نظرية الأعداد المتسامية

يعود استخدام مصطلح "متسامٍ" للإشارة إلى كائن غير جبري إلى القرن السابع عشر، عندما أثبت غوتفريد لايبنتز أن دالة الجيب ليست دالة جبرية . ^{[ 1 ]} أما مسألة ما إذا كانت فئات معينة من الأعداد يمكن أن تكون متسامية فتعود إلى عام 1748 ^{[ 2 ]} عندما أكد أويلر ^{[ 3 ]} أن العدد log _a b ليس جبريًا للأعداد النسبية a و b بشرط ألا يكون b على الصورة b  = ac لبعض الأعداد ^{النسبية} c . 

لم يُثبت ادعاء أويلر حتى القرن العشرين، ولكن بعد قرابة مئة عام من ادعائه، تمكن جوزيف ليوفيل من إثبات وجود أعداد غير جبرية، وهو أمر لم يكن معروفًا على وجه اليقين حتى ذلك الحين. ^{[ 4 ]} وقد عرضت أوراقه البحثية الأصلية حول هذا الموضوع في أربعينيات القرن التاسع عشر حججًا باستخدام الكسور المستمرة البسيطة لبناء أعداد متسامية. وفي وقت لاحق، في خمسينيات القرن التاسع عشر، قدم شرطًا ضروريًا لكون العدد جبريًا، وبالتالي شرطًا كافيًا لكون العدد متساميًا. ^{[ 5 ]} لم يكن معيار التسامي هذا قويًا بما يكفي ليكون شرطًا ضروريًا أيضًا، بل إنه يعجز عن إثبات أن العدد e متسامٍ. لكن عمله قدّم فئة أوسع من الأعداد المتسامية، تُعرف الآن بأعداد ليوفيل تكريمًا له.

ينص معيار ليوفيل أساسًا على أنه لا يمكن تقريب الأعداد الجبرية بدقة عالية باستخدام الأعداد النسبية. لذا، إذا أمكن تقريب عدد ما بدقة عالية باستخدام الأعداد النسبية، فلا بد أن يكون عددًا متساميًا. يرتبط المعنى الدقيق لعبارة "تقريب دقيق" في أعمال ليوفيل بأس معين. فقد بيّن أنه إذا كان α عددًا جبريًا من الدرجة d  ≥  2، وكان ε أي عدد أكبر من الصفر، فإن التعبير

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{d+\varepsilon }}}}$

لا يمكن تحقيق ذلك إلا بعدد محدود من الأعداد النسبية p / q . استخدام هذا كمعيار للتسامي ليس بالأمر البسيط، إذ يجب التحقق مما إذا كان هناك عدد لا نهائي من الحلول p / q لكل d  ≥  2.

في القرن العشرين، قام كلٌ من أكسل ثو ^{[ 6 ]} ، وكارل سيجل ^{[ 7 ]} ، وكلاوس روث ^{[ 8 ]} باختزال الأس في عمل ليوفيل من d  +  ε إلى d /2  +  1  +  ε، وأخيرًا، في عام 1955، إلى 2  +  ε. تُعرف هذه النتيجة باسم نظرية ثو-سيجل-روث ، وهي ظاهريًا أفضل نتيجة ممكنة، لأنه إذا استُبدل الأس 2  + ε بالعدد 2 فقط، فإن النتيجة تصبح غير صحيحة. مع ذلك، افترض سيرج لانج تحسينًا لنتيجة روث؛ وتحديدًا، افترض أنه يمكن اختزال q ^2+ε في مقام الطرف الأيمن إلى ${\displaystyle q^{2}(\log q)^{1+\epsilon }}$.

أنهى عمل روث فعلياً العمل الذي بدأه ليوفيل، وسمحت نظريته للرياضيين بإثبات تسامي العديد من الأعداد الأخرى، مثل ثابت تشامبرنون . مع ذلك، لا تزال النظرية غير كافية للكشف عن جميع الأعداد المتسامية، والعديد من الثوابت الشهيرة، بما في ذلك e وπ، إما أنها غير قابلة للتقريب بدقة عالية بالمعنى المذكور أعلاه، أو أنه من غير المعروف أنها كذلك. ^{[ 9 ]}

لحسن الحظ، طُورت طرق أخرى في القرن التاسع عشر للتعامل مع الخصائص الجبرية للعدد e ، وبالتالي للعدد π من خلال متطابقة أويلر . ركز هذا العمل على استخدام ما يُسمى بالدالة المساعدة . وهي دوال عادةً ما يكون لها العديد من الأصفار عند النقاط قيد الدراسة. هنا، قد تعني "العديد من الأصفار" العديد من الأصفار المختلفة، أو صفرًا واحدًا فقط بتعددية عالية ، أو حتى العديد من الأصفار ذات تعددية عالية. استخدم تشارلز هيرميت دوالًا مساعدة تُقارب هذه الدوال.${\displaystyle e^{kx}}$لكل عدد طبيعي${\displaystyle k}$من أجل إثبات تجاوز${\displaystyle e}$في عام 1873. ^{[ 10 ]} استند فرديناند فون ليندمان إلى عمله في ثمانينيات القرن التاسع عشر ^{[ 11 ]} لإثبات أن e^ ^α عدد متسامٍ للأعداد الجبرية غير الصفرية α. وعلى وجه الخصوص، أثبت هذا أن π عدد متسامٍ لأن e^ ^{πi عدد جبري ،} وبالتالي أجاب بالنفي على مشكلة العصور القديمة حول إمكانية تربيع الدائرة . طور كارل فايرشتراس عملهم أكثر وأثبت في النهاية نظرية ليندمان-فايرشتراس في عام 1885. ^{[ 12 ]}

في عام ١٩٠٠، طرح ديفيد هيلبرت مجموعته الشهيرة من المسائل . وكانت المسألة السابعة منها ، والتي تُعدّ من أصعب المسائل في تقدير هيلبرت، تتناول تجاوز الأعداد من الشكل a + ^b، حيث a و b عددان جبريان، و a ليس صفرًا ولا واحدًا، و b عدد غير نسبي . في ثلاثينيات القرن العشرين، أثبت ألكسندر جيلفوند ^{[ ١٣ ]} وثيودور شنايدر ^{[ ١٤ ]} أن جميع هذه الأعداد متسامية بالفعل باستخدام دالة مساعدة غير صريحة، تم إثبات وجودها بواسطة مبرهنة سيجل . وقد أثبتت هذه النتيجة، وهي مبرهنة جيلفوند-شنايدر ، تجاوز أعداد مثل e + ^π وثابت جيلفوند -شنايدر .

تحققت النتيجة الكبيرة التالية في هذا المجال في ستينيات القرن العشرين، عندما أحرز آلان بيكر تقدمًا في مسألة طرحها جيلفوند حول الصيغ الخطية في اللوغاريتمات . وقد تمكن جيلفوند نفسه من إيجاد حد أدنى غير تافه للكمية

${\displaystyle |\beta _{1}\log \alpha _{1}+\beta _{2}\log \alpha _{2}|\,}$

حيث تكون جميع المجاهيل الأربعة جبرية، وقيم α ليست صفرًا ولا واحدًا، وقيم β غير نسبية. مع ذلك، فقد استعصى على جيلفوند إيجاد حدود دنيا مماثلة لمجموع ثلاثة لوغاريتمات أو أكثر. احتوى برهان نظرية بيكر على مثل هذه الحدود، وحلّ في الوقت نفسه مسألة عدد فئات غاوس للفئة رقم واحد. وقد فاز بيكر بفضل هذا العمل بميدالية فيلدز لاستخدامه في حل المعادلات الديوفانتية . من وجهة نظر نظرية الأعداد المتسامية البحتة، أثبت بيكر أنه إذا كانت α₁ _, ..., αₙ _{أعدادًا} جبرية، لا يساوي أي منها صفرًا أو واحدًا، وكانت β₁ _, ..., βₙ _{أعدادًا} جبرية بحيث تكون 1, β₁ _, ..., βₙ _مستقلة خطيًا على الأعداد النسبية، فإن العدد

${\displaystyle \alpha _{1}^{\beta _{1}}\alpha _{2}^{\beta _{2}}\cdots \alpha _{n}^{\beta _{n}}}$

هو متعالٍ. ^{[ 15 ]}

في سبعينيات القرن التاسع عشر، بدأ جورج كانتور بتطوير نظرية المجموعات ، وفي عام ١٨٧٤، نشر بحثًا يُثبت إمكانية وضع الأعداد الجبرية في تناظرٍ أحادي مع مجموعة الأعداد الطبيعية ، وبالتالي فإن مجموعة الأعداد المتسامية يجب أن تكون غير قابلة للعد . ^{[ ١٦ ]} لاحقًا، في عام ١٨٩١، استخدم كانتور حجته القطرية الأكثر شيوعًا لإثبات النتيجة نفسها. ^{[ ١٧ ]} على الرغم من أن نتيجة كانتور تُستشهد بها غالبًا على أنها وجودية بحتة، وبالتالي غير قابلة للاستخدام في بناء عدد متسامٍ واحد، ^{[ ١٨ ] [ ١٩ ]} فإن البراهين في كلتا البحثين المذكورين آنفًا تُقدم طرقًا لبناء الأعداد المتسامية. ^{[ ٢٠ ]}

بينما استخدم كانتور نظرية المجموعات لإثبات وفرة الأعداد المتسامية، فقد تمثل أحد التطورات الحديثة في استخدام نظرية النماذج في محاولات لإثبات مشكلة لم تُحل في نظرية الأعداد المتسامية. وتتمثل هذه المشكلة في تحديد درجة التسامي للحقل.

