طاولة بادي

في التحليل المركب ، جدول باديه هو مصفوفة، قد تكون ذات امتداد لانهائي، من تقريبات باديه النسبية

R _{m , n}

إلى متسلسلة قوى رسمية معقدة معينة . يمكن في كثير من الأحيان إثبات أن بعض متواليات التقريبات التي تقع ضمن جدول باديه تتوافق مع التقاربات المتتالية لتمثيل الكسر المستمر لدالة هولومورفية أو ميرومورفية .

على الرغم من أن علماء الرياضيات السابقين قد توصلوا إلى نتائج متفرقة تتضمن متواليات من التقريبات النسبية للدوال المتسامية ، إلا أن فروبينيوس (عام 1881) كان على ما يبدو أول من نظم هذه التقريبات في شكل جدول. وقد وسّع هنري بادي هذا المفهوم في أطروحته للدكتوراه بعنوان "حول التمثيل التقريبي لدالة بواسطة الكسور النسبية" عام 1892. وعلى مدى السنوات الست عشرة اللاحقة، نشر بادي 28 بحثًا إضافيًا استكشف فيها خصائص جدوله، وربط الجدول بالكسور المستمرة التحليلية. ^{[ 1 ]}

أُعيد إحياء الاهتمام الحديث بجداول باديه على يد إتش إس وول وأوسكار بيرون ، اللذين انصبّ اهتمامهما بالدرجة الأولى على الروابط بين هذه الجداول وأنواع معينة من الكسور المستمرة. ونشر دانيال شانكس وبيتر وين أبحاثًا مؤثرة حوالي عام 1955، وحقق دبليو بي غراغ نتائج تقارب واسعة النطاق خلال سبعينيات القرن العشرين. وفي الآونة الأخيرة، حفّز الاستخدام الواسع النطاق للحواسيب الإلكترونية اهتمامًا إضافيًا كبيرًا بهذا الموضوع. ^{[ 2 ]}

يتم تمثيل الدالة f ( z ) بواسطة متسلسلة قوى رسمية :

${\displaystyle f(z)=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots =\sum _{l=0}^{\infty }c_{l}z^{l},}$

حيث c _{≠ 0} ، حسب الاصطلاح. يُعطى المدخل ( m , n ) ^{[ 3 ]} R _{m, n} في جدول باديه للدالة f ( z ) بالصيغة التالية:

${\displaystyle R_{m,n}(z)={\frac {P_{m}(z)}{Q_{n}(z)}}={\frac {a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{m}z^{m}}{b_{0}+b_{1}z+b_{2}z^{2}+\cdots +b_{n}z^{n}}}}$

حيث أن P _{_m} ( z ) و Q _{_n} ( z ) كثيرتا حدود من الدرجة m و n على التوالي. ويمكن دائمًا إيجاد المعاملات { a _{_i} } و { b_{_i } من خلال النظر في التعبير}

${\displaystyle f(z)\approx \sum _{l=0}^{m+n}c_{l}z^{l}=:f_{\mathrm {approx} }(z)}$

${\displaystyle Q_{n}(z)f_{\mathrm {approx} }(z)=P_{m}(z)}$

${\displaystyle Q_{n}(z)\left(c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots +c_{m+n}z^{m+n}\right)=P_{m}(z)}$

and equating coefficients of like powers of z up through m + n. For the coefficients of powers m + 1 to m + n, the right hand side is 0 and the resulting system of linear equations contains a homogeneous system of n equations in the n + 1 unknowns b_i, and so admits of infinitely many solutions each of which determines a possible Q_n. P_m is then easily found by equating the first m coefficients of the equation above. However, it can be shown that, due to cancellation, the generated rational functions R_m, n are all the same, so that the (m, n)th entry in the Padé table is unique.^[2] Alternatively, we may require that b₀ = 1, thus putting the table in a standard form.

