^{-p}]={\frac {\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\beta )}},\;p<\beta .$

بضرب العزوم المتناظرة نحصل على $\operatorname {E} [(X/Y)^{p}]=\operatorname {E} [X^{p}]\cdot \operatorname {E} [Y^{-p}]={\frac {\Gamma (\alpha +p)}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\beta )}},\;p<\beta .$

بشكل مستقل، من المعروف أن نسبة عينتي جاما $R=X/Y$ يتبع توزيع بيتا الأولي : $f_{\beta '}(r,\alpha ,\beta )=\mathrm {B} (\alpha ,\beta )^{-1}r^{\alpha -1}(1+r)^{-(\alpha +\beta )}$ لحظاتهم $\operatorname {E} [R^{p}]={\frac {\mathrm {B} (\alpha +p,\beta -p)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}.$

الاستبدال ${\textstyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}$ لدينا ${\begin{aligned}\operatorname {E} [R^{p}]&=\left.{\frac {\Gamma (\alpha +p)\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\right/{\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\\[.5em]&={\frac {\Gamma (\alpha +p)\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}},\end{aligned}}$ وهو ما يتوافق مع حاصل ضرب العزوم المذكورة أعلاه.

متوسطات وتباينات النسب العشوائية

في قسم توزيع المنتج ، والمستمد من نظرية تحويل ميلين (انظر القسم أعلاه)، وُجد أن متوسط حاصل ضرب متغيرين مستقلين يساوي حاصل ضرب متوسطيهما. أما في حالة النسب، فلدينا $\operatorname {E} (X/Y)=\operatorname {E} (X)\cdot \operatorname {E} (1/Y)$ وهو ما يعادل، من حيث التوزيعات الاحتمالية، ما يلي: $\operatorname {E} (X/Y)=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{x}(x)\,dx\times \int _{-\infty }^{\infty }y^{-1}f_{y}(y)\,dy.$

لاحظ أن $\textstyle \operatorname {E} (1/Y)\neq {\frac {1}{\operatorname {E} (Y)}}$ أي ، $\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }y^{-1}f_{y}(y)\,dy\neq 1\left/\int _{-\infty }^{\infty }yf_{y}(y)\,dy\right.$ ⁠ .

تباين نسبة المتغيرات المستقلة هو ${\begin{aligned}\operatorname {Var} (X/Y)&=\operatorname {E} ([X/Y]^{2})-\operatorname {E^{2}} (X/Y)\\&=\operatorname {E} (X^{2})\cdot \operatorname {E} (1/Y^{2})-\operatorname {E} ^{2}(X)\cdot \operatorname {E} ^{2}(1/Y).\end{aligned}}$

توزيعات النسبة الطبيعية

نسبة التوزيع الطبيعي المركزي غير المرتبطة

عندما $X$ و $Y$ إذا كانت المتغيرات مستقلة ولها توزيع غاوسي بمتوسط صفر، فإن شكل توزيع نسبها هو توزيع كوشي . ويمكن اشتقاق ذلك عن طريق وضع $Z=X/Y=\tan \theta$ ثم إثبات ذلك $\theta$ يتمتع بتناظر دائري . بالنسبة لتوزيع غاوسي ثنائي المتغيرات غير مرتبط، لدينا ${\begin{aligned}p(x,y)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp {\left(-{\tfrac {x^{2}}{2}}\right)}\times {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp {\left(-{\tfrac {y^{2}}{2}}\right)}\\&={\frac {1}{2\pi }}\exp {\left(-{\tfrac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)}\\&={\frac {1}{2\pi }}\exp {\left(-{\frac {r^{2}}{2}}\right)},\ {\text{for}}\ r^{2}=x^{2}+y^{2}.\end{aligned}}$

إذا $p(x,y)$ ⁠ هي دالة لـ ⁠ فقط $r$ ثم $\theta$ يتم توزيعها بشكل منتظم على $[0,2\pi ]$ بكثافة $\textstyle {\frac {1}{2\pi }}$ وبالتالي ، فإن المشكلة تختزل إلى إيجاد التوزيع الاحتمالي لـ $Z$ تحت الخريطة $Z=X/Y=\tan \theta .$

لدينا، بحسب قانون حفظ الاحتمالات $p_{z}(z)\,|dz|=p_{\theta }(\theta )\,|d\theta |,$ وبما أن $\textstyle {\frac {dz}{d\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}$ ، $p_{z}(z)={\frac {p_{\theta }(\theta )}{\left|{\frac {dz}{d\theta }}\right|}}={\frac {1}{2\pi }}{\cos ^{2}\theta }.$ جلسة $\cos ^{2}\theta ={\frac {1}{1+(\tan \theta )^{2}}}={\frac {1}{1+z^{2}}},$ نحصل $p_{z}(z)={\frac {1/(2\pi )}{1+z^{2}}}.$ يوجد هنا عامل زائف مقداره 2. في الواقع، هناك قيمتان لـ $\theta$ متباعدة بواسطة $\pi$ قم بإسقاطها على نفس قيمة ⁠ $z$ ، تتضاعف الكثافة، والنتيجة النهائية هي $p_{z}(z)={\frac {1/\pi }{1+z^{2}}},\quad -\infty <z<\infty .$

عندما يكون أي من التوزيعين الطبيعيين غير مركزي، فإن نتيجة توزيع النسبة تكون أكثر تعقيدًا، وهي موضحة أدناه بصيغة موجزة قدمها ديفيد هينكلي . ^{[ 3 ]} ومع ذلك، فإن الطريقة المثلثية للنسبة قابلة للتطبيق على التوزيعات القطرية مثل التوزيعات الطبيعية ثنائية المتغيرات أو توزيع $t$ للطالب ثنائي المتغيرات ، حيث تعتمد الكثافة فقط على نصف القطر . $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ ⁠ . لا يمتد ذلك إلى نسبة توزيعين مستقلين من توزيعات Student's $t$ ، والتي تعطي نسبة كوشي الموضحة في قسم أدناه لدرجة حرية واحدة.

نسبة طبيعية غير مركزية غير مرتبطة

في غياب الارتباط ( ⁠ $\operatorname {cor} (X,Y)=0$ ) ، دالة كثافة الاحتمال للنسبة $Z=X/Y$ من متغيرين طبيعيين $X={\mathcal {N}}(\mu _{X},\sigma _{X}^{2})$ و $Y={\mathcal {N}}(\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})$ يتم تحديدها بدقة من خلال التعبير التالي، المستمد من عدة مصادر: ^{[ 3 ]} $p_{Z}(z)={\frac {e^{-c/2}}{a^{2}(z)\cdot 2\pi \sigma _{x}\sigma _{y}}}\left({\sqrt {2\pi }}{\frac {b(z)}{a(z)}}\exp \left({\frac {b^{2}(z)}{2a^{2}(z)}}\right)\mathrm {erf} \left({\frac {b(z)}{{\sqrt {2}}a(z)}}\right)+2\right),$ أين ${\begin{aligned}a(z)&={\sqrt {{\frac {1}{\sigma _{x}^{2}}}z^{2}+{\frac {1}{\sigma _{y}^{2}}}}},\\b(z)&={\frac {\mu _{x}}{\sigma _{x}^{2}}}z+{\frac {\mu _{y}}{\sigma _{y}^{2}}},\\c&={\frac {\mu _{x}^{2}}{\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {\mu _{y}^{2}}{\sigma _{y}^{2}}}.\end{aligned}}$

