معامل فاي

في الإحصاء ، يُعرف معامل فاي ، أو معامل متوسط ​​مربع التوافق ، أو معامل يول للارتباط ، ويُرمز له عادةً بالرمز φ أو rφ _، بأنه مقياس للارتباط بين متغيرين ثنائيين . في مجالَي التعلّم الآلي والمعلوماتية الحيوية ، يُعرف بمعامل ارتباط ماثيوز (MCC) . أما في علم الأرصاد الجوية وغيرها، فيُشار إليه بمقياس دوليتل للارتباط أو درجة مهارة دوليتل . وقد وصفه أودني يول عام 1912 ^{[ 1 ]،} وأطلق عليه كارل بيرسون اسم فاي في ثلاثينيات القرن العشرين ^{[ 2 ]،} وهو حالة خاصة من معامل ارتباط بيرسون .

إن معامل ارتباط بيرسون المقدر لمتغيرين ثنائيين سيعيد معامل فاي. ^{[ 3 ]}

يُعتبر متغيران ثنائيان مرتبطين إيجابياً إذا كانت معظم البيانات تقع على طول الخلايا القطرية. في المقابل، يُعتبر متغيران ثنائيان مرتبطين سلبياً إذا كانت معظم البيانات تقع خارج القطر.

إذا كان لدينا جدول 2×2 لمتغيرين عشوائيين x و y 

	ص = 1	ص = 0	المجموع
س = 1	${\displaystyle n_{11}}$	${\displaystyle n_{10}}$	${\displaystyle n_{1\bullet }}$
x = 0	${\displaystyle n_{01}}$	${\displaystyle n_{00}}$	${\displaystyle n_{0\bullet }}$
المجموع	${\displaystyle n_{\bullet 1}}$	${\displaystyle n_{\bullet 0}}$	${\displaystyle n}$

حيث تمثل n11 _و n10 _و n01 و _n00 أعدادًا غير سالبة لعدد المشاهدات التي مجموعها يساوي n ، وهو العدد الإجمالي للمشاهدات. معامل فاي الذي يصف العلاقة _بين x و y هو 

${\displaystyle \varphi ={\frac {n_{11}n_{00}-n_{10}n_{01}}{\sqrt {n_{1\bullet }n_{0\bullet }n_{\bullet 0}n_{\bullet 1}}}}.}$

يرتبط معامل فاي بمعامل الارتباط الثنائي النقطي ومعامل كوهين دي ، ويقدر مدى العلاقة بين متغيرين (2×2). ^{[ 4 ]}

ويمكن التعبير عن معامل فاي باستخدام${\displaystyle n}$،${\displaystyle n_{11}}$،${\displaystyle n_{1\bullet }}$، و${\displaystyle n_{\bullet 1}}$، مثل

${\displaystyle \varphi ={\frac {nn_{11}-n_{1\bullet }n_{\bullet 1}}{\sqrt {n_{1\bullet }n_{\bullet 1}(n-n_{1\bullet })(n-n_{\bullet 1})}}}.}$

بشكل عام، يتراوح معامل ارتباط بيرسون بين -1 و+1، حيث يشير ±1 إلى توافق تام أو عدم توافق تام، بينما يشير 0 إلى انعدام العلاقة. ويكون نطاق معامل فاي - وهو حالة خاصة من معامل ارتباط بيرسون - أكثر تحديدًا عندما يكون أي من المتغيرين الثنائيين غير متوازن بين الفئات. ^{[ 5 ]}

يُستخدم معامل ارتباط ماثيوز (MCC) على نطاق واسع في مجالي المعلوماتية الحيوية والتعلم الآلي لتقييم جودة التصنيفات الثنائية (ذات الفئتين) . سُمّي هذا المعامل نسبةً إلى عالم الكيمياء الحيوية برايان دبليو ماثيوز ، الذي وصفه في ورقة بحثية تأسيسية عام 1975. ^{[ 6 ]} وقد استخدم إم إتش دوليتل في ثمانينيات القرن التاسع عشر مقياسًا مكافئًا، هو مقياس دوليتل للارتباط أو درجة مهارة دوليتل، لتقييم دقة تنبؤات عالم الأرصاد الