منحنى هيلبرت

منحنى هيلبرت (المعروف أيضًا باسم منحنى هيلبرت لملء الفراغ ) هو منحنى فراغي كسري مستمر وصفه لأول مرة عالم الرياضيات الألماني ديفيد هيلبرت في عام 1891، ^{[ 1 ]} كنوع من أنواع منحنيات بيانو لملء الفراغ التي اكتشفها جوزيبي بيانو في عام 1890. ^{[ 2 ]}

ولأنها تملأ الفراغ، فإن بُعد هاوسدورف الخاص بها هو 2 (بشكل أدق، صورتها هي المربع الواحد ، الذي بُعده هو 2 في أي تعريف للبعد؛ ورسمها البياني عبارة عن مجموعة مضغوطة متماثلة مع الفترة المغلقة للوحدة، مع بُعد هاوسدورف 1).

يُنشأ منحنى هيلبرت كحدٍّ لمنحنيات خطية متقطعة . طول${\displaystyle n}$المنحنى th هو${\displaystyle \textstyle 2^{n}-{1 \over 2^{n}}}$أي أن الطول ينمو بشكل أُسّي مع${\displaystyle n}$، على الرغم من أن كل منحنى موجود داخل مربع مساحته${\displaystyle 1}$.

• 
  منحنى هيلبرت، من الدرجة الأولى
• 
  منحنيات هيلبرت، من الرتبة الأولى والثانية
• 
  منحنيات هيلبرت، من الرتبة الأولى إلى الثالثة
• 
  قواعد الإنتاج
• 
  منحنى هيلبرت، مُرمّز بالألوان
• 
  منحنى هيلبرت ثلاثي الأبعاد مع تلوين يوضح التدرج
• 
  المتغير، أول ثلاث تكرارات ^{[ 3 ]}

يُعد كلٌّ من منحنى هيلبرت الحقيقي وتقريباته المنفصلة مفيدًا لأنهما يُقدّمان تحويلًا بين الفضاء أحادي البُعد والفضاء ثنائي البُعد يحافظ على خاصية الموضعية بشكلٍ جيد. ^{[ 4 ]} وهذا يعني أن نقطتي بيانات متقاربتين في الفضاء أحادي البُعد تظلان متقاربتين أيضًا بعد طي المنحنى. أما العكس فليس صحيحًا دائمًا.

بسبب خاصية التمركز هذه، يُستخدم منحنى هيلبرت على نطاق واسع في علوم الحاسوب. على سبيل المثال، يمكن تمثيل نطاق عناوين IP التي تستخدمها أجهزة الحاسوب بصورة باستخدام منحنى هيلبرت. يقوم الكود البرمجي لإنشاء الصورة بتحويلها من ثنائية الأبعاد إلى أحادية الأبعاد لتحديد لون كل بكسل، ويُستخدم منحنى هيلبرت أحيانًا لأنه يُبقي عناوين IP المتقاربة قريبة من بعضها في الصورة. ^{[ 5 ]} كما استُخدمت خاصية التمركز لمنحنى هيلبرت في تصميم خوارزميات لاستكشاف المناطق باستخدام الروبوتات المتنقلة ^{[ 6 ] [ 7 ]} وفهرسة بيانات الموقع الجغرافي. ^{[ 8 ]}