في ظل عدة افتراضات (تُتحقق عادةً في التطبيقات العملية)، يُمكن اشتقاق تقريب دقيق للغاية لدالة كثافة الاحتمال . تشمل المزايا الرئيسية تقليل تعقيد الصيغ، ودالة التوزيع التراكمي المغلقة ، ووسيط مُحدد ببساطة، وإدارة مُحكمة للأخطاء. ولتبسيط الأمر، نُعرّف المعاملات التالية : $\textstyle p={\frac {\mu _{x}}{{\sqrt {2}}\sigma _{x}}}$ ، $\textstyle q={\frac {\mu _{y}}{{\sqrt {2}}\sigma _{y}}}$ و $\textstyle r={\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}$ ثم ما يسمى بالتقريب الصلب $p_{Z}^{\dagger }(z)$ يتم التعبير عن دالة كثافة الاحتمال للنسبة الطبيعية غير المركزية غير المرتبطة بالمعادلة ^{[ 9 ].} $p_{Z}^{\dagger }(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {p}{\mathrm {erf} [q]}}{\frac {1}{r}}{\frac {1+{\frac {p^{2}}{q^{2}}}{\frac {z}{r}}}{\left(1+{\frac {p^{2}}{q^{2}}}\left[{\frac {z}{r}}\right]^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\exp \left({-{\frac {p^{2}\left({\frac {z}{r}}-1\right)^{2}}{1+{\frac {p^{2}}{q^{2}}}\left[{\frac {z}{r}}\right]^{2}}}}\right).$

في ظل ظروف معينة، يكون التقريب الطبيعي ممكناً، مع تباين: ^{[ 10 ]} $\sigma _{z}^{2}={\frac {\mu _{x}^{2}}{\mu _{y}^{2}}}\left({\frac {\sigma _{x}^{2}}{\mu _{x}^{2}}}+{\frac {\sigma _{y}^{2}}{\mu _{y}^{2}}}\right).$

نسبة التوزيع الطبيعي المركزي المرتبطة

يصبح التعبير أعلاه أكثر تعقيدًا عندما تكون المتغيرات $X$ و $Y$ مترابطة . إذا $\mu _{x}=$ ⁠ ⁠ $\mu _{y}=0$ لكن $\sigma _{X}\neq \sigma _{Y}$ و $\rho \neq 0$ ، وبذلك نحصل على توزيع كوشي الأكثر عمومية، $p_{Z}(z)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\beta }{(z-\alpha )^{2}+\beta ^{2}}},$ أين $\rho$ ⁠ هو معامل الارتباط بين ⁠ $X$ و $Y$ ، و ${\begin{aligned}\alpha &=\rho {\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}},\\\beta &={\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}.\end{aligned}}$

وقد تم التعبير عن التوزيع المعقد أيضًا باستخدام دالة كومر الهندسية الفائقة المتقاربة أو دالة هيرميت . ^{[ 6 ]}

نسبة غير مركزية مترابطة

وقد تم توضيح ذلك في Springer. ^{[ 11 ]} .

اقترح كاتز ^{[ 12 ]} تحويلًا إلى المجال اللوغاريتمي . لنفترض أن النسبة هي $T\sim {\frac {\mu _{x}+{\mathcal {N}}(0,\sigma _{x}^{2})}{\mu _{y}+{\mathcal {N}}(0,\sigma _{y}^{2})}}={\frac {\mu _{x}+X}{\mu _{y}+Y}}={\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}{\frac {1+{\frac {X}{\mu _{x}}}}{1+{\frac {Y}{\mu _{y}}}}}.$

خذ اللوغاريتم لكلا الطرفين لتحصل على $\ln(T)=\ln \left({\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}\right)+\ln \left(1+{\frac {X}{\mu _{x}}}\right)-\ln \left(1+{\frac {Y}{\mu _{y}}}\right).$ ملاحظة أن $\ln(1+\delta )=\delta -{\frac {\delta ^{2}}{2}}+{\frac {\delta ^{3}}{3}}+\cdots$ ثم بشكل تقاربي ${\begin{aligned}\ln(T)&\approx \ln \left({\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}\right)+{\frac {X}{\mu _{x}}}-{\frac {Y}{\mu _{y}}}\\&\sim \ln \left({\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}\right)+{\mathcal {N}}\left(0,{\frac {\sigma _{x}^{2}}{\mu _{x}^{2}}}+{\frac {\sigma _{y}^{2}}{\mu _{y}^{2}}}-2{\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{\mu _{x}\mu _{y}}}\right).\end{aligned}}$

أو اقترح جيري في عام 1930 أن $t\approx {\frac {\mu _{y}T-\mu _{x}}{\sqrt {\sigma _{y}^{2}T^{2}-2\rho \sigma _{x}\sigma _{y}T+\sigma _{x}^{2}}}}$ لها توزيع غاوسي معياري تقريبًا ؛ ^{[ 1 ]} وقد سُمّي هذا التحويل بتحويل جيري-هينكلي . ^{[ 4 ]} يكون التقريب جيدًا إذا $Y$ من غير المرجح أن تأخذ قيمًا سالبة ، أي $\textstyle \mu _{y}>3\sigma _{y}$ ⁠ .

نسبة طبيعية غير مركزية دقيقة مرتبطة بالارتباط

تم تطوير هذا بواسطة سبرينغر ^{[ 11 ]} وهينكلي. ^{[ 3 ]} أوضح جيري كيف أن نسبة الارتباط $z$ يمكن تحويلها إلى شكل شبه غاوسي، وتم تطوير تقريب لـ $t$ يعتمد على احتمالية القيم السالبة للمقام $x+\mu _{x}<0$ نظرًا لصغر حجمها المتناهي الصغر، فإن تحليل النسبة المترابطة اللاحق لفيلر دقيق، ولكن يلزم توخي الحذر عند دمج برامج الرياضيات الحديثة مع الشروط اللفظية في المراجع القديمة.وقد ناقش فام-غيا هذه الأساليب باستفاضة.نتائج هينكلي المترابطة دقيقة، ولكن سيتبين أدناه أنه يمكن أيضًا تحويل شرط النسبة المترابطة إلى شرط غير مترابط، وبالتالي لا يلزم سوى معادلات هينكلي المبسطة المذكورة أعلاه، وليس النسخة الكاملة للنسبة المترابطة.

لنفترض أن النسبة هي: $z={\frac {x+\mu _{x}}{y+\mu _{y}}}$ حيث $x,y$ هي متغيرات طبيعية مترابطة ذات متوسط صفري وتباينات $\sigma _{x}^{2},\sigma _{y}^{2}$ و $X,Y$ يملك الوسائل $\mu _{x},\mu _{y}$ اكتب ${\textstyle x'=x-\rho y{\tfrac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}}$ بحيث $x',y$ تصبح غير مترابطة و $x'$ له انحراف معياري $\textstyle \sigma _{x}'=\sigma _{x}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}$ ثم النسبة $z={\frac {x'+\rho y{\tfrac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}+\mu _{x}}{y+\mu _{y}}}$ يظل ثابتًا تحت هذا التحويل ويحتفظ بنفس دالة كثافة الاحتمال .

الـ $y$ يبدو أن الحد الموجود في البسط قابل للفصل عن طريق التوسيع ${x'+\rho y{\tfrac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}+\mu _{x}}=x'+\mu _{x}-\rho \mu _{y}{\tfrac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}+\rho (y+\mu _{y}){\tfrac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}$ للحصول على $z={\frac {x'+\mu _{x}'}{y+\mu _{y}}}+\rho {\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}$ في أي ${\textstyle \mu '_{x}=\mu _{x}-\rho \mu _{y}{\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}}$ و $z$ أصبح الآن نسبةً لعينات طبيعية غير مركزية غير مترابطة ذات ثابت . $z$ -إزاحة .^{[ أ ]} .

وأخيرًا، وللتوضيح، فإن دالة كثافة الاحتمال للنسبة $z$ يتم إيجاد قيم المتغيرات المترابطة عن طريق إدخال المعلمات المعدلة . $\sigma _{x}',\mu _{x}'$ ، $\sigma _{y},\mu _{y}$ و $\rho '=0$ ⁠ في معادلة هينكلي أعلاه والتي تُعيد دالة كثافة الاحتمال للنسبة المترابطة مع إزاحة ثابتة ⁠ $\textstyle -\rho {\tfrac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}$ على $z$ ⁠ .

خطوط كفاف التوزيع الغاوسي ثنائي المتغيرات المترابط (ليست على المقياس) التي تعطي النسبة

x / y

دالة كثافة الاحتمال لنسبة التوزيع الاحتمالي z

PDF للنسبة الغوسية

z

ومحاكاة (نقاط) لـ

σ x =

σ y = 1

,

μ x = 0

,

μ y = 0.5

,

ρ x = 0.975

.

