باديه التقريبي

في الرياضيات ، يُعرف تقريب باديه بأنه أفضل تقريب لدالة ما بالقرب من نقطة محددة باستخدام دالة كسرية من رتبة معينة. وبموجب هذه التقنية، تتطابق متسلسلة قوى التقريب مع متسلسلة قوى الدالة التي يُقاربها. طُوّرت هذه التقنية حوالي عام 1890 على يد هنري باديه ، لكن جذورها تعود إلى جورج فروبينيوس ، الذي طرح الفكرة ودرس خصائص التقريبات الكسرية لمتسلسلات القوى.

غالبًا ما يُعطي تقريب باديه تقريبًا أفضل للدالة من اقتطاع متسلسلة تايلور الخاصة بها ، وقد يظل فعالًا حتى في الحالات التي لا تتقارب فيها متسلسلة تايلور . لهذه الأسباب، تُستخدم تقريبات باديه على نطاق واسع في الحسابات الحاسوبية . كما استُخدمت كدوال مساعدة في التقريب الديوفانتي ونظرية الأعداد المتسامية ، مع أن الطرق المخصصة - المستوحاة من نظرية باديه - تحل محلها عادةً للحصول على نتائج دقيقة. ولأن تقريب باديه دالة كسرية، فقد تظهر نقطة شاذة اصطناعية كتقريب، ولكن يمكن تجنب ذلك باستخدام تحليل بوريل-باديه .

يتضح سبب كون تقريب باديه تقريبًا أفضل من متسلسلة تايلور المقطوعة من منظور طريقة الجمع متعدد النقاط. نظرًا لوجود العديد من الحالات التي يصبح فيها التوسع التقاربي عند اللانهاية صفرًا أو ثابتًا، يمكن تفسيره على أنه "تقريب باديه غير الكامل ذو النقطتين"، حيث يتفوق تقريب باديه العادي على طريقة اقتطاع متسلسلة تايلور.

بفرض دالة f وعددين صحيحين m ≥ 0 و n ≥ 1 ، فإن تقريب باديه من الرتبة [ m / n ] هو الدالة الكسرية

$${\displaystyle R(x)={\frac {\sum _{j=0}^{m}a_{j}x^{j}}{1+\sum _{k=1}^{n}b_{k}x^{k}}}={\frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{m}x^{m}}{1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\dots +b_{n}x^{n}}},}$$ وهو ما يتوافق مع f ( x ) إلى أعلى رتبة ممكنة، وهو ما يعادل $${\displaystyle {\begin{aligned}f(0)&=R(0),\\f'(0)&=R'(0),\\f''(0)&=R''(0),\\&\mathrel {\;\vdots } \\f^{(m+n)}(0)&=R^{(m+n)}(0).\end{aligned}}}$$

وبعبارة أخرى، إذا${\displaystyle R(x)}$يتم توسيعها في متسلسلة ماكلورين ( متسلسلة تايلور عند 0)، وهي الأولى${\displaystyle m+n}$ستكون الحدود مساوية للأولى${\displaystyle m+n}$شروط${\displaystyle f(x)}$وبالتالي $${\displaystyle f(x)-R(x)=c_{m+n+1}x^{m+n+1}+c_{m+n+2}x^{m+n+2}+\cdots }$$

عندما يكون موجودًا، يكون تقريب باديه فريدًا كسلسلة قوى رسمية لـ m و n المعطاة . ^{[ 1 ]}

يُشار أيضًا إلى تقريب باديه المعرّف أعلاه باسم $${\displaystyle [m/n]_{f}(x).}$$

بالنسبة لقيمة f المعطاة ، يمكن حساب تقريبات باديه بواسطة خوارزمية إبسيلون لوين [ ^{2 ] وأيضًا} بواسطة تحويلات متسلسلة أخرى ^{[ 3 ]} من المجاميع الجزئية. $${\displaystyle T_{N}(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{N}x^{N}}$$ من متسلسلة تايلور للدالة f ، أي لدينا $${\displaystyle c_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}.}$$يمكن أن تكون f أيضًا سلسلة قوى رسمية ، وبالتالي، يمكن أيضًا تطبيق تقريبات باديه على مجموع المتسلسلات المتباعدة .

