نظرية باسكال

في الهندسة الإسقاطية ، تنص نظرية باسكال (المعروفة أيضًا بنظرية الهيكساغراموم ميستيكوم ، وهي كلمة لاتينية تعني الهيكساغرام الصوفي ) على أنه إذا تم اختيار ست نقاط عشوائية على قطع مخروطي (قد يكون قطعًا ناقصًا أو مكافئًا أو زائدًا في مستوى أفيني مناسب ) ووصلت بقطع مستقيمة بأي ترتيب لتشكيل شكل سداسي ، فإن أزواج الأضلاع المتقابلة الثلاثة للشكل السداسي ( الممتد إذا لزم الأمر) تلتقي في ثلاث نقاط تقع على خط مستقيم، يُسمى خط باسكال للشكل السداسي. وقد سُميت هذه النظرية نسبةً إلى بليز باسكال .

النظرية صالحة أيضًا في المستوى الإقليدي ، ولكن يجب تعديل العبارة للتعامل مع الحالات الخاصة عندما تكون الأضلاع المتقابلة متوازية.

هذه النظرية هي تعميم لنظرية بابوس (السداسي) ، وهي الحالة الخاصة للقطع المخروطي المنحط المكون من خطين مع ثلاث نقاط على كل خط.

يُعدّ المستوى الإسقاطي البيئةَ الأنسب لتطبيق نظرية باسكال، إذ يتقاطع أي خطين فيه دون استثناءات للخطوط المتوازية. مع ذلك، تبقى النظرية صالحةً في المستوى الإقليدي، مع التفسير الصحيح لما يحدث عندما تكون بعض الأضلاع المتقابلة في الشكل السداسي متوازية.

إذا كان زوج واحد فقط من الأضلاع المتقابلة في الشكل السداسي متوازياً، فإن نتيجة النظرية هي أن "خط باسكال" المحدد بنقطتي التقاطع يكون موازياً للضلعين المتوازيين في الشكل السداسي. أما إذا كان زوجان من الأضلاع المتقابلة متوازيين، فإن الزوج الثالث من الأضلاع المتقابلة يكون موازياً أيضاً، وبالتالي لا يوجد خط باسكال في المستوى الإقليدي (في هذه الحالة، يكون الخط عند اللانهاية في المستوى الإقليدي الممتد هو خط باسكال للشكل السداسي).

نظرية باسكال هي النظير القطبي المتبادل والإسقاطي لنظرية بريانشون . وقد صاغها بليز باسكال في مذكرة كتبها عام 1639 عندما كان يبلغ من العمر 16 عامًا، ونُشرت في العام التالي كمنشور بعنوان "Essay pour les coniques. Par BP" ^{[ 1 ]}

تُعد نظرية باسكال حالة خاصة من نظرية كايلي-باخاراخ .

تُعدّ حالة مُنحلة من نظرية باسكال (أربع نقاط) مثيرة للاهتمام؛ فإذا كانت لدينا النقاط ABCD على قطع مخروطي Γ ، فإن تقاطع الأضلاع المتبادلة، AB ∩ CD و BC ∩ DA ، بالإضافة إلى تقاطع المماسات عند الرؤوس المتقابلة ( A , C ) و ( B , D )، تقع على استقامة واحدة في أربع نقاط؛ حيث تُمثّل المماسات "أضلاعًا" مُنحلة، مأخوذة من موضعين مُحتملين على "السداسي"، ويشترك خط باسكال المُناظر في أيٍّ من التقاطعين المُنحلين. يُمكن إثبات ذلك بشكل مُستقل باستخدام خاصية القطب-القطب . إذا كان القطع المخروطي دائرة، فإن حالة مُنحلة أخرى تُشير إلى أنه بالنسبة للمثلث، فإن النقاط الثلاث التي تظهر كتقاطع خط جانبي مع الخط الجانبي المُناظر لمثلث جيرجون ، تقع على استقامة واحدة.

ستة هي الحد الأدنى لعدد النقاط على القطع المخروطي التي يمكن الإدلاء بتصريحات خاصة بشأنها، حيث أن خمس نقاط تحدد القطع المخروطي .

أما عكس هذه النظرية فهو نظرية برايكنريدج-ماكلورين ، نسبةً إلى عالمي الرياضيات البريطانيين ويليام برايكنريدج وكولين ماكلورين من القرن الثامن عشر ( ميلز، 1984 ) ، والتي تنص على أنه إذا كانت نقاط تقاطع أزواج الخطوط الثلاثة المارة بأضلاع متقابلة لسداسي تقع على خط مستقيم، فإن رؤوس السداسي الستة تقع على قطع مخروطي؛ وقد يكون هذا القطع المخروطي منحلاً، كما في نظرية بابوس. ^{[ 2 ]} ويمكن تطبيق نظرية برايكنريدج-ماكلورين في بناء برايكنريدج-ماكلورين ، وهو بناء تركيبي للقطع المخروطي المحدد بخمس نقاط، وذلك بتغيير النقطة السادسة.