Although the entries in the Padé table can always be generated by solving this system of equations, that approach is computationally expensive. Usage of the Padé table has been extended to meromorphic functions by newer, timesaving methods such as the epsilon algorithm.^[4]

Because of the way the (m, n)th approximant is constructed, the difference

Q_n(z)f(z) − P_m(z)

is a power series whose first term is of degree no less than

m + n + 1.

If the first term of that difference is of degree

m + n + r + 1, r > 0,

then the rational functionR_m, n occupies

(r + 1)²

cells in the Padé table, from position (m, n) through position (m+r, n+r), inclusive. In other words, if the same rational function appears more than once in the table, that rational function occupies a square block of cells within the table. This result is known as the block theorem.

إذا ظهرت دالة كسرية معينة مرة واحدة فقط في جدول باديه، تُسمى تقريبًا طبيعيًا للدالة f ( z ). إذا كان كل عنصر في جدول باديه الكامل طبيعيًا، يُقال إن الجدول نفسه طبيعي. يمكن توصيف تقريبات باديه الطبيعية باستخدام محددات المعاملات c _{_n} في متسلسلة تايلور للدالة f ( z )، كما يلي: يُعرَّف المحدد ( m, n) كما يلي : 

${\displaystyle D_{m,n}=\left|{\begin{matrix}c_{m}&c_{m-1}&\ldots &c_{m-n+2}&c_{m-n+1}\\c_{m+1}&c_{m}&\ldots &c_{m-n+3}&c_{m-n+2}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\c_{m+n-2}&c_{m+n-3}&\ldots &c_{m}&c_{m-1}\\c_{m+n-1}&c_{m+n-2}&\ldots &c_{m+1}&c_{m}\\\end{matrix}}\right|}$

مع D _{m ,0} = 1، و D _{m ,1} = c _m ، و c _k  =  0 لـ k  <  0. إذن

• يكون التقريب ( m , n ) للدالة f ( z ) طبيعيًا إذا وفقط إذا لم تكن أي من المحددات الأربعة D_{_{m , n - 1}} ، D _{_m,n} ، D _{_{m +1, n}} ، و D _{_{m +1, n +1}} معدومة؛
• يكون جدول باديه طبيعياً إذا وفقط إذا لم يكن أي من المحددات D _m,n يساوي صفرًا (لاحظ على وجه الخصوص أن هذا يعني أنه لا يمكن أن يكون أي من المعاملات c _k في تمثيل المتسلسلة لـ f ( z ) صفرًا). ^{[ 5 ]}

من أهم الأشكال التي يمكن أن يظهر بها الكسر المستمر التحليلي هو الكسر المستمر العادي ، وهو كسر مستمر على الصورة التالية:

$$$

حيث أن a _i ≠ 0 هي ثوابت مركبة، و z هو متغير مركب.

ثمة ارتباط وثيق بين الكسور المستمرة المنتظمة وجداول باديه ذات التقريبات الطبيعية على طول القطر الرئيسي : فتسلسل "الدرج" لتقريبات باديه R₀ , _₀ ، R₁ , _{₀ ،} R₁ , _{₁ ،} R₂ , ₂ _، ... يكون طبيعيًا إذا وفقط إذا تطابق هذا التسلسل مع التقاربات المتتالية لكسر مستمر منتظم. بعبارة أخرى، إذا كان جدول باديه طبيعيًا على طول القطر الرئيسي، فيمكن استخدامه لإنشاء كسر مستمر منتظم، وإذا وُجد تمثيل كسر مستمر منتظم للدالة f ( z )، فإن القطر الرئيسي لجدول باديه الذي يمثل f ( z ) يكون طبيعيًا. ^{[ 2 ]}

فيما يلي مثال على جدول باديه، للدالة الأسية .