إحدى طرق حساب تقريب باديه هي عبر خوارزمية إقليدس الموسعة للقاسم المشترك الأكبر لكثير الحدود . ^{[ 4 ]} العلاقة $${\displaystyle R(x)=P(x)/Q(x)=T_{m+n}(x){\bmod {x}}^{m+n+1}}$$ يكافئ وجود عامل ما${\displaystyle K(x)}$بحيث $${\displaystyle P(x)=Q(x)T_{m+n}(x)+K(x)x^{m+n+1},}$$ والتي يمكن تفسيرها على أنها متطابقة بيزو لخطوة واحدة في حساب القاسم المشترك الأكبر الموسع لكثيرات الحدود${\displaystyle T_{m+n}(x)}$و${\displaystyle x^{m+n+1}}$.

تذكر أنه لحساب القاسم المشترك الأكبر لكثيرتي حدود p و q ، يتم حساب متتابعة الباقي عن طريق القسمة المطولة $${\displaystyle r_{0}=p,\;r_{1}=q,\quad r_{k-1}=q_{k}r_{k}+r_{k+1},}$$k = 1، 2، 3، ... مع${\displaystyle \deg r_{k+1<\deg r_{k}\,}$، حتى${\displaystyle r_{k+1}=0}$بالنسبة لهويات بيزو للقاسم المشترك الأكبر الموسع، يتم حساب متتاليتي كثيرات الحدود في آن واحد. $${\displaystyle u_{0}=1,\;v_{0}=0,\quad u_{1}=0,\;v_{1}=1,\quad u_{k+1}=u_{k-1}-q_{k}u_{k},\;v_{k+1}=v_{k-1}-q_{k}v_{k}}$$ للحصول على هوية بيزو في كل خطوة $${\displaystyle r_{k}(x)=u_{k}(x)p(x)+v_{k}(x)q(x).}$$

بالنسبة للتقريب [ m / n ] ، يتم تنفيذ خوارزمية إقليدس الموسعة لـ $${\displaystyle r_{0}=x^{m+n+1},\;r_{1}=T_{m+n}(x)}$$ ويوقفه في اللحظة الأخيرة التي${\displaystyle v_{k}}$له درجة n أو أقل.

ثم كثيرات الحدود${\displaystyle P=r_{k},\;Q=v_{k}}$أعطِ تقريب باديه [ m / n ] . إذا تم حساب جميع خطوات حساب القاسم المشترك الأكبر الموسع، فسيتم الحصول على قطر مضاد لجدول باديه .

لدراسة إعادة تجميع سلسلة متباعدة ، على سبيل المثال $${\displaystyle \sum _{z=1}^{\infty }f(z),}$$ قد يكون من المفيد تقديم دالة باديه أو ببساطة دالة زيتا النسبية كـ $${\displaystyle \zeta _{R}(s)=\sum _{z=1}^{\infty }{\frac {R(z)}{z^{s}}},}$$ أين $${\displaystyle R(x)=[m/n]_{f}(x)}$$ يمثل تقريب باديه من الرتبة ( m , n ) للدالة f ( x ) . وتُعتبر قيمة تنظيم زيتا عند s = 0 هي مجموع المتسلسلة المتباعدة.

المعادلة الوظيفية لدالة زيتا باديه هذه هي $${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}a_{j}\zeta _{R}(sj)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}\zeta _{0}(sj),}$$ حيث يمثل aj و bj معاملات تقريب باديه. يشير الرمز السفلي '0' إلى أن تقريب باديه من الرتبة [0/0]، وبالتالي، لدينا _{دالة زيتا} لريمان .

يمكن استخدام تقريبات باديه لاستخراج النقاط الحرجة وأسس الدوال. ^{[ 5 ] [ 6 ]} في الديناميكا الحرارية، إذا كانت الدالة f ( x ) تتصرف بطريقة غير تحليلية بالقرب من نقطة x = r، مثل${\displaystyle f(x)\sim |xr|^{p}}$يُطلق على النقطة x = r اسم النقطة الحرجة، وعلى p اسم الأس الحرج المرتبط بها للدالة f . إذا عُرفت حدود كافية من متسلسلة تايلور للدالة f ، يُمكن استخلاص النقاط الحرجة والأسس الحرجة تقريبًا من أقطاب وبواقي تقريبات باديه، على التوالي.${\displaystyle [n/n+1]_{g}(x)}$، أين${\displaystyle g=f'/f}$.

