مساحة مثالية

في الرياضيات ، الفضاءات المثالية هي فضاءات أدية من نوع خاص، والتي تظهر في دراسة مسائل " الخاصية المختلطة "، مثل الحقول المحلية ذات الخاصية الصفرية التي لها حقول متبقية ذات خاصية أولية p .

الحقل المثالي هو حقل طوبولوجي كامل K يتم استحثاث طوبولوجيته بواسطة تقييم غير منفصل من الرتبة 1، بحيث يكون التشكل الداخلي لفروبينيوس Φ شاملاً على K °/ p حيث K ° تشير إلى حلقة العناصر المحدودة بالقوة .

يمكن استخدام فضاءات بيرفكتويد (وقد تم ابتكارها من أجل) مقارنة الحالات ذات الخصائص المختلطة بالحالات ذات الخصائص المحدودة تمامًا. ومن الأدوات التقنية لتحقيق ذلك بدقة: تكافؤ الإمالة ونظرية شبه النقاء. وقد قدم بيتر شولز هذه المفاهيم في عام 2012. ^{[ 1 ]}

لكل حقل مثالي K، يوجد ميل K ♭ ^، وهو حقل مثالي ذو خاصية محدودة p . كمجموعة ، يمكن تعريفه على النحو التالي:

${\displaystyle K^{\flat }=\varprojlim _{x\mapsto x^{p}}K.}$

بصورةٍ أدق، يُعرَّف عنصر K ^♭ بأنه متتالية لانهائية ( x₀ , _x₁ , _x₂ , ... ) ^من عناصر K بحيث يكون _xᵢ = xᵢⱼ⁺¹ _. يُعرَّف الضرب في K ^{♭ حدًّا حدًّا، بينما} _يكون الجمع أكثر تعقيدًا. إذا _كانت K ذات خاصية منتهية، فإن K ≅ K ^♭ . إذا كانت K هي الإكمال p -adic لـ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(p^{1/p^{\infty }})}$إذن، K ^♭ هو الإكمال t -adic لـ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}((t))(t^{1/p^{\infty }})}$.

توجد مفاهيم للجبر المثالي والفضاءات المثالية فوق حقل مثالي K ، وهي مفاهيم مشابهة تقريبًا للجبر التبادلي والمخططات فوق حقل . تمتد عملية الإمالة إلى هذه الكائنات. إذا كان X فضاءً مثاليًا فوق حقل مثالي K ، فإنه يمكن تكوين فضاء مثالي X ^♭ فوق K ^♭ . تكافؤ الإمالة هو نظرية تنص على أن دالة الإمالة (-) ^♭ تُحدث تكافؤًا بين فئات الفضاءات المثالية فوق K والفضاءات المثالية فوق K ^♭ . تجدر الإشارة إلى أنه على الرغم من أن الحقل المثالي ذي الخاصية المحدودة قد يحتوي على عدة "إمالات عكسية" غير متماثلة ، فإن فئات الفضاءات المثالية فوقها ستكون جميعها متكافئة.

• مجال مثالي

• بهات، بهارجاف . "ما هو فضاء ... بيرفكتويد؟" (ملف PDF) . نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2 يناير 2020 .
• "ما هي "الفضاءات المثالية"؟" . MathOverflow .
• أسس الفضاءات المثالية بقلم ماثيو مورو
• فضاءات لين المثالية . تعريف فضاءات لين المثالية مُصاغٌ رسميًا في مُثبت نظرية لين