عمّم أوغست فرديناند موبيوس هذه النظرية عام 1847، على النحو التالي: لنفترض أن مضلعًا طول ضلعه 4 ن + 2 مرسوم داخل قطع مخروطي، وأن أزواج الأضلاع المتقابلة ممتدة حتى تلتقي في 2 ن + 1 نقطة. إذا كانت 2 ن من هذه النقاط تقع على خط مستقيم واحد، فإن النقطة الأخيرة ستقع على هذا الخط أيضًا.

إذا عُلمت ست نقاط غير مرتبة على مقطع مخروطي، فيمكن توصيلها لتكوين شكل سداسي بستين طريقة مختلفة، مما ينتج عنه ستين حالة مختلفة لنظرية باسكال وستين خطًا مختلفًا من خطوط باسكال. يُطلق على هذا التكوين المكون من ستين خطًا اسم " هيكساغراموم ميستيكوم" . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

كما أثبت توماس كيركمان عام ١٨٤٩، يمكن ربط هذه الخطوط الستين بستين نقطة بحيث تقع كل نقطة على ثلاثة خطوط، ويحتوي كل خط على ثلاث نقاط. تُعرف النقاط الستين المُشكّلة بهذه الطريقة الآن بنقاط كيركمان . ^{[ ٥ ]} تمر خطوط باسكال أيضًا، ثلاثة في كل مرة، عبر عشرين نقطة من نقاط شتاينر . هناك عشرون خطًا من خطوط كايلي ، يتكون كل منها من نقطة شتاينر وثلاث نقاط من نقاط كيركمان. تقع نقاط شتاينر أيضًا، أربعة في كل مرة، على خمسة عشر خطًا من خطوط بلوكر . علاوة على ذلك، تمر خطوط كايلي العشرين، أربعة في كل مرة، عبر خمس عشرة نقطة تُعرف بنقاط سالمون . ^{[ ٦ ]}

لا يوجد برهان على الملاحظة الأصلية لباسكال ^{[ 1 ]} ، ولكن هناك العديد من البراهين الحديثة للنظرية.

يكفي إثبات النظرية عندما يكون القطع المخروطي دائرة، لأن أي قطع مخروطي (غير منحل) يمكن اختزاله إلى دائرة بتحويل إسقاطي. وقد أدرك باسكال ذلك، حيث تنصّ ليمته الأولى على النظرية للدائرة. وتنصّ ليمته الثانية على أن ما هو صحيح في مستوى ما يظل صحيحًا عند إسقاطه على مستوى آخر. ^{[ 1 ]} وتُستنتج القطوع المخروطية المنحلة من الاستمرارية (النظرية صحيحة للقطوع المخروطية غير المنحلة، وبالتالي فهي صحيحة في حالة القطوع المخروطية المنحلة).

توصل فان يزيرين (1993) إلى برهانٍ أوليٍّ قصيرٍ لنظرية باسكال في حالة الدائرة ، استنادًا إلى البرهان الوارد في ( جوجنهايمر 1967 ) . يُثبت هذا البرهان النظرية للدائرة، ثم يُعممها لتشمل القطوع المخروطية.

تم التوصل إلى برهان حسابي أولي قصير في حالة المستوى الإسقاطي الحقيقي بواسطة ستيفانوفيتش (2010) .

يمكننا استنتاج البرهان من وجود المرافق المتساوي الزوايا أيضًا. إذا أردنا إثبات أن المثلثات X = AB ∩ DE و Y = BC ∩ EF و Z = CD ∩ FA تقع على استقامة واحدة في المثلث ABCDEF الدائري ، فلاحظ أن المثلثين EYB و CYF متشابهان، وأن X و Z يمثلان المرافق المتساوي الزوايا إذا قمنا بتراكب المثلثين المتشابهين. هذا يعني أن ∠CYX = ∠CYZ ، مما يجعل المثلث XYZ يقع على استقامة واحدة.

يمكن بناء برهان مختصر باستخدام خاصية الحفاظ على النسبة التبادلية. بإسقاط الرباعي ABCE من النقطة D على الخط AB ، نحصل على الرباعي ABPX ، وبإسقاط الرباعي ABCE من النقطة F على الخط BC ، نحصل على الرباعي QBCY . هذا يعني بالتالي أن R ( AB ; PX ) = R ( QB ; CY ) ، حيث تتقاطع إحدى النقاط في الرباعيين، مما يعني أن الخطوط الأخرى التي تربط الأزواج الثلاثة الأخرى يجب أن تتطابق للحفاظ على النسبة التبادلية. لذلك، فإن النقاط XYZ تقع على استقامة واحدة.