في خوارزمية تُسمى "تظليل ريميرسما"، يُمكن تحويل الصور الرمادية إلى صور بالأبيض والأسود مُظللة باستخدام عتبة، حيث تُضاف القيمة المتبقية من كل بكسل إلى البكسل التالي على طول منحنى هيلبرت. يُحوّل الكود المُستخدم في هذه العملية الصور من بُعد واحد إلى بُعدين، ويُستخدم منحنى هيلبرت أحيانًا لأنه لا يُنشئ الأنماط المُشتتة التي قد تكون مرئية للعين إذا كان الترتيب من اليسار إلى اليمين عبر كل صف من البكسلات. ^{[ 9 ]} تُعد منحنيات هيلبرت في الأبعاد الأعلى مثالًا على تعميم رموز غراي ، وتُستخدم أحيانًا لأغراض مماثلة ولأسباب مشابهة. بالنسبة لقواعد البيانات متعددة الأبعاد، اقتُرح استخدام ترتيب هيلبرت بدلًا من ترتيب Z لأنه يُحافظ على الموضع بشكل أفضل. على سبيل المثال، استُخدمت منحنيات هيلبرت لضغط وتسريع فهارس شجرة R ^{[ 10 ]} (انظر شجرة R هيلبرت ). كما استُخدمت أيضًا للمساعدة في ضغط مستودعات البيانات. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

يمكن تحويل المسافة الخطية لأي نقطة على طول المنحنى إلى إحداثيات في n بُعدًا لقيمة n معينة ، والعكس صحيح، باستخدام أي من التقنيات الرياضية القياسية العديدة مثل طريقة سكيلينج. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

من الممكن تطبيق منحنيات هيلبرت بكفاءة حتى عندما لا تشكل مساحة البيانات مربعًا. ^{[ 15 ]} علاوة على ذلك، توجد عدة تعميمات ممكنة لمنحنيات هيلبرت إلى أبعاد أعلى. ^{[ 16 ] [ 17 ]}

يمكن التعبير عن منحنى هيلبرت بواسطة نظام إعادة كتابة ( نظام L ).

الأبجدية  : أ، ب

الثوابت  : F + −

البديهية  : أ

قواعد الإنتاج :

A → +BF−AFA−FB+

ب → −AF+BFB+FA−

هنا، "F" تعني "الرسم للأمام"، و"+" تعني "الانعطاف لليسار 90 درجة"، و"-" تعني "الانعطاف لليمين 90 درجة" (انظر رسومات السلحفاة )، ويتم تجاهل "A" و"B" أثناء الرسم.

يُستخدم منحنى هيلبرت بشكل شائع في معالجة الصور والفيديوهات. وتستخدم برامج شائعة مثل بلندر وسينما فور دي منحنى هيلبرت لتتبع الأجسام وعرض المشهد.

عادةً ما يحتوي برنامج التقطيع المستخدم لتحويل النماذج ثلاثية الأبعاد إلى مسارات أدوات للطابعة ثلاثية الأبعاد على منحنى هيلبرت كخيار لنمط التعبئة.

• جدولة منحنى هيلبرت
• شجرة هيلبرت آر
• موقع مرجعي
• التجزئة الحساسة للموقع
• منحنى مور
• مضلع موراي
• منحنى سيربينسكي
• قائمة الأشكال الكسورية حسب بُعد هاوسدورف

• وارن الابن، هنري س. (2013). متعة المخترق (  الطبعة الثانية). أديسون ويسلي - بيرسون للتعليم، المحدودة. ISBN 978-0-321-84268-8.
• ماكينا، دوغلاس م. (2019). منحنيات هيلبرت: من الخارج إلى الداخل ومن الداخل إلى الخارج . ماثيماستيتكس، إنك. ISBN 978-1-7332188-0-1.

• منحنى هيلبرت الديناميكي مع JSXGraph
• منحنى هيلبرت الكسري الديناميكي من تصميم إدوارد بول (مصدر لازاروس)
• عرض توضيحي لمنحنى هيلبرت ثلاثي الأبعاد باستخدام Three.js WebGL
• رسم كاريكاتوري من XKCD يستخدم خصائص الموقع لمنحنى هيلبرت لإنشاء "خريطة للإنترنت"
• مولد كود G لمنحنى هيلبرت ( مؤرشف بتاريخ 9 يوليو 2019 في أرشيف الإنترنت )
• التنفيذ التكراري لمنحنى هيلبرت في جافا سكريبت
• الخوارزمية 781: توليد منحنى هيلبرت لملء الفراغ عن طريق التكرار (مكتبة ACM الرقمية)