منحنى البيانو

تكراران لمنحنى بيانو

في الهندسة ، يُعد منحنى بيانو أول مثال يُكتشف لمنحنى يملأ الفراغ ، وذلك على يد جوزيبي بيانو عام 1890. ^{[ 1 ]} منحنى بيانو دالة شاملة ومتصلة من الفترة [0] إلى المربع [0] ، إلا أنها ليست دالة أحادية . وقد استلهم بيانو هذا من نتيجة سابقة لجورج كانتور مفادها أن هاتين المجموعتين لهما نفس العدد . وبسبب هذا المثال، يستخدم بعض المؤلفين عبارة "منحنى بيانو" للإشارة بشكل أعم إلى أي منحنى يملأ الفراغ. ^{[ 2 ]}

يمكن إنشاء منحنى بيانو من خلال سلسلة من الخطوات، حيث${\displaystyle i}$الخطوة رقم 1 تقوم بإنشاء مجموعة${\displaystyle S_{i}}$من المربعات، ومتتالية${\displaystyle P_{i}}$من مراكز المربعات، من المجموعة والمتتالية التي تم إنشاؤها في الخطوة السابقة. كحالة أساسية،${\displaystyle S_{0}}$يتكون من وحدة مربعة واحدة، و${\displaystyle P_{0}}$هي سلسلة مكونة من عنصر واحد تتألف من نقطتها المركزية.

خطوات${\displaystyle i}$كل مربع${\displaystyle s}$ل${\displaystyle S_{i-1}}$ينقسم إلى تسعة مربعات أصغر متساوية، ونقطة مركزه${\displaystyle c}$يُستبدل هذا التسلسل بتسلسل فرعي متصل من مراكز هذه المربعات التسعة الأصغر. يتكون هذا التسلسل الفرعي من تجميع المربعات التسعة الأصغر في ثلاثة أعمدة، وترتيب المراكز بشكل متجاور داخل كل عمود، ثم ترتيب الأعمدة من جانب المربع إلى الجانب الآخر، بحيث تكون المسافة بين كل زوج متتالي من النقاط في التسلسل الفرعي مساوية لطول ضلع المربعات الصغيرة. يوجد أربعة ترتيبات ممكنة من هذا القبيل:

• المراكز الثلاثة اليسرى من الأسفل إلى الأعلى، والمراكز الثلاثة الوسطى من الأعلى إلى الأسفل، والمراكز الثلاثة اليمنى من الأسفل إلى الأعلى
• المراكز الثلاثة اليمنى من الأسفل إلى الأعلى، والمراكز الثلاثة الوسطى من الأعلى إلى الأسفل، والمراكز الثلاثة اليسرى من الأسفل إلى الأعلى
• المراكز الثلاثة اليسرى من الأعلى إلى الأسفل، والمراكز الثلاثة الوسطى من الأسفل إلى الأعلى، والمراكز الثلاثة اليمنى من الأعلى إلى الأسفل
• المراكز الثلاثة اليمنى من الأعلى إلى الأسفل، والمراكز الثلاثة الوسطى من الأسفل إلى الأعلى، والمراكز الثلاثة اليسرى من الأعلى إلى الأسفل

من بين هذه الطلبات الأربعة، الطلب الخاص بـ${\displaystyle s}$يتم اختيارها بطريقة تجعل المسافة بين النقطة الأولى في الترتيب والنقطة السابقة لها في${\displaystyle P_{i}}$يساوي أيضًا طول ضلع المربعات الصغيرة. إذا${\displaystyle c}$كانت النقطة الأولى في ترتيبها، ثم يتم اختيار أول هذه الترتيبات الأربعة للمراكز التسعة التي تحل محلها${\displaystyle c}$[ ^{3 ]​}

يمثل منحنى بيانو نفسه نهاية المنحنيات التي تمر عبر متواليات المراكز المربعة، كما${\displaystyle i}$يتجه إلى ما لا نهاية.

يمكن إنشاء منحنى بيانو الموضح في المقدمة باستخدام نظام ليندنماير . ويمكن وصف هذا النظام على النحو التالي:

حيث تعني " F " "السحب للأمام"، و"+" تعني "الدوران 90 درجة باتجاه عقارب الساعة"، و" − " تعني "الدوران 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة". تُظهر الصورة في المقدمة صورًا لأول ثلاث نسخ من القواعد.

يتم إنشاء المنحنى الموضح في قسم "الإنشاء" على النحو التالي:

حيث تعني " F " "السحب للأمام"، و"+" تعني "الدوران 90 درجة باتجاه عقارب الساعة"، و" − " تعني "الدوران 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة". تُظهر الصورة أعلاه أول نسختين من القاعدة.

في تعريف منحنى بيانو، من الممكن تنفيذ بعض أو كل الخطوات بجعل مراكز كل صف من ثلاثة مربعات متجاورة، بدلاً من مراكز كل عمود من المربعات. تؤدي هذه الخيارات إلى العديد من المتغيرات المختلفة لمنحنى بيانو. ^{[ 3 ]}

يمكن استخدام نسخة "متعددة الجذور" من هذا المنحنى، مع عدد مختلف من التقسيمات الفرعية في اتجاهات مختلفة، لملء مستطيلات ذات أشكال عشوائية. ^{[ 4 ]}

يُعد منحنى هيلبرت شكلاً أبسط من نفس الفكرة، ويعتمد على تقسيم المربعات إلى أربعة مربعات أصغر متساوية بدلاً من تقسيمها إلى تسعة مربعات أصغر متساوية.