يُقارب مُقارب باديه دالة في متغير واحد. ويُسمى المُقارب في متغيرين مُقارب تشيشولم (نسبةً إلى جيه إس آر تشيشولم )، ^{[ 7 ]} وفي عدة متغيرات يُسمى مُقارب كانتربري (نسبةً إلى غريفز-موريس في جامعة كنت ). ^{[ 8 ]}

يُحدد أن تقريب باديه التقليدي يُعيد إنتاج متسلسلة ماكلورين حتى رتبة معينة. لذلك، قد يكون التقريب ضعيفًا عند القيم البعيدة عن نقطة التوسع. ويتم تجنب ذلك باستخدام تقريب باديه ثنائي النقاط، وهو نوع من طرق الجمع متعددة النقاط. ^{[ 9 ]} عند${\displaystyle x=0}$لنفترض حالة دالة${\displaystyle f(x)}$والذي يتم التعبير عنه من خلال السلوك التقاربي${\displaystyle f_{0}(x)}$: $${\displaystyle f\sim f_{0}(x)+o{\big (}f_{0}(x){\big )},\quad x\to 0,}$$ وفي${\displaystyle x\to \infty }$سلوك تقاربي إضافي${\displaystyle f_{\infty }(x)}$: $${\displaystyle f(x)\sim f_{\infty }(x)+o{\big (}f_{\infty }(x){\big )},\quad x\to \infty .}$$

عن طريق اختيار السلوك الرئيسي لـ${\displaystyle f_{0}(x),f_{\infty }(x)}$الدوال التقريبية${\displaystyle F(x)}$يمكن إيجاد طريقة لإعادة إنتاج السلوك التقاربي في آن واحد من خلال تطوير تقريب باديه في حالات مختلفة. ونتيجة لذلك، عند النقطة${\displaystyle x\to \infty }$في حين أن دقة التقريب قد تكون في أدنى مستوياتها في تقريب باديه العادي، فإن دقة تقريب باديه ثنائي النقاط مضمونة. لذلك، يمكن أن يكون تقريب باديه ثنائي النقاط طريقة تعطي تقريبًا جيدًا بشكل عام لـ${\displaystyle x=0\sim \infty }$[ ^{10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]​}

في الحالات التي${\displaystyle f_{0}(x),f_{\infty }(x)}$تُعبَّر عنها بواسطة كثيرات الحدود أو متسلسلات القوى السالبة، أو الدالة الأسية، أو الدالة اللوغاريتمية، أو${\displaystyle x\ln x}$يمكننا تطبيق تقريب باديه ذي النقطتين على${\displaystyle f(x)}$توجد طريقة لاستخدام هذا للحصول على حل تقريبي لمعادلة تفاضلية بدقة عالية. ^{[ 9 ]} كذلك، بالنسبة للأصفار غير التافهة لدالة زيتا لريمان، يمكن تقدير أول صفر غير تافه بدقة معينة من السلوك التقاربي على المحور الحقيقي. ^{[ 9 ]}

يُعد تقريب باديه متعدد النقاط امتدادًا آخر لتقريب باديه ثنائي النقاط. ^{[ 9 ]} تعالج هذه الطريقة نقاط التفرد.${\displaystyle x=x_{j}(j=1,2,3,\dots ,N)}$دالة${\displaystyle f(x)}$والتي يجب تقريبها. ضع في اعتبارك الحالات التي يتم فيها التعبير عن نقاط التفرد لدالة ما باستخدام الدليل${\displaystyle n_{j}}$بواسطة $${\displaystyle f(x)\sim {\frac {A_{j}}{(x-x_{j})^{n_{j}}}},\quad x\to x_{j}.}$$

إلى جانب تقريب باديه ذي النقطتين، والذي يتضمن معلومات عند${\displaystyle x=0,x\to \infty }$، هذه الطريقة تقارب لتقليل خاصية التباعد عند${\displaystyle x\sim x_{j}}$ونتيجة لذلك، وبما أن معلومات خصوصية الدالة قد تم التقاطها، فإن تقريب الدالة${\displaystyle f(x)}$يمكن إجراؤها بدقة أعلى.

sin( x ) ^{[ 14 ]}

$${\displaystyle \sin(x)\approx {\frac {{\frac {12671}{4363920}}x^{5}-{\frac {2363}{18183}}x^{3}+x}{1+{\frac {445}{12122}}x^{2}+{\frac {601}{872784}}x^{4}+{\frac {121}{16662240}}x^{6}}}}$$

exp( x ) ^{[ 15 ]}

$${\displaystyle \exp(x)\approx {\frac {1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{9}}x^{2}+{\frac {1}{72}}x^{3}+{\frac {1}{1008}}x^{4}+{\frac {1}{30240}}x^{5}}{1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{9}}x^{2}-{\frac {1}{72}}x^{3}+{\frac {1}{1008}}x^{4}-{\frac {1}{30240}}x^{5}}}}$$

ln(1+ x ) ^{[ 16 ]}

$${\displaystyle \ln(1+x)\approx {\frac {x+{\frac {1}{2}}x^{2}}{1+x+{\frac {1}{6}}x^{2}}}}$$

