مجموعة أبسولوت غالوا

في الرياضيات ، وخاصة في الهندسة اللاأبيلية والهندسة p -adic ، زمرة غالوا المطلقة${\displaystyle G_{K}}$حقل​${\displaystyle K}$هي مجموعة غالوا${\displaystyle K^{\textrm {sep}}}$زيادة${\displaystyle K}$، أين${\displaystyle K^{\textrm {sep}}}$هو إغلاق منفصل لـ${\displaystyle K}$أو بدلاً من ذلك، هي مجموعة جميع التشاكلات الذاتية للإغلاق الجبري لـ${\displaystyle K}$هذا الحل${\displaystyle K}$إن زمرة غالوا المطلقة معرفة جيداً حتى التشاكل الداخلي . وهي زمرة منتهية .

متى${\displaystyle K}$هو مجال مثالي ،${\displaystyle K^{\textrm {sep}}}$هو نفسه الإغلاق الجبري${\displaystyle K^{\textrm {alg}}}$ل${\displaystyle K}$والجدير بالذكر أن هذا ينطبق عندما${\displaystyle K}$لها خاصية صفرية أو أنها محدودة .

• إن مجموعة غالوا المطلقة لحقل مغلق جبريًا هي مجموعة تافهة .
• إن زمرة غالوا المطلقة للأعداد الحقيقية هي زمرة دورية مكونة من عنصرين ( الاقتران المركب ودالة التطابق)، لأن${\displaystyle \mathbb {C} }$هو الإغلاق المنفصل لـ${\displaystyle \mathbb {R} }$ودرجتها على​${\displaystyle \mathbb {R} }$يكون${\displaystyle [\mathbb {C}$ :\mathbb {R} ]=2} .
• زمرة غالوا المطلقة لحقل منتهٍ${\displaystyle K}$متماثل مع مجموعة الأعداد الصحيحة المنتهية

${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .}$^{[ 1 ]}

يُعدّ التشاكل الذاتي لفروبينيوس مولدًا قانونيًا (طوبولوجيًا) لـ${\displaystyle G_{K}}$. لو${\displaystyle K}$لديه${\displaystyle q}$العناصر، يتم إعطاء الخريطة بواسطة${\displaystyle x\mapsto x^{q}}$للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle K^{\textrm {alg}}}$.

• تُعتبر زمرة غالوا المطلقة لحقل الدوال الكسرية ذات المعاملات المركبة زمرة حرة (كزمرة منتهية). تُعزى هذه النتيجة إلى أدريان دوادي، وتستند إلى نظرية ريمان للوجود . ^{[ 2 ]}
• وبشكل أعم، دع${\displaystyle C}$ليكن حقلاً مغلقاً جبرياً و${\displaystyle x}$غير محدد. ثم مجموعة غالوا المطلقة لـ${\displaystyle C(x)}$خالٍ من رتبة تساوي عدد عناصر${\displaystyle C}$يعود الفضل في هذه النتيجة إلى ديفيد هارباتر وفلوريان بوب ، وقد أثبتها لاحقًا دان هاران وموشيه جاردن باستخدام الطرق الجبرية. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}
• يترك${\displaystyle K}$ليكن امتدادًا محدودًا للأعداد p -adic${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$. ل${\displaystyle p\neq 2}$، يتم توليد مجموعة غالوا المطلقة الخاصة بها بواسطة${\displaystyle [K:\mathbb {Q} _{p}]+3}$تتضمن هذه الدراسة عناصر ووصفًا صريحًا بواسطة المولدات والعلاقات. هذا من نتائج أوي يانسن وكاي وينغبيرغ. ^{[ 6 ] [ 7 ]} بعض النتائج معروفة في هذه الحالة${\displaystyle p=2}$لكن الهيكل لـ${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}}$غير معروف. ^{[ 8 ]}
• ومن الحالات الأخرى التي تم فيها تحديد مجموعة غالوا المطلقة هي أكبر حقل فرعي حقيقي تمامًا من حقل الأعداد الجبرية . ^{[ 9 ]}

• لا يوجد وصف مباشر معروف لمجموعة غالوا المطلقة للأعداد النسبية . في هذه الحالة، يترتب على نظرية بيلي أن لمجموعة غالوا المطلقة تأثيرًا أمينًا على رسومات غروتينديك ( الخرائط على الأسطح)، مما يُمكّننا من "رؤية" نظرية غالوا لحقول الأعداد الجبرية . ويُعدّ حلّ هذه المشكلة أحد أهداف الهندسة اللاأبيلية .
• يترك${\displaystyle K}$ليكن الامتداد الأبلي الأقصى للأعداد النسبية. عندئذٍ، تنص تخمينات شافاريفيتش على أن زمرة غالوا المطلقة لـ${\displaystyle K}$هي مجموعة منتهية حرة. ^{[ 10 ]}
• تتمثل إحدى المشكلات المثيرة للاهتمام في حسم فرضية يان ميناك ونغوين دوي تان حول اختفاء${\displaystyle n}$منتجات ماسي لـ${\displaystyle n\geq 3}$[ ^{11 ] [ 12 ]​}

• تنص نظرية نوكيرش-أوتشيدا على أن كل تماثل بين زمر غالوا المطلقة لحقول الأعداد الجبرية ينشأ من تماثل حقلي. وعلى وجه الخصوص، تكون زمرتا غالوا المطلقتان لحقول الأعداد متماثلتين إذا وفقط إذا كانت الحقول الأساسية متماثلة.
• تظهر كل زمرة شبه منتهية كزمرة غالوا ذات امتداد غالوا ما ، ^{[ 13 ]} ولكن ليس كل زمرة شبه منتهية تظهر كزمرة غالوا مطلقة. على سبيل المثال، تنص نظرية آرتين-شراير على أنه إذا كانت زمرة غالوا المطلقة منتهية، فإن رتبتها إما 1 أو 2.
• يمكن تمثيل كل زمرة إسقاطية منتهية كزمرة غالوا مطلقة لحقل شبه مغلق جبريًا . هذه النتيجة تعود إلى ألكسندر لوبوتزكي ولو فان دن دريس . ^{[ 14 ]}

في ورقتهم البحثية لعام 2022 حول هندسة تناظر لانجلاندز المحلي ، سعى لوران فارغ وبيتر شولز إلى استعادة معلومات حول حقل محلي E عبر زمرة غالوا المطلقة الخاصة به، والتي تتماثل مع الزمرة الأساسية الإيتالية لـ Spec( E ). وقد حُسبت هذه النتيجة أثناء محاولة تقييم زمرة ويل (وهي بدورها شكل من أشكال زمرة غالوا المطلقة) لـ E. وتنبثق هذه النتيجة من فكرة زمرة التشاكل الذاتي G ( E ) للمركب G -torsor التافه فوق Spec( E )؛ وبالتالي، ترتبط G ( E ) بالمعلومات المتعلقة بـ Spec( E )، وهو سؤال لا تبديلي. ^{[ 15 ]}