تُظهر الأشكال أعلاه مثالاً على نسبة مرتبطة إيجابياً مع $\sigma _{x}=$ ⁠ ⁠ $\sigma _{y}=1$ ، $\mu _{x}=0$ ، $\mu _{y}=0.5$ و $\rho =0.975$ ، حيث تمثل الأجزاء المظللة الزيادة في المساحة المختارة بنسبة معينة $x/y\in [r,r+\delta ]$ والتي تتراكم فيها الاحتمالات عند نقاط تداخلها مع التوزيع. يتوافق التوزيع النظري، المستمد من المعادلات قيد المناقشة بالإضافة إلى معادلات هينكلي، بشكل كبير مع نتائج المحاكاة باستخدام 5000 عينة. في الشكل العلوي ، يتضح أنه بالنسبة لنسبة ⁠ $z=x/y\approx 1$ لقد تجاوزت الوتد تقريبًا كتلة التوزيع الرئيسية تمامًا، وهذا يفسر الحد الأدنى المحلي في دالة كثافة الاحتمال النظرية . $p_{Z}(x/y)$ . على العكس من ذلك ، كما $x/y$ يتحرك إما باتجاه أو بعيدًا عن أحد الجوانب، ويغطي الوتد مساحة أكبر من الكتلة المركزية، مما يؤدي إلى تراكم احتمالية أعلى.

النسبة الطبيعية المعقدة

تم تحديد نسبة المتغيرات ذات التوزيع الطبيعي المعقد المتناظر دائريًا والمرتبطة ذات المتوسط الصفري بواسطة باكسلي وآخرون ^{[ 13 ]} ، ومنذ ذلك الحين تم توسيعها لتشمل الحالة غير الصفرية وغير المتناظرة. ^{[ 14 ]} في حالة الارتباط ذات المتوسط الصفري، يكون التوزيع المشترك لـ $x,y$ هو $f_{x,y}(x,y)={\frac {1}{\pi ^{2}|\Sigma |}}\exp \left(-{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}^{H}\Sigma ^{-1}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)$ أين ${\begin{aligned}\Sigma &={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&\rho \sigma _{x}\sigma _{y}\\\rho ^{*}\sigma _{x}\sigma _{y}&\sigma _{y}^{2}\end{bmatrix}};\\x&=x_{r}+ix_{i};\\y&=y_{r}+iy_{i};\end{aligned}}$ ${\textstyle (\cdot )^{H}}$ هو منقول هيرميتي ؛ و $\rho =\rho _{r}+i\rho _{i}=\operatorname {E} {\bigg (}{\frac {xy^{*}}{\sigma _{x}\sigma _{y}}}{\bigg )}\;\in \left|\mathbb {C} \right|\leq 1.$

ملف PDF الخاص بـ $Z=X/Y$ تبين أنه

${\begin{aligned}f_{z}(z_{r},z_{i})&={\frac {1-|\rho |^{2}}{\pi \sigma _{x}^{2}\sigma _{y}^{2}}}\left({\frac {|z|^{2}}{\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{y}^{2}}}-2{\frac {\rho _{r}z_{r}-\rho _{i}z_{i}}{\sigma _{x}\sigma _{y}}}\right)^{-2}\\[1ex]&={\frac {1-|\rho |^{2}}{\pi \sigma _{x}^{2}\sigma _{y}^{2}}}\left(\left|{\frac {z}{\sigma _{x}}}-{\frac {\rho ^{*}}{\sigma _{y}}}\right|^{2}+{\frac {1-|\rho |^{2}}{\sigma _{y}^{2}}}\right)^{-2}.\end{aligned}}$ في الحالة الاعتيادية التي $\sigma _{x}=\sigma _{y}$ نحصل $f_{z}(z_{r},z_{i})={\frac {1-\left|\rho \right|^{2}}{\pi \left(\left|z-\rho ^{*}\right|^{2}+1-\left|\rho \right|^{2}\right)^{2}}}.$

كما تم تقديم نتائج أخرى مغلقة الشكل لدالة التوزيع التراكمي .

توزيع النسبة للمتغيرات المعقدة المترابطة، $ρ = 0.7 e iπ /4$ .

يُظهر الرسم البياني دالة كثافة الاحتمال لنسبة متغيرين طبيعيين معقدين بمعامل ارتباط قدره $\textstyle \rho =0.7e^{i\pi /4}$ تحدث ذروة دالة توزيع الاحتمال (PDF) عند قيمة قريبة من قيمة المرافق المعقد لدالة مصغرة . $\rho$ ⁠ .

نسبة التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي

نسبة التوزيعات اللوغاريتمية الطبيعية المستقلة أو المترابطة هي توزيع لوغاريتمي طبيعي. وهذا يتبع، لأنه إذا $X_{1}$ و $X_{2}$ إذا كانت موزعة توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا ، فإن $\ln(X_{1})$ و $\ln(X_{2})$ إذا كانت المتغيرات موزعة توزيعًا طبيعيًا، أو إذا كانت مستقلة أو لوغاريتماتها تتبع توزيعًا طبيعيًا ثنائي المتغيرات ، فإن لوغاريتم نسبتها هو الفرق بين متغيرات عشوائية مستقلة أو مترابطة موزعة توزيعًا طبيعيًا، وهو توزيع طبيعي. ^{[ ب ]}

يُعد هذا الأمر مهمًا للعديد من التطبيقات التي تتطلب نسبة المتغيرات العشوائية التي يجب أن تكون موجبة، حيث يكون التوزيع المشترك لـ $X_{1}$ و $X_{2}$ يُمكن تقريبها بشكل كافٍ بواسطة التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي. هذه نتيجة شائعة لنظرية النهاية المركزية الضربية ، والمعروفة أيضًا باسم قانون جبرات ، عندما $X_{i}$ هي نتيجة تراكم العديد من التغيرات الصغيرة في النسبة المئوية، ويجب أن تكون موجبة وموزعة توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا تقريبًا. ^{[ ج ]}

توزيع النسبة المنتظمة

مع متغيرين عشوائيين مستقلين يتبعان توزيعًا منتظمًا ، على سبيل المثال، $p_{X}(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ يصبح توزيع النسبة $p_{Z}(z)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}},&0<z<1\\{\tfrac {1}{2z^{2}}},&z\geq 1\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

توزيع نسبة كوشي

إذا كان هناك متغيران عشوائيان مستقلان ، $X$ و $Y$ يتبع كل منها توزيع كوشي بمتوسط يساوي صفرًا ومعامل شكل $a$ ، $p_{X}(x|a)={\frac {a}{\pi (a^{2}+x^{2})}},$ ثم توزيع النسبة للمتغير العشوائي $Z=X/Y$ هو ^[¹⁵^] $p_{Z}(z|a)={\frac {1}{\pi ^{2}(z^{2}-1)}}\ln(z^{2}).$ لا يعتمد هذا التوزيع على $a$ والنتيجة التي ذكرها سبرينغر^{[ 16 ]} غير صحيحة.

إن توزيع النسبة مشابه لتوزيع حاصل ضرب المتغير العشوائي ولكنه ليس مطابقاً له . $W=XY$ ⁠ :^{[ 5 ]} $p_{W}(w|a)={\frac {a^{2}}{\pi ^{2}(w^{2}-a^{4})}}\ln \left({\frac {w^{2}}{a^{4}}}\right).$

وبشكل أعم، إذا كان هناك متغيران عشوائيان مستقلان $X$ و $Y$ يتبع كل منها توزيع كوشي بمتوسط يساوي صفرًا ومعامل شكل $a$ و $b$ على التوالي ، ثم:

توزيع النسبة للمتغير العشوائي $Z=X/Y$ هو ^[¹⁵^] $p_{Z}(z|a,b)={\frac {ab}{\pi ^{2}(b^{2}z^{2}-a^{2})}}\ln \left({\frac {b^{2}z^{2}}{a^{2}}}\right).$
توزيع المنتج للمتغير العشوائي $W=XY$ هو ^[¹⁵^] $p_{W}(w|a,b)={\frac {ab}{\pi ^{2}(w^{2}-a^{2}b^{2})}}\ln \left({\frac {w^{2}}{a^{2}b^{2}}}\right).$

يمكن الحصول على نتيجة توزيع النسبة من توزيع الضرب عن طريق استبدال ⁠ $b$ مع $\textstyle {\tfrac {1}{b}}$ ⁠ .