يستخدم برهان آخر لنظرية باسكال الخاصة بالدائرة نظرية مينلاوس بشكل متكرر.

ابتكر داندلين ، عالم الهندسة الذي اكتشف كرات داندلين الشهيرة ، برهانًا بديعًا باستخدام تقنية "الرفع ثلاثي الأبعاد"، وهو برهان مماثل للبرهان ثلاثي الأبعاد لنظرية ديزارغ . يعتمد هذا البرهان على خاصية أنه لكل قطع مخروطي، يمكننا إيجاد سطح زائد أحادي الطبقة يمر عبر القطع المخروطي.

يوجد أيضًا برهان بسيط لنظرية باسكال للدائرة باستخدام قانون الجيوب والتشابه .

يُمكن إثبات نظرية باسكال باختصار باستخدام نظرية كايلي-باخاراخ، حيث تنص على أنه لأي ثماني نقاط في وضع عام، توجد نقطة تاسعة فريدة بحيث تمر جميع المنحنيات التكعيبية التي تمر بالنقاط الثماني الأولى بهذه النقطة التاسعة. وبالتحديد، إذا تقاطع منحنيان تكعيبيان عامان في ثماني نقاط، فإن أي منحنى تكعيبي آخر يمر بنفس النقاط الثماني يتقاطع مع نقطة التقاطع التاسعة للمنحنيين التكعيبيين الأولين. تُستنتج نظرية باسكال بأخذ النقاط الثماني على أنها النقاط الست على الشكل السداسي ونقطتين منها (مثلاً، M و N في الشكل) على خط باسكال، والنقطة التاسعة على أنها النقطة الثالثة ( P في الشكل). المنحنيان التكعيبيان الأولان هما مجموعتان من ثلاثة خطوط تمر بالنقاط الست على الشكل السداسي (على سبيل المثال، المجموعة AB، CD، EF ، والمجموعة BC، DE، FA )، والمنحنى التكعيبي الثالث هو اتحاد القطع المخروطي والخط MN . هنا لا يمكن أن يقع "التقاطع التاسع" P على القطع المخروطي بسبب العمومية، وبالتالي يقع على MN .

تُستخدم نظرية كايلي-باخاراخ أيضًا لإثبات أن عملية المجموعة على المنحنيات الإهليلجية المكعبة هي عملية تجميعية. يمكن تطبيق عملية المجموعة نفسها على القطع المخروطي إذا اخترنا نقطة E على القطع المخروطي وخط MP في المستوى. يُحسب مجموع A و B بإيجاد نقطة تقاطع الخط AB مع MP أولًا ، وهي M. ثم يُجمع A و B للحصول على نقطة التقاطع الثانية للقطع المخروطي مع الخط EM ، وهي D. بالتالي، إذا كانت Q هي نقطة التقاطع الثانية للقطع المخروطي مع الخط EN ، فإن

${\displaystyle (A+B)+C=D+C=Q=A+F=A+(B+C)}$

وبالتالي، فإن عملية المجموعة تجميعية. من جهة أخرى، تنبثق نظرية باسكال من صيغة التجميعية المذكورة أعلاه، ومن ثم من تجميعية عملية المجموعة للمنحنيات الإهليلجية عن طريق الاستمرارية.

لنفترض أن f دالة تكعيبية تتلاشى على الخطوط الثلاثة المارة بـ AB وCD وEF، وأن g دالة تكعيبية تتلاشى على الخطوط الثلاثة الأخرى BC وDE وFA . اختر نقطة عامة P على القطع المخروطي، واختر قيمة λ بحيث تتلاشى الدالة التكعيبية h = f + λg عند P. عندئذٍ ، h = 0 دالة تكعيبية تشترك مع القطع المخروطي في 7 نقاط : A وB وC وD وE وF وP. ولكن بحسب نظرية بيزو، فإن الدالة التكعيبية والقطع المخروطي لا يشتركان إلا في 6 نقاط على الأكثر (3 × 2 = 6)، ما لم يكن لهما مكون مشترك. لذا، فإن الدالة التكعيبية h = 0 لها مكون مشترك مع القطع المخروطي، وهو القطع المخروطي نفسه، وبالتالي فإن h = 0 هو اتحاد القطع المخروطي وخط مستقيم. هذا الخط هو خط باسكال، لأن أي نقطة في تقاطع مجموعتي حلول f و g ستكون أيضًا في مجموعة حلول h .    