${\displaystyle K=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n},e^{x_{1}},\ldots ,e^{x_{n}})}$

بالنسبة للأعداد المركبة x₁ _, ..., xₙ المستقلة خطيًا على مجموعة الأعداد النسبية، _افترض ستيفن شانيل أن الإجابة هي على الأقل n ، ولكن لا يوجد برهان معروف. مع ذلك، في عام ٢٠٠٤، نشر بوريس زيلبر ورقة بحثية استخدم فيها تقنيات نظرية النماذج لإنشاء بنية تتصرف بشكل مشابه جدًا للأعداد المركبة المزودة بعمليات الجمع والضرب والأس. علاوة على ذلك، في هذه البنية المجردة، يتحقق افتراض شانيل بالفعل. ^{[ ٢١ ]} لسوء الحظ، لم يُعرف بعد ما إذا كانت هذه البنية هي نفسها الأعداد المركبة مع العمليات المذكورة؛ فقد توجد بنية مجردة أخرى تتصرف بشكل مشابه جدًا للأعداد المركبة ولكن لا يتحقق فيها افتراض شانيل. قدم زيلبر عدة معايير من شأنها أن تثبت أن البنية المعنية هي C ، لكنه لم يستطع إثبات ما يسمى ببديهية الإغلاق الأسي القوي. لقد تم إثبات أبسط حالة من هذه البديهية منذ ذلك الحين، ^{[ 22 ]} ولكن يلزم إثبات أنها صحيحة بشكل عام لإكمال إثبات التخمين.

إحدى طرق تعريف عدد ليوفيل هي النظر في مدى صغر عدد حقيقي معين x الذي يجعل كثيرات الحدود الخطية | qx  − p | دون أن يجعلها تساوي 0 بالضبط. هنا p و q عددان صحيحان حيث | p | و | q | محدودة بعدد صحيح موجب H.   

يترك${\displaystyle m(x,1,H)}$ليكن أصغر قيمة مطلقة غير صفرية تأخذها هذه كثيرات الحدود، وليكن:

${\displaystyle \omega (x,1,H)=-{\frac {\log m(x,1,H)}{\log H}}}$

${\displaystyle \omega (x,1)=\limsup _{H\to \infty }\,\omega (x,1,H).}$

يُطلق على ω( x , 1) غالبًا اسم مقياس اللاعقلانية للعدد الحقيقي x . بالنسبة للأعداد النسبية، ω( x , 1) = 0، ويكون على الأقل 1 للأعداد الحقيقية اللاعقلانية. يُعرَّف عدد ليوفيل بأنه ذو مقياس لاعقلانية لانهائي. تنص نظرية روث على أن الأعداد الجبرية الحقيقية اللاعقلانية لها مقياس لاعقلانية يساوي 1.   

بعد ذلك، ضع في اعتبارك قيم كثيرات الحدود عند عدد مركب x ، عندما يكون لهذه كثيرات الحدود معاملات صحيحة، ودرجة على الأكثر n ، وارتفاع على الأكثر H ، حيث n و H أعداد صحيحة موجبة.

يترك${\displaystyle m(x,n,H)}$ليكن أصغر قيمة مطلقة غير صفرية تأخذها هذه كثيرات الحدود عند${\displaystyle x}$وخذ:

${\displaystyle \omega (x,n,H)=-{\frac {\log m(x,n,H)}{n\log H}}}$

${\displaystyle \omega (x,n)=\limsup _{H\to \infty }\,\omega (x,n,H).}$

لنفترض أن هذا العدد لانهائي لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة الدنيا n . يُطلق على العدد المركب x في هذه الحالة اسم عدد U من الدرجة n .   

الآن يمكننا أن نحدد

${\displaystyle \omega (x)=\limsup _{n\to \infty }\,\omega (x,n).}$

يُطلق على ω( x ) غالبًا اسم مقياس تجاوز x . إذا كانت قيم ω( x , n ) محدودة، فإن ω( x ) تكون منتهية، ويُطلق على x اسم عدد S. أما إذا كانت قيم ω( x , n ) منتهية ولكنها غير محدودة، فيُطلق على x اسم عدد T. ويكون x جبريًا إذا وفقط إذا كانت ω ( x ) = 0.     