نسبة التوزيع الطبيعي القياسي إلى التوزيع المنتظم القياسي

إذا $X$ له توزيع طبيعي معياري و $Y$ إذا كان التوزيع منتظمًا قياسيًا، فإن $Z=X/Y$ له توزيع يُعرف باسم التوزيع المائل ، مع دالة كثافة احتمالية $p_{Z}(z)={\begin{cases}{\frac {\left[\varphi (0)-\varphi (z)\right]}{z^{2}}},&z\neq 0\\{\frac {\varphi (0)}{2}},&z=0,\\\end{cases}}$ أين $\varphi (z)$ ⁠ هي دالة كثافة الاحتمال للتوزيع الطبيعي القياسي.^{[ 17 ]}

توزيعات كاي تربيع، جاما

دع $G$ أن يكون توزيعًا طبيعيًا ${\mathcal {(}}0,1)$ ، $Y$ و $Z$ ⁠ تكون توزيعات مربع كاي مع ⁠ $m$ و $n$ درجات الحرية على التوالي، وكلها مستقلة، مع $f_{\chi }(x,k)={\frac {x^{\left({\tfrac {k}{2}}-1\right)}e^{-{\tfrac {x}{2}}}}{2^{k/2}\Gamma \left({\tfrac {k}{2}}\right)}}.$ ثم

${\textstyle {\frac {G}{\sqrt {Y/m}}}\sim t_{m}}$ هو توزيع $t$ للطالب ؛
${\textstyle {\frac {Y/m}{Z/n}}=F_{m,n},}$ أي توزيع اختبار F لفيشر ؛
${\textstyle {\frac {Y}{Y+Z}}\sim \beta ({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})}$ هو توزيع بيتا ؛ و
${\textstyle {\frac {Y}{Z}}\sim \beta '({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})}$ هو التوزيع القياسي للأعداد الأولية بيتا .

إذا $\textstyle V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda )$ ، توزيع كاي تربيع غير مركزي ، $\textstyle V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(0)$ و $V_{1}$ مستقل عن $V_{2}$ ثم ${\frac {V_{1}/k_{1}}{V_{2}/k_{2}}}\sim F'_{k_{1},k_{2}}(\lambda ),$ توزيع F غير مركزي .

${\textstyle {\tfrac {m}{n}}F'_{m,n}=\beta '({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})}$ أو $F'_{m,n}=\beta '({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}},1,{\tfrac {n}{m}})$ يُعرّف $F'_{m,n}$ ، توزيع كثافةفيشر F ، دالة كثافة الاحتمال لنسبة توزيعين مربع كاي مع $m,n$ درجات الحرية.^{[ د ]}

إذا أدخلنا جدول اختبار F مع $m=3$ ، $n=4$ وباحتمالية 5% في الذيل الأيمن، وُجد أن القيمة الحرجة هي 6.59. وهذا يتطابق مع التكامل $F_{3,4}(6.59)=\int _{6.59}^{\infty }\beta '(x;{\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}},1,{\tfrac {n}{m}})\,dx=0.05.$

بالنسبة لتوزيعات جاما $U$ و $V$ بمعلمات شكل عشوائية $\alpha _{1}$ و $\alpha _{2}$ وتم ضبط معلمات المقياس الخاصة بهما على الوحدة ( أي ، $\textstyle U\sim \Gamma (\alpha _{1},1)$ ، $\textstyle V\sim \Gamma (\alpha _{2},1)$ ، حيث $\textstyle \Gamma (x;\alpha ,1)=(x^{\alpha -1}e^{-x})/{\Gamma (\alpha )}$ ثم

${\begin{aligned}{\tfrac {U}{U+V}}&\sim \beta (\alpha _{1},\alpha _{2}),&{\text{ expectation }}&={\tfrac {\alpha _{1}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}}};\\[1ex]{\tfrac {U}{V}}&\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2}),&{\text{ expectation }}&={\tfrac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}-1}},\;\alpha _{2}>1;\\[1ex]{\tfrac {V}{U}}&\sim \beta '(\alpha _{2},\alpha _{1}),&{\text{ expectation }}&={\tfrac {\alpha _{2}}{\alpha _{1}-1}},\;\alpha _{1}>1.\end{aligned}}$

إذا $U\sim \Gamma (x;\alpha ,1)$ ثم $\theta U\sim \Gamma (x;\alpha ,\theta )={\frac {x^{\alpha -1}e^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\Gamma (\alpha )}}.$ لاحظ أن هنا $\theta$ ⁠ هو مُعامل قياس ، وليس مُعامل معدل.

إذا $U\sim \Gamma (\alpha _{1},\theta _{1})$ ، $V\sim \Gamma (\alpha _{2},\theta _{2})$ ثم عن طريق إعادة تحجيم $\theta$ لدينا معامل الوحدة ${\begin{aligned}{\frac {\frac {U}{\theta _{1}}}{{\frac {U}{\theta _{1}}}+{\frac {V}{\theta _{2}}}}}&={\frac {\theta _{2}U}{\theta _{2}U+\theta _{1}V}}\sim \beta (\alpha _{1},\alpha _{2})\\{\frac {\frac {U}{\theta _{1}}}{\frac {V}{\theta _{2}}}}&={\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}{\frac {U}{V}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2}).\end{aligned}}$ هكذا ${\begin{aligned}{\frac {U}{V}}&\sim \beta '\left(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}\right)\\\operatorname {E} \left[{\frac {U}{V}}\right]&={\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}{\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}-1}},\end{aligned}}$ في أي $\beta '(\alpha ,\beta ,p,q)$ يمثل التوزيع الأولي بيتا المعمم .

يتضح مما سبق أنه إذا $X\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,1)\equiv \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2})$ ثم $\theta X\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,\theta )$ وبشكل أكثر وضوحاً، لأن $\beta '(x;\alpha _{1},\alpha _{2},1,R)={\frac {1}{R}}\beta '({\frac {x}{R}};\alpha _{1},\alpha _{2})$ لو $U\sim \Gamma (\alpha _{1},\theta _{1}),V\sim \Gamma (\alpha _{2},\theta _{2})$ ثم ${\frac {U}{V}}\sim {\frac {1}{R}}\beta '({\frac {x}{R}};\alpha _{1},\alpha _{2})={\frac {\left({\frac {x}{R}}\right)^{\alpha _{1}-1}}{\left(1+{\frac {x}{R}}\right)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}}}}\cdot {\frac {1}{\;R\;B(\alpha _{1},\alpha _{2})}},$ أين ${\begin{aligned}x&\geq 0;\\R&={\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}};\\B(\alpha _{1},\alpha _{2})&={\frac {\Gamma (\alpha _{1})\Gamma (\alpha _{2})}{\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2})}}.\end{aligned}}$

توزيعات بيتا

طُوِّرت هذه الطريقة لأول مرة بواسطة ت. فام-جيا ^{[ 18 ]} الذي وجد أن دالة كثافة الاحتمال لنسبة بيتا يُمكن التعبير عنها بدلالة الدوال فوق الهندسية. تُحسب هذه الدوال عدديًا كمجموع منفصل لانهائي أو كتكامل. يُعدّ التكامل بسيطًا بحيث إذا $Y$ هي نسبة عينتين بيتا مستقلتين $Y=X_{1}/X_{2}$ كل منها بصيغة PDF $B(\alpha ,\beta )^{-1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}$ تتم العملية في نطاقين $0\leq y<1$ و $1<y<\infty \,$ هكذا