جزء من جدول باديه للدالة الأسية e ^z

ن م	0	1	2	3	4
0	${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}z^{3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z+{\frac {1}{2}}z^{2}-{\frac {1}{6}}z^{3}+{\frac {1}{24}}z^{4}}}}$
1	${\displaystyle {\frac {1+z}{1}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{3}}}z}{1-{\scriptstyle {\frac {2}{3}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}z^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}z}{1-{\scriptstyle {\frac {3}{4}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{24}}}z^{3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\frac {1}{5}}z}{1-{\frac {4}{5}}z+{\frac {3}{10}}z^{2}-{\frac {1}{15}}z^{3}+{\frac {1}{120}}z^{4}}}}$
2	${\displaystyle {\frac {1+z+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z^{2}}{1}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {2}{3}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}z^{2}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{3}}}z}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{12}}}z^{2}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{12}}}z^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {2}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{20}}}z^{2}}{1-{\scriptstyle {\frac {3}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {3}{20}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{60}}}z^{3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\frac {1}{3}}z+{\frac {1}{30}}z^{2}}{1-{\frac {2}{3}}z+{\frac {1}{5}}z^{2}-{\frac {1}{30}}z^{3}+{\frac {1}{360}}z^{4}}}}$
3	${\displaystyle {\frac {1+z+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}z^{3}}{1}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {3}{4}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{24}}}z^{3}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}z}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {3}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {3}{20}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{60}}}z^{3}}{1-{\scriptstyle {\frac {2}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{20}}}z^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{10}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{120}}}z^{3}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{10}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{120}}}z^{3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\frac {3}{7}}z+{\frac {1}{14}}z^{2}+{\frac {1}{210}}z^{3}}{1-{\frac {4}{7}}z+{\frac {1}{7}}z^{2}-{\frac {2}{105}}z^{3}+{\frac {1}{840}}z^{4}}}}$
4	${\displaystyle {\frac {1+z+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}z^{3}+{\scriptstyle {\frac {1}{24}}}z^{4}}{1}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {4}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {3}{10}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{15}}}z^{3}+{\scriptstyle {\frac {1}{120}}}z^{4}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{5}}}z}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {2}{3}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{5}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{30}}}z^{3}+{\scriptstyle {\frac {1}{360}}}z^{4}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{3}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{30}}}z^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {4}{7}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{7}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {2}{105}}}z^{3}+{\scriptstyle {\frac {1}{840}}}z^{4}}{1-{\scriptstyle {\frac {3}{7}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{14}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{210}}}z^{3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\frac {1}{2}}z+{\frac {3}{28}}z^{2}+{\frac {1}{84}}z^{3}+{\frac {1}{1680}}z^{4}}{1-{\frac {1}{2}}z+{\frac {3}{28}}z^{2}-{\frac {1}{84}}z^{3}+{\frac {1}{1680}}z^{4}}}}$

تظهر عدة سمات على الفور.

• يتكون العمود الأول من الجدول من عمليات القطع المتتالية لسلسلة تايلور لـ e ^z .
• وبالمثل، يحتوي الصف الأول على مقلوبات عمليات القطع المتتالية لتوسيع السلسلة لـ e ^{− z} .
• التقريبان R_{_m,n} و R _{_n,m} متناظران تمامًا - حيث يتبادل البسط والمقام، وتختلف أنماط الإشارات الموجبة والسالبة، لكن المعاملات نفسها تظهر في كليهما. ويمكن التعبير عنهما بدلالة دوال خاصة كما يلي:

${\displaystyle R_{m,n}={\frac {{}_{1}F_{1}(-m;-m-n;z)}{{}_{1}F_{1}(-n;-m-n;-z)}}={\frac {n!\,2^{m}\theta _{m}\left({\frac {z}{2}};n-m+2,2\right)}{m!\,2^{n}\theta _{n}\left(-{\frac {z}{2}};m-n+2,2\right)}}}$،

أين${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$هي متسلسلة هندسية فائقة معممة و${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta )}$هي متعددة حدود بيسل معكوسة معممة . ^{[ 6 ]}