مرة أخرى، بالنظر إلى الشكل السداسي على القطع المخروطي لنظرية باسكال مع الترميز المذكور أعلاه للنقاط (في الشكل الأول)، لدينا ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\frac {\overline {GB}}{\overline {GA}}}\times {\frac {\overline {HA}}{\overline {HF}}}\times {\frac {\overline {KF}}{\overline {KE}}}\times {\frac {\overline {GE}}{\overline {GD}}}\times {\frac {\overline {HD}}{\overline {HC}}}\times {\frac {\overline {KC}}{\overline {KB}}}=1.}$

توجد حالات متدهورة لنظرية باسكال، منها خمس نقاط وأربع نقاط وثلاث نقاط. في الحالة المتدهورة، تتطابق نقطتان متصلتان سابقًا في الشكل، ويصبح الخط الواصل بينهما مماسًا عند نقطة الالتحام. انظر الحالات المتدهورة الموضحة في المخطط الإضافي والرابط الخارجي الخاص بهندسة الدوائر . باختيار خطوط مناسبة من أشكال باسكال كخطوط عند اللانهاية، نحصل على العديد من الأشكال المثيرة للاهتمام على القطوع المكافئة والزائدة .

• نظرية ديزارج
• نظرية بريانشون

• بيغز، إن إل (1981)، "تي بي كيركمان، عالم رياضيات"، نشرة جمعية لندن الرياضية ، 13 (2): 97-120 ، doi : 10.1112/blms/13.2.97 ، MR 0608093 

• كونواي، جون ؛ ريبا، أليكس (2012)، "تبسيط لغز باسكال الغامض"، مجلة الرياضيات الذكية ، 34 (3): 4-8 ، doi : 10.1007/s00283-012-9301-4 ، S2CID 122915551 
• كوكسيتر، إتش إس إم ؛ غريتزر، صموئيل إل. (1967)، إعادة النظر في الهندسة ، واشنطن العاصمة: الرابطة الرياضية الأمريكية ، ص  76
• غوغنهايمر، هاينريش دبليو. (1967)، الهندسة المستوية ومجموعاتها ، سان فرانسيسكو، كاليفورنيا: هولدن-داي إنك، MR 0213943 
• ميلز، ستيلا (مارس 1984)، "ملاحظة حول نظرية برايكنريدج-ماكلورين"، ملاحظات وسجلات الجمعية الملكية في لندن ، 38 (2)، الجمعية الملكية: 235-240 ، doi : 10.1098/rsnr.1984.0014 ، JSTOR 531819 ، S2CID 144663075  
• مودينوف، ب.س.؛ بارخومينكو، أ.س. (2001) [1994]، "نظرية باسكال" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• باسكال، بليز (1640). "مقالة من أجل les coniques" (فاكس) . Niedersächsiche Landesbibliothek، جوتفريد فيلهلم ليبنيز Bibliothek . تم الاسترجاع 21 يونيو 2013 .

• سميث، ديفيد يوجين (1959)، كتاب مصادر في الرياضيات ، نيويورك: دوفر، رقم ISBN 0-486-64690-4{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• ستيفانوفيتش، نيديلكو (2010)، برهان بسيط للغاية لنظرية باسكال السداسية وبعض التطبيقات (ملف PDF) ، الأكاديمية الهندية للعلوم
• ويلز، ديفيد (1991)، قاموس بنغوين للهندسة الغريبة والمثيرة للاهتمام ، لندن: كتب بنغوين، رقم ISBN 0-14-011813-6
• يونغ، جون ويسلي (1930)، الهندسة الإسقاطية ، سلسلة كاروس للدراسات الرياضية، العدد 4، الجمعية الرياضية الأمريكية
• فان يزيرين، يان (1993)، "برهان بسيط لنظرية باسكال السداسية"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 100 (10)، الجمعية الرياضية الأمريكية: 930-931 ، doi : 10.2307/2324214 ، ISSN 0002-9890 ، JSTOR 2324214 ، MR 1252929   

• عرض توضيحي تفاعلي لنظرية باسكال (يتطلب جافا) على موقع cut-the-knot
• 60 سطرًا من لغة باسكال (يتطلب جافا) على موقع cut-the-knot
• الشكل الكامل لمعادلة باسكال، مقدم بيانياً بواسطة ج. كريس فيشر ونورما فولر (جامعة ريجينا)
• هندسة الدوائر المستوية، مقدمة إلى مستويات موبيوس، لاغير، ومينكوفسكي (PDF؛ 891 كيلوبايت)، جامعة دارمشتات، ص 29-35.
• كيفية إسقاط القطوع المخروطية الكروية في المستوى بقلم يويتشي مايدا (جامعة توكاي)