من الواضح أن أعداد ليوفيل هي مجموعة جزئية من أعداد U. وقد قام ويليام ليفيك عام 1953 بإنشاء أعداد U بأي درجة مطلوبة. ^{[ 24 ]} أعداد ليوفيل ، وبالتالي أعداد U، هي مجموعات غير قابلة للعد. وهي مجموعات قياسها صفر. ^{[ 25 ]}

تشمل الأعداد المتسامية أيضًا مجموعة ذات قياس صفري. ^{[ 26 ]} استغرق الأمر حوالي 35 عامًا لإثبات وجودها. في عام 1968، أثبت فولفغانغ م. شميدت وجود أمثلة عليها. مع ذلك، فإن جميع الأعداد المركبة تقريبًا هي أعداد متسامية. ^{[ 27 ]} أثبت ماهلر أن الدالة الأسية تُحوّل جميع الأعداد الجبرية غير الصفرية إلى أعداد متسامية: ^{[ 28 ] [ 29 ]} وهذا يُبيّن أن e عدد متسامي، ويُقدّم برهانًا على تسامي π . من المعروف أن هذا العدد π ليس عددًا متساميًا. ^{[ 30 ]} لا تزال العديد من الأعداد المتسامية الأخرى غير مصنفة.

يُقال عن عددين x و y أنهما مرتبطان جبريًا إذا وُجدت كثيرة حدود غير صفرية P في متغيرين بمعاملات صحيحة بحيث يكون P ( x , y ) = 0. توجد نظرية قوية تنص على أن عددين مركبين مرتبطين جبريًا ينتميان إلى نفس فئة ماهلر. ^{[ 24 ] [ 31 ]} وهذا يسمح بإنشاء أعداد متسامية جديدة، مثل مجموع عدد ليوفيل مع e أو π .    

ربما كان الرمز S يرمز إلى اسم معلم مالر كارل لودفيج سيجل ، والحرفان T و U هما الحرفان التاليان.

اقترح يورجن كوكسما في عام 1939 تصنيفًا آخر يعتمد على التقريب بالأعداد الجبرية. ^{[ 23 ] [ 32 ]}

لنفترض تقريب العدد المركب x بأعداد جبرية من الدرجة ≤ n والارتفاع ≤ H. ليكن α عددًا جبريًا من هذه المجموعة المنتهية بحيث يكون للمجموع | x − α| أصغر قيمة موجبة. عرّف ω*( x , H , n ) و ω*( x , n ) كما يلي:  

${\displaystyle |x-\alpha |=H^{-n\omega ^{*}(x,H,n)-1}.}$

${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)=\limsup _{H\to \infty }\,\omega ^{*}(x,n,H).}$

إذا كان ω*( x , n ) لانهائيًا بالنسبة لأصغر عدد صحيح موجب n ، فإن x يسمى عدد U* من الدرجة n . 

إذا كانت قيم ω*( x , n ) محدودة ولا تتقارب إلى 0، فإن x يُطلق عليه عدد S* .

يُطلق على العدد x اسم عدد A* إذا تقاربت ω*( x , n ) إلى  0.

إذا كانت جميع قيم ω*( x , n ) محدودة ولكنها غير مقيدة، فإن x يُطلق عليه عدد T* .

تتشابه تصنيفات كوكسما وماهلر في تقسيمها للأعداد المتسامية إلى الفئات نفسها. ^{[ 32 ]} أما أعداد A* فهي الأعداد الجبرية. ^{[ 27 ]}

يترك

${\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{3}}+\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}.}$

يمكن إثبات أن الجذر النوني لـ λ (عدد ليوفيل) هو عدد U من الدرجة n . ^{[ 33 ]}

يمكن تحسين هذا البناء لإنشاء عائلة غير قابلة للعد من أعداد U من الدرجة n . ليكن Z المجموعة التي تتكون من كل قوة أخرى للعدد 10 في المتسلسلة أعلاه لـ λ. مجموعة جميع المجموعات الجزئية من Z غير قابلة للعد. يؤدي حذف أي مجموعة جزئية من Z من المتسلسلة لـ λ إلى إنشاء عدد غير قابل للعد من أعداد ليوفيل المختلفة، والتي جذورها النونية هي أعداد U من الدرجة n .

تُسمى القيمة العليا للمتتالية {ω( x , n )} بالنوع ω. جميع الأعداد الحقيقية تقريبًا هي أعداد S من النوع 1، وهو النوع الأدنى للأعداد الحقيقية من النوع S. جميع الأعداد المركبة تقريبًا هي أعداد S من النوع 1/2، وهو أيضًا النوع الأدنى. افترض ماهلر صحة ادعاءات "جميع الأعداد تقريبًا"، وأثبتها فلاديمير سبريندزوك عام 1965. ^{[ 34 ]}