تُختزل التعبيرات الموجودة على القطر الرئيسي إلى${\displaystyle R_{n,n}=\theta _{n}(z/2)/\theta _{n}(-z/2)}$، أين${\displaystyle \theta _{n}(x)}$هي متعددة حدود بيسل معكوسة . ^{[ 7 ]}

• يمكن إجراء العمليات الحسابية التي تتضمن R _{n , n} (على القطر الرئيسي) بكفاءة عالية. على سبيل المثال، يُعيد R _3,3 إنتاج متسلسلة القوى للدالة الأسية بدقة تامة حتى ¹ / ₇₂₀ z ⁶ ، ولكن نظرًا لتناظر كثيرتي الحدود التكعيبيتين، يمكن ابتكار خوارزمية تقييم سريعة جدًا.

يمكن تطبيق الإجراء المستخدم لاشتقاق الكسر المستمر لغوس على سلسلة هندسية فائقة متقاربة معينة لاشتقاق توسيع الكسر C التالي للدالة الأسية، وهو صالح في جميع أنحاء المستوى المركب بأكمله:

${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{2}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{6}}z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{6}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{10}}z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{10}}z}{1+-\ddots }}}}}}}}}}}}.}$

بتطبيق صيغ التكرار الأساسية، يمكن التحقق بسهولة من أن التقاربات المتتالية لهذا الكسر C هي متتالية متدرجة من تقريبات باديه R _0,0 ، R _1,0 ، R _1,1 ، ... في هذه الحالة تحديدًا، يمكن الحصول على كسر مستمر وثيق الصلة من المتطابقة

${\displaystyle e^{z}={\frac {1}{e^{-z}}};}$

يبدو هذا الكسر المستمر على النحو التالي:

${\displaystyle e^{z}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{2}}z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{6}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{6}}z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{10}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{10}}z}{1-+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

تظهر التقاربات المتتالية لهذا الكسر أيضًا في جدول باديه، وتشكل المتتالية R _0,0 ، R _0,1 ، R _1,1 ، R _1,2 ، R _2,2 ، ...

تكون متسلسلة نيوتن الرسمية L على الشكل التالي

${\displaystyle L(z)=c_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\prod _{k=1}^{n}(z-\beta _{k})}$

حيث تُعرف متتالية النقاط { βk _} في المستوى المركب بمجموعة نقاط الاستيفاء . ويمكن تكوين متتالية من التقريبات النسبية Rm _,n لمثل هذه المتسلسلة L بطريقة مماثلة تمامًا للإجراء الموصوف أعلاه، ويمكن ترتيب هذه التقريبات في جدول نيوتن-باديه . وقد بُيّن ^{[ 8 ]} أن بعض متتاليات "الدرج" في جدول نيوتن-باديه تتوافق مع التقاربات المتتالية لكسر مستمر من نوع ثيل، والذي يكون على الشكل التالي:

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {a_{1}(z-\beta _{1})}{1-{\cfrac {a_{2}(z-\beta _{2})}{1-{\cfrac {a_{3}(z-\beta _{3})}{1-\ddots }}}}}}.}$

قام علماء الرياضيات أيضًا بإنشاء جداول باديه ذات النقطتين من خلال النظر في سلسلتين، إحداهما في قوى z ، والأخرى في قوى 1/ z ، والتي تمثل بالتناوب الدالة f ( z ) في جوار الصفر وفي جوار اللانهاية. ^{[ 2 ]}

• تحول شانكس

• جونز، ويليام ب.؛ ثرون، دبليو جيه (1980). الكسور المستمرة: النظرية والتطبيقات . ريدينغ، ماساتشوستس: شركة أديسون-ويسلي للنشر. الصفحات 185-197 . ISBN  0-201-13510-8.
• وال، إتش إس (1973). النظرية التحليلية للكسور المستمرة . شركة تشيلسي للنشر . الصفحات 377-415 . ISBN  0-8284-0207-8.(هذه نسخة معاد طباعتها من المجلد الذي نشرته شركة دي. فان نوستراند، المحدودة ، في عام 1948.)