${\begin{aligned}&f_{A}(y|0<y\leq 1)={\frac {1}{B(\alpha _{1},\beta _{1})(\alpha _{2},\beta _{2})}}y^{\alpha _{1}-1}\int _{0}^{1}dp\;p^{\alpha 1+\alpha _{2}-1}(1-p)^{\beta _{2}-1}(1-py)^{\beta _{1}-1}\\[6pt]&f_{B}(y|1<y<\infty )={\frac {1}{B(\alpha _{1},\beta _{1})(\alpha _{2},\beta _{2})}}{\frac {1}{y^{\alpha _{2}+1}}}\int _{0}^{1}dp\;p^{\alpha 1+\alpha _{2}-1}(1-p)^{\beta _{1}-1}\left(1-{\frac {y}{p}}\right)^{\beta _{2}-1}\end{aligned}}$

توزيعات رايلي

إذا كانت X و Y عينتين مستقلتين من توزيع رايلي $f_{r}(r)=(r/\sigma ^{2})e^{-r^{2}/2\sigma ^{2}},\;\;r\geq 0$ ، النسبة Z = X / Y تتبع التوزيع ^{[ 19 ]}

$f_{z}(z)={\frac {2z}{(1+z^{2})^{2}}},\;\;z\geq 0$ وله توزيع تراكمي $F_{z}(z)=1-{\frac {1}{1+z^{2}}}={\frac {z^{2}}{1+z^{2}}},\;\;\;z\geq 0$ يتميز توزيع رايلي بأن المقياس هو المعلمة الوحيدة فيه. توزيع $Z=\alpha X/Y$ يتبع $f_{z}(z,\alpha )={\frac {2\alpha z}{(\alpha +z^{2})^{2}}},\;\;z>0$ وله توزيع تراكمي $F_{z}(z,\alpha )={\frac {z^{2}}{\alpha +z^{2}}},\;\;\;z\geq 0$

توزيعات جاما الكسرية (بما في ذلك توزيعات كاي، وكاي تربيع، والأسية، ورايلي، وويبول)

توزيع غاما المعمم هو $f(x;a,d,r)={\frac {r}{\Gamma (d/r)a^{d}}}x^{d-1}e^{-(x/a)^{r}}\;x\geq 0;\;\;a,\;d,\;r>0$ وهذا يشمل توزيعات غاما المنتظمة، وكاي، وكاي تربيع، والأسية، ورايلي، وناكاجامي، وويبول التي تتضمن قوى كسرية. لاحظ أن a هنا هو معامل المقياس ، وليس معامل المعدل؛ وd هو معامل الشكل.

لو

U\sim f(x;a_{1},d_{1},r),\;\;V\sim f(x;a_{2},d_{2},r){\text{ are independent, and }}W=U/V

ثم ^{[ 20 ]} ${\textstyle g(w)={\frac {r\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{d_{2}}}{B\left({\frac {d_{1}}{r}},{\frac {d_{2}}{r}}\right)}}{\frac {w^{-d_{2}-1}}{\left(1+\left({\frac {a_{2}}{a_{1}}}\right)^{-r}w^{-r}\right)^{\frac {d_{1}+d_{2}}{r}}}},\;\;w>0}$

أين

B(u,v)={\frac {\Gamma (u)\Gamma (v)}{\Gamma (u+v)}}

⁠ .

نمذجة مزيج من عوامل القياس المختلفة

في النسب المذكورة أعلاه، قد يكون لعينات جاما، U و V أحجام عينات مختلفة $\alpha _{1},\alpha _{2}$ لكن يجب سحبها من نفس التوزيع ${\frac {x^{\alpha -1}e^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\Gamma (\alpha )}}$ مع قياس متساوٍ $\theta$ .

في الحالات التي يكون فيها U و V بمقاييس مختلفة، يسمح تحويل المتغيرات بتحديد دالة كثافة الاحتمال للنسبة العشوائية المعدلة. لنفترض $X={\frac {U}{U+V}}={\frac {1}{1+B}}$ أين $U\sim \Gamma (\alpha _{1},\theta ),V\sim \Gamma (\alpha _{2},\theta ),\theta$ تعسفي، ومن الأعلى، $X\sim \mathrm {Beta} (\alpha _{1},\alpha _{2}),B=V/U\sim \mathrm {Beta} '(\alpha _{2},\alpha _{1})$ .

أعد تحجيم V بشكل تعسفي، مع تحديد $Y\sim {\frac {U}{U+\varphi V}}={\frac {1}{1+\varphi B}},\;\;0\leq \varphi \leq \infty$

لدينا $B={\frac {1-X}{X}}$ والتعويض في Y يعطي $Y={\frac {X}{\varphi +(1-\varphi )X}}$ ، $dY/dX={\frac {\varphi }{(\varphi +(1-\varphi )X)^{2}}}$

تحويل X إلى Y يعطي $f_{Y}(Y)={\frac {f_{X}(X)}{|dY/dX|}}={\frac {\beta (X,\alpha _{1},\alpha _{2})}{\varphi /[\varphi +(1-\varphi )X]^{2}}}$

ملاحظة $X={\frac {\varphi Y}{1-(1-\varphi )Y}}$ لقد حصلنا أخيراً $f_{Y}(Y,\varphi )={\frac {\varphi }{[1-(1-\varphi )Y]^{2}}}\beta {\left({\frac {\varphi Y}{1-(1-\varphi )Y}},\alpha _{1},\alpha _{2}\right)},\;\;\;0\leq Y\leq 1$

وبالتالي، إذا $U\sim \Gamma (\alpha _{1},\theta _{1})$ و $V\sim \Gamma (\alpha _{2},\theta _{2})$ ثم $Y={\frac {U}{U+V}}$ يتم توزيعها على النحو التالي: $f_{Y}(Y,\varphi )$ مع $\varphi ={\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}$

يقتصر توزيع Y هنا على الفترة [0،1]. ويمكن تعميمه عن طريق القياس بحيث إذا $Y\sim f_{Y}(Y,\varphi )$ ثم

$\Theta Y\sim f_{Y}(Y,\varphi ,\Theta )$

أين $f_{Y}(Y,\varphi ,\Theta )={\frac {\varphi /\Theta }{[1-(1-\varphi )Y/\Theta ]^{2}}}\beta \left({\frac {\varphi Y/\Theta }{1-(1-\varphi )Y/\Theta }},\alpha _{1},\alpha _{2}\right),\;\;\;0\leq Y\leq \Theta$

\Theta Y

ثم تكون عينة من

{\frac {\Theta U}{U+\varphi V}}

مقلوب العينات من توزيعات بيتا

على الرغم من أنها ليست توزيعات نسبية لمتغيرين، إلا أن المتطابقات التالية لمتغير واحد مفيدة:

لو $X\sim \beta (\alpha ,\beta )$ ثم $\mathbf {x} ={\frac {X}{1-X}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )$
لو $\mathbf {Y} \sim \beta '(\alpha ,\beta )$ ثم $y={\frac {1}{\mathbf {Y} }}\sim \beta '(\beta ,\alpha )$ بدمج المعادلتين الأخيرتين نحصل على
لو $X\sim \beta (\alpha ,\beta )$ ثم $\mathbf {x} ={\frac {1}{X}}-1\sim \beta '(\beta ,\alpha )$ .
لو $\mathbf {Y} \sim \beta '(\alpha ,\beta )$ ثم $y={\frac {\mathbf {Y} }{1+\mathbf {Y} }}\sim \beta (\alpha ,\beta )$

نتيجة

${\frac {1}{1+\mathbf {Y} }}={\frac {\mathbf {Y} ^{-1}}{\mathbf {Y} ^{-1}+1}}\sim \beta (\beta ,\alpha )$

1+\mathbf {Y} \sim \{\;\beta (\beta ,\alpha )\;\}^{-1}

، توزيع مقلوب

\beta (\beta ,\alpha )

عينات.

لو $U\sim \Gamma (\alpha ,1),V\sim \Gamma (\beta ,1)$ ثم ${\frac {U}{V}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )$ و ${\frac {U/V}{1+U/V}}={\frac {U}{V+U}}\sim \beta (\alpha ,\beta )$

يمكن الاطلاع على المزيد من النتائج في مقالة التوزيع العكسي .

إذا كان $X$ و $Y$ متغيرين عشوائيين أسيين مستقلين بمتوسط $μ$ ، فإن $X - Y$ هو متغير عشوائي أسي مزدوج بمتوسط 0 ومقياس $μ$ .