جاكوبي sn( z |3) ^{[ 17 ]}

$${\displaystyle \mathrm {sn} (z|3)\approx {\frac {-{\frac {9851629}{283609260}}z^{5}-{\frac {572744}{4726821}}z^{3}+z}{1+{\frac {859490}{1575607}}z^{2}-{\frac {5922035}{56721852}}z^{4}+{\frac {62531591}{2977897230}}z^{6}}}}$$

بيسيل J ₅ ( x )

$${\displaystyle J_{5}(x)\approx {\frac {-{\frac {107}{28416000}}x^{7}+{\frac {1}{3840}}x^{5}}{1+{\frac {151}{5550}}x^{2}+{\frac {1453}{3729600}}x^{4}+{\frac {1339}{358041600}}x^{6}+{\frac {2767}{120301977600}}x^{8}}}}$$

خطأ erf( x )

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{15{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\frac {49140x+3570x^{3}+739x^{5}}{165x^{4}+1330x^{2}+3276}}}$$

فريسنل C ( x )

$${\displaystyle C(x)\approx {\frac {1}{135}}\cdot {\frac {990791\pi ^{4}x^{9}-147189744\pi ^{2}x^{5}+8714684160x}{1749\pi ^{4}x^{8}+523536\pi ^{2}x^{4}+64553216}}}$$

• جدول باديه – المصفوفة في التحليل المركب 
• صيغة بهاسكارا الأول لتقريب الجيب – صيغة لتقدير دالة الجيب. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• نظرية التقريب – نظرية الحصول على نتائج قريبة بشكل مقبول من الحسابات الرياضية غير الدقيقة 
• تقريب الدوال – تقريب دالة عشوائية بدالة منتظمة. 

• بيكر، جي إيه، الابن؛ وغريفز-موريس، بي. تقريبيات بادي . مطبعة جامعة كامبريدج ، 1996.
• Baker, GA, Jr. Padé approximant , Scholarpedia , 7(6):9756.
• بريزينسكي، سي.؛ ريديفو زاجليا، إم. أساليب الاستقراء: النظرية والتطبيق . نورث هولاند ، 1991. ISBN 978-0444888143
• بريس، دبليو إتش؛ تيوكولسكي، إس إيه؛ فيترلينغ، دبليو تي؛ فلانيري، بي بي (2007)، "القسم 5.12 تقريبات باديه" ، وصفات عددية: فن الحوسبة العلمية (  الطبعة الثالثة)، نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-88068-8تمت أرشفة هذا النص من المصدر الأصلي بتاريخ 2016-03-03 ، وتمت مراجعته بتاريخ 2011-08-09.
• Frobenius، G. (1881)، “Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen” ، مجلة für die reine und angewandte Mathematik (مجلة Crelle) ( 90): 1–17.
• غراغ، دبليو بي (1972)، "جدول بادي وعلاقته ببعض خوارزميات التحليل العددي"، مجلة SIAM ، 14 (1): 1-62 ، doi : 10.1137/1014001.
• Padé, H. (1892), “Sur la répresentation approchée d’une fonction par des Fractions Rationelles (Thesis)” , , Ann. المدرسة نور. (3) ، 9 : 3 – 93 ملحق.
• وين، ب. (1966)، "حول أنظمة التكرار التي تتحقق بين نواتج قسمة جدول باديه"، الرياضيات العددية ، 8 (3): 264-269 ، doi : 10.1007/BF02162562 ، S2CID 123789548 .

• وايسستين، إريك دبليو ، "بادي تقريبي" ، MathWorld
• تقريبات باديه ، أولكسندر بافليك، مشروع عروض وولفرام .
• كتاب موجز لتحليل البيانات: تقريب بادي ، رودولف ك. بوك، المختبر الأوروبي لفيزياء الجسيمات ، سيرن .
• Sinewave ، سكوت داتالو، آخر دخول 2010-11-11.
• دالة MATLAB لتقريب باديه للنماذج مع تأخيرات زمنية.