التوزيع ذو الحدين

وقد تم التوصل إلى هذه النتيجة بواسطة كاتز وآخرون ^{[ 12 ]}

يفترض $X\sim \operatorname {Binomial} (n,p_{1})$ و $Y\sim {\text{Binomial}}(m,p_{2})$ و $X$ ، $Y$ مستقلة . ليكن $T={\frac {X/n}{Y/m}}$ ⁠ .

ثم $\log(T)$ يتوزع توزيعًا طبيعيًا تقريبًا بمتوسط $\log(p_{1}/p_{2})$ والتباين ${\frac {(1/p_{1})-1}{n}}+{\frac {(1/p_{2})-1}{m}}$ ⁠ .

يُعدّ توزيع النسبة الثنائية ذا أهمية بالغة في التجارب السريرية: فإذا عُرف توزيع T كما ذُكر أعلاه، يُمكن تقدير احتمالية ظهور نسبة معينة بالصدفة البحتة، أي نتيجة إيجابية خاطئة. وقد قارنت العديد من الدراسات مدى متانة التقريبات المختلفة للنسبة الثنائية.

توزيعات بواسون وتوزيعات بواسون المقتطعة

في نسبة متغيرات بواسون $R = X / Y،$ تكمن المشكلة في أن $Y$ يساوي صفرًا باحتمالية محدودة، مما يجعل $R$ غير مُعرَّف. ولتجاوز هذه المشكلة، يُمكن النظر في النسبة المقتطعة، أو الخاضعة للرقابة، $R' = X / Y،$ حيث يتم استبعاد العينات الصفرية من $Y.$ علاوة على ذلك، في العديد من الدراسات الاستقصائية الطبية، توجد مشاكل منهجية تتعلق بموثوقية العينات الصفرية لكل من $X$ و $Y$ ، وقد يكون من الممارسات الجيدة تجاهل هذه العينات على أي حال.

احتمالية أن تكون عينة بواسون الصفرية ⁠ $e^{-\lambda }$ ، دالة كثافة الاحتمال العامةلتوزيع بواسون المقطوع من اليسار هي ${\tilde {p}}_{x}(x;\lambda )={\frac {1}{1-e^{-\lambda }}}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}},\;\;\;x\in 1,2,3,\cdots$ وهو ما يساوي واحدًا. وفقًا لكوهين، ^{[ 21 ]} بالنسبة $لـ n$ من التجارب المستقلة، فإن دالة كثافة الاحتمال المقتطعة متعددة الأبعاد هي ${\tilde {p}}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n};\lambda )={\frac {1}{\left(1-e^{-\lambda }\right)^{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x_{i}}}{x_{i}!}},\;\;\;x_{i}\in 1,2,3,\cdots$ وتصبح دالة الاحتمال اللوغاريتمي $L=\ln({\tilde {p}})=-n\ln \left(1-e^{-\lambda }\right)-n\lambda +\ln(\lambda )\sum _{i=1}^{n}x_{i}-\ln \prod _{i=1}^{n}(x_{i}!),\;\;\;x_{i}\in 1,2,3,\cdots$ عند التفاضل نحصل على ${\frac {dL}{d\lambda }}={\frac {-n}{1-e^{-\lambda }}}+{\frac {1}{\lambda }}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ وتعيين القيمة إلى الصفر يعطي تقدير الاحتمالية القصوى ${\hat {\lambda }}_{\text{ML}}$ ${\frac {{\hat {\lambda }}_{\text{ML}}}{1-e^{-{\hat {\lambda }}_{\text{ML}}}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\bar {x}}$

لاحظ ذلك كما ${\hat {\lambda }}\to 0$ ثم ${\bar {x}}\to 1$ لذا فإن الاحتمال الأقصى المقتطع $\lambda$ على الرغم من أن التقدير صحيح لكل من التوزيعات المبتورة وغير المبتورة، إلا أنه يعطي متوسطًا مبتورًا ${\bar {x}}$ القيمة التي تتسم بانحياز كبير مقارنة بالقيمة غير المقتطعة. ومع ذلك، يبدو أن ${\bar {x}}$ إحصائية كافية لـ $\lambda$ منذ ${\hat {\lambda }}_{ML}$ يعتمد على البيانات فقط من خلال متوسط العينة ${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ في المعادلة السابقة التي تتوافق مع منهجية توزيع بواسون التقليدي .

في غياب أي حلول مغلقة، فإن الانعكاس التقريبي التالي للقطع $\lambda$ صالحة على النطاق بأكمله ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq \infty$ ⁠ . ${\hat {\lambda }}={\bar {x}}-e^{-({\bar {x}}-1)}-0.07({\bar {x}}-1)e^{-0.666({\bar {x}}-1)}+\varepsilon ,\;\;\;|\varepsilon |<0.006$ وهذا بالمقارنة مع النسخة غير المختصرة التي هي ببساطة ${\hat {\lambda }}={\bar {x}}$ أخذ النسبة $R={\hat {\lambda }}_{X}/{\hat {\lambda }}_{Y}$ تُعد عملية صحيحة على الرغم من ${\hat {\lambda }}_{X}$ قد يستخدم نموذجًا غير مبتور بينما ${\hat {\lambda }}_{Y}$ يحتوي على نسخة مبتورة من اليسار.

التقارب الكبير- $n\lambda$ تباين ${\hat {\lambda }}$ (وضمن نطاق كرامر-راو ) هو $\mathbb {Var} ({\hat {\lambda }})\geq -\left(\mathbb {E} \left[{\frac {\delta ^{2}L}{\delta \lambda ^{2}}}\right]_{\lambda ={\hat {\lambda }}}\right)^{-1}$

حيث يؤدي استبدال $L$ إلى ${\frac {\delta ^{2}L}{\delta \lambda ^{2}}}=-n\left[{\frac {\bar {x}}{\lambda ^{2}}}-{\frac {e^{-\lambda }}{(1-e^{-\lambda })^{2}}}\right]$ ثم استبدال ${\bar {x}}$ من المعادلة أعلاه، نحصل على تقدير تباين كوهين $\mathbb {Var} ({\hat {\lambda }})\geq {\frac {\hat {\lambda }}{n}}{\frac {(1-e^{-{\hat {\lambda }}})^{2}}{1-({\hat {\lambda }}+1)e^{-{\hat {\lambda }}}}}$

تباين التقدير النقطي للمتوسط ⁠ $\lambda$ ، بناءً على $n$ من المحاولات، يتناقص بشكل مقارب إلى الصفر مع $ازدياد n$ إلى ما لا نهاية. بالنسبة للقيم الصغيرة $\lambda$ يختلف هذا عن تباين دالة كثافة الاحتمال المقتطعة في سبرينجيل ^{[ 22 ]} على سبيل المثال، الذي يذكر تباينًا قدره $\mathbb {Var} (\lambda )={\frac {\lambda /n}{1-e^{-\lambda }}}\left[1-{\frac {\lambda e^{-\lambda }}{1-e^{-\lambda }}}\right]$ بالنسبة لعدد n من العينات في دالة كثافة الاحتمال المقتطعة من اليسار الموضحة في أعلى هذا القسم، أظهر كوهين أن تباين التقدير بالنسبة إلى تباين دالة كثافة الاحتمال، $\mathbb {Var} ({\hat {\lambda }})/\mathbb {Var} (\lambda )$ ، ويتراوح من 1 للكبير $\lambda$ (كفاءة 100%) حتى 2 $\lambda$ يقترب من الصفر (كفاءة 50٪).

يمكن تطبيق تقديرات معلمات المتوسط والتباين هذه، بالإضافة إلى التقديرات الموازية لـ X ، على تقريبات التوزيع الطبيعي أو التوزيع ذي الحدين لنسبة بواسون. قد لا تكون عينات التجارب مناسبة لعملية بواسون؛ ويمكن الاطلاع على مناقشة إضافية حول اقتطاع بواسون في دراسة ديتز وبونينغ ^{[ 23 ]} ، كما توجد مقالة على ويكيبيديا حول توزيع بواسون المقتطع عند الصفر .

توزيع لوماكس المزدوج

هذا التوزيع هو نسبة توزيعين لابلاس . ^{[ 24 ]} ليكن X و Y متغيرين عشوائيين متطابقين بتوزيع لابلاس القياسي، وليكن z = X / Y. عندئذٍ يكون التوزيع الاحتمالي لـ z هو

$f(x)={\frac {1}{2\left(1+|z|\right)^{2}}}$

لنفترض أن متوسط X و Y هو a . عندئذٍ يكون توزيع لوماكس المزدوج القياسي متماثلاً حول a .

يتميز هذا التوزيع بمتوسط وتباين لانهائيين.

إذا كان Z له توزيع لوماكس مزدوج قياسي، فإن 1/ Z له أيضًا توزيع لوماكس مزدوج قياسي.

يتميز توزيع لوماكس القياسي بأنه أحادي النمط وله ذيول أثقل من توزيع لابلاس.

بالنسبة لـ 0 < a < 1، فإن العزم a موجود.

$\Lambda ={\frac {|\mathbf {X} |}{|\mathbf {X} +\mathbf {Y} |}}$ $E(Z^{a})={\frac {\Gamma (1+a)}{\Gamma (1-a)}}$

حيث $Γ$ هي دالة غاما .

توزيعات النسب في التحليل متعدد المتغيرات

تظهر توزيعات النسب أيضًا في التحليل متعدد المتغيرات . ^{[ 25 ]} إذا كانت المصفوفات العشوائية $X$ و $Y$ تتبع توزيع ويشارت، فإن نسبة المحددات $\varphi ={\frac {|\mathbf {X} |}{|\mathbf {Y} |}}$ يتناسب مع حاصل ضرب F متغيرات عشوائية مستقلة. في حالة كون $X$ و $Y$ من توزيعات ويشارت معيارية مستقلة، فإن النسبة $\Lambda ={\frac {|\mathbf {X} |}{|\mathbf {X} +\mathbf {Y} |}}$ له توزيع لامدا ويلكس .

نسب الأشكال التربيعية التي تتضمن مصفوفات ويشارت

فيما يتعلق بتوزيعات مصفوفة ويشارت، إذا $S\sim W_{p}(\Sigma ,\nu +1)$ هي مصفوفة ويشارت نموذجية، ومتجه $V$ إذا كان المتغير عشوائيًا ولكنه مستقل إحصائيًا، فإن النتيجة 3.2.9 من مويرهيد ^{[ 26 ]} تنص على ${\frac {V^{T}SV}{V^{T}\Sigma V}}\sim \chi _{\nu }^{2}.$

ينشأ التباين بمقدار واحد في أعداد العينة من تقدير متوسط العينة عند تكوين التباين المشترك للعينة، وهو نتيجة لنظرية كوكران . وبالمثل، ${\frac {V^{T}\Sigma ^{-1}V}{V^{T}S^{-1}V}}\sim \chi _{\nu -p+1}^{2},$ وهي النظرية 3.2.12 لمويرهيد. ^{[ 27 ]}

انظر أيضاً

العلاقات بين التوزيعات الاحتمالية
التوزيع العكسي (المعروف أيضًا باسم التوزيع التبادلي)
توزيع المنتجات
مقدر النسبة
توزيع مائل

ملحوظات

↑ لم يتم إثبات ذلك رسميًا، على الرغم من أنه يبدو أن جيري قد استخدمه
↑ لاحظ، مع ذلك، أن $X_{1}$ و $X_{2}$ يمكن توزيعها بشكل فردي وفقًا للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي دون أن يكون لها توزيع لوغاريتمي طبيعي ثنائي المتغيرات.
↑ بالطبع، أي استدعاء لنظرية النهاية المركزية يفترض شروط انتظام مناسبة وشائعة التحقق، على سبيل المثال، التباين المحدود.
↑

مراجع

1 2 جيري (1930) .
1 2 كورتيس (1941) .
1 2 3 4 هينكلي (1969) .
1 2 هيا، ارمسترونج وجريسيس (1975) .
1 2 3 4 5 سبرينغر (1979) .
1 2 فام جيا، توركان ومارشاند (2006) .
^ فيلر (1932) ؛ مارساليا (1964) ؛ مرساجليا (1965) .
↑ برودي وآخرون (2002) .
↑ سيمون وفتورك (2022) .
^ دياز فرانسيس وروبيو (2012) .
1 2 سبرينغر (1979) ، المشكلة 4.28.
1 2 كاتز وآخرون (1978) .
^ باكسلي ووالدنهورست وأكوستا ماروم (2010) .
^ سوريسو وو وتشو (2022) .
1 2 3 كيرموند (2010) .
↑ سبرينغر (1979) ، ص 158، السؤال 4.6.
↑ "SLAPPF" . قسم الهندسة الإحصائية، المعهد الوطني للعلوم والتكنولوجيا. 2004. تم الاطلاع عليه بتاريخ 2009-07-02 .
↑ فام جيا (2000) .
↑ همداني (2013) .
↑ راو وجارج (1969) .
↑ كوهين (1960) .
↑ سبرينجيل (2006) .
↑ ديتز وبونينغ (2000) .
↑ بيندو وسانجيتا (2015) .
↑ برينان وريد (1982) .
↑ مويرهيد (1982) ، النتيجة 3.2.9.
↑ مويرهيد (1982) ، ص. 96، النظرية 3.2.12.

المراجع

باكسلي، آر تي؛ والدنهورست، بي تي؛ أكوستا-ماروم، جي. (2010). "توزيع النسبة الغاوسية المعقدة مع تطبيقات لحساب معدل الخطأ في قنوات التلاشي ذات معلومات حالة القناة غير الكاملة" . مؤتمر IEEE العالمي للاتصالات GLOBECOM 2010. الصفحات 1-5 . doi : 10.1109/GLOCOM.2010.5683407 . ISBN 978-1-4244-5636-9. S2CID 14100052 .
بيندو، ب.؛ سانجيتا، ك. (2015). "توزيع لوماكس المزدوج وتطبيقاته". ستاتيستيكا . 75 (3): 331-342 . doi : 10.6092/issn.1973-2201/5190 .
برينان، إل إي؛ ريد، آي إس (يناير 1982). "خوارزمية معالجة إشارات المصفوفة التكيفية للاتصالات". معاملات IEEE في أنظمة الفضاء والطيران والإلكترونيات . AES-18 العدد 1: 124-130 . Bibcode : 1982ITAES..18..124B . doi : 10.1109/TAES.1982.309212 . S2CID 45721922 .
برودي، جيمس ب.؛ ويليامز، برايان أ.؛ وولد، باربرا ج .؛ كويك، ستيفن ر. (أكتوبر 2002). "أهمية الأخطاء الإحصائية في تحليل بيانات مصفوفات الحمض النووي الدقيقة" (ملف PDF) . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 99 (20): 12975-12978 . Bibcode : 2002PNAS...9912975B . doi : 10.1073 / pnas.162468199 . PMC 130571. PMID 12235357 .
كوهين، أ. كليفورد (يونيو 1960). "تقدير المعلمة في توزيع بواسون الشرطي". القياسات الحيوية . 60 (2): 203-211 . doi : 10.2307/2527552 . JSTOR 2527552 .
كورتيس، جيه إتش (ديسمبر 1941). "حول توزيع حاصل قسمة متغيرين عشوائيين" . حوليات الإحصاء الرياضي . 12 (4): 409-421 . doi : 10.1214/aoms/1177731679 . JSTOR 2235953 .
دياز-فرانسيس، إلويزا؛ روبيو، فرانسيسكو ج. (24 يناير 2012). "حول وجود تقريب طبيعي لتوزيع نسبة متغيرين عشوائيين طبيعيين مستقلين". أوراق إحصائية . 54 (2). سبرينغر للعلوم والأعمال: 309-323 . doi : 10.1007/s00362-012-0429-2 . ISSN 0932-5026 . S2CID 122038290 .
ديتز، إيكهارت؛ بونينغ، دانكمار (2000). "حول تقدير معامل بواسون في نماذج بواسون المعدلة الصفرية". الإحصاءات الحاسوبية وتحليل البيانات . 34 (4): 441-459 . doi : 10.1016/S0167-9473(99)00111-5 .
فيلر، إي سي (نوفمبر 1932). "توزيع المؤشر في مجتمع ثنائي المتغيرات طبيعي". بيومتريكا . 24 (3/4): 428-440 . doi : 10.2307/2331976 . JSTOR 2331976 .
جيري، آر سي (1930). "التوزيع التكراري لقسمة متغيرين طبيعيين". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية . 93 (3): 442-446 . doi : 10.2307/2342070 . JSTOR 2342070 .
حامداني، جي جي (أكتوبر 2013). "خصائص توزيع نسبة المتغيرات العشوائية لرايلي". مجلة باكستان للإحصاء . 29 (4): 369-376 .
هايا، جاك ؛ أرمسترونغ، دونالد؛ غريسيس، نيكولاس (يوليو 1975). "ملاحظة حول نسبة متغيرين موزعين توزيعًا طبيعيًا". مجلة علوم الإدارة . 21 (11): 1338-1341 . doi : 10.1287/mnsc.21.11.1338 . JSTOR 2629897 .
هينكلي، د. ف. (ديسمبر 1969). "حول نسبة متغيرين عشوائيين طبيعيين مترابطين". بيومتريكا . 56 (3): 635-639 . doi : 10.2307/2334671 . JSTOR 2334671 .
كاتز، د.؛ بابتيستا، ج.؛ أزين، س.ب.؛ بايك، م.س. (1978). "الحصول على فترات ثقة لنسبة المخاطر في دراسات الأتراب" . القياسات الحيوية . 34 (3): 469-474 .
كيرموند، جون (2010). "مقدمة في جبر المتغيرات العشوائية". وقائع المؤتمر السنوي السابع والأربعين للجمعية الرياضية في فيكتوريا - مناهج جديدة. فرص جديدة . الجمعية الرياضية في فيكتوريا: 1-16 . ISBN 978-1-876949-50-1.
مارساجليا، جورج (أبريل 1964). نسب المتغيرات الطبيعية ونسب مجموع المتغيرات المنتظمة (ملف PDF) (تقرير). مركز المعلومات التقنية للدفاع .
مارساجليا، جورج (مارس 1965). "نسب المتغيرات الطبيعية ونسب مجاميع المتغيرات المنتظمة" . مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 60 (309): 193-204 . doi : 10.2307/2283145 . JSTOR 2283145. مؤرشف من الأصل في 23 سبتمبر 2017.
مويرهيد، روب (1982). جوانب من نظرية الإحصاء متعدد المتغيرات . وايلي.
فام-جيا، ت. (2000). "توزيع نسب متغيرات بيتا المستقلة وتطبيقاتها" . الاتصالات في الإحصاء - النظرية والأساليب . 29 (12): 2693-2715 .
فام-جيا، ت.؛ توركان، ن.؛ مارشان، إ. (2006). "كثافة نسبة متغيرين عشوائيين طبيعيين وتطبيقاتها". الاتصالات في الإحصاء - النظرية والأساليب . 35 (9). تايلور وفرانسيس : 1569-1591 . doi : 10.1080/03610920600683689 .
راو، ب. راجا؛ غارغ، م. ل. (1969). "ملاحظة حول توزيع كوشي المعمم (الموجب)" . النشرة الرياضية الكندية . 12 (6): 865-868 . doi : 10.4153/CMB-1969-114-2 .
شيمون، يان؛ فْتُوريك، برانيسلاف (15-09-2022). "الخصائص الإحصائية الأساسية لكفاءة العقدة" . التناظر . 14 (9). MDPI: 1926. Bibcode : 2022Symm...14.1926S . doi : 10.3390/sym14091926 . ISSN 2073-8994 .
سوريسو، م.؛ وو، هـ.-ت.؛ تشو، ز. (أكتوبر 2022). "التحليل التقاربي لتحويل التزامن المضغوط - نحو الاستدلال الإحصائي باستخدام تحليل التردد الزمني غير الخطي" . حوليات الإحصاء . 50 (5): 2694-2712 . arXiv : 1904.09534 . doi : 10.1214/22-AOS2203 .
سبرينجيل، يوهان (2006). "حول مجموع متغيرات بواسون العشوائية المستقلة المقطوعة عند الصفر" (ملف PDF) . جامعة أنتويرب، كلية إدارة الأعمال والاقتصاد .
سبرينغر، ميلفين ديل (1979). جبر المتغيرات العشوائية . وايلي . ISBN 0-471-01406-0. S2CID 120891296 .

روابط خارجية

[13] لم يتم إثبات ذلك رسميًا، على الرغم من أنه يبدو أن جيري قد استخدمه

[16] لاحظ، مع ذلك، أن $X_{1}$ و $X_{2}$ يمكن توزيعها بشكل فردي وفقًا للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي دون أن يكون لها توزيع لوغاريتمي طبيعي ثنائي المتغيرات.

[17] بالطبع، أي استدعاء لنظرية النهاية المركزية يفترض شروط انتظام مناسبة وشائعة التحقق، على سبيل المثال، التباين المحدود.

[21] ↑

[FOOTNOTEGeary1930-1] 1 2 جيري (1930) .

[FOOTNOTECurtiss1941-2] 1 2 كورتيس (1941) .

[FOOTNOTEHinkley1969-3] 1 2 3 4 هينكلي (1969) .

[FOOTNOTEHayyaArmstrongGressis1975-4] 1 2 هيا، ارمسترونج وجريسيس (1975) .

[FOOTNOTESpringer1979-5] 1 2 3 4 5 سبرينغر (1979) .

[FOOTNOTEPham-GiaTurkkanMarchand2006-6] 1 2 فام جيا، توركان ومارشاند (2006) .

[7] فيلر (1932) ؛ مارساليا (1964) ؛ مرساجليا (1965) .

[FOOTNOTEBrodyWilliamsWoldQuake2002-8] برودي وآخرون (2002) .

[FOOTNOTEŠimonFtorek2022-9] سيمون وفتورك (2022) .

[FOOTNOTEDíaz-FrancésRubio2012-10] دياز فرانسيس وروبيو (2012) .

[FOOTNOTESpringer1979problem_4.28-11] 1 2 سبرينغر (1979) ، المشكلة 4.28.

[FOOTNOTEKatzBaptistaAzenPike1978-12] 1 2 كاتز وآخرون (1978) .

[FOOTNOTEBaxleyWaldenhorstAcosta-Marum2010-14] باكسلي ووالدنهورست وأكوستا ماروم (2010) .

[FOOTNOTESourisseauWuZhou2022-15] سوريسو وو وتشو (2022) .

[FOOTNOTEKermond2010-18] 1 2 3 كيرموند (2010) .

[FOOTNOTESpringer1979158Question_4.6-19] سبرينغر (1979) ، ص 158، السؤال 4.6.

[nist-20] "SLAPPF" . قسم الهندسة الإحصائية، المعهد الوطني للعلوم والتكنولوجيا. 2004. تم الاطلاع عليه بتاريخ 2009-07-02 .

[FOOTNOTEPham-Gia2000-22] فام جيا (2000) .

[FOOTNOTEHamedani2013-23] همداني (2013) .

[FOOTNOTERaoGarg1969-24] راو وجارج (1969) .

[FOOTNOTECohen1960-25] كوهين (1960) .

[FOOTNOTESpringael2006-26] سبرينجيل (2006) .

[FOOTNOTEDietzBohning2000-27] ديتز وبونينغ (2000) .

[FOOTNOTEBinduSangita2015-28] بيندو وسانجيتا (2015) .

[FOOTNOTEBrennanReed1982-29] برينان وريد (1982) .

[FOOTNOTEMuirhead1982corollary_3.2.9-30] مويرهيد (1982) ، النتيجة 3.2.9.

[FOOTNOTEMuirhead198296Theorem_3.2.12-31] مويرهيد (1982) ، ص. 96، النظرية 3.2.12.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ].

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ أ ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ ب ]

[ ج ]

[

[ 16 ]

[ 17 ]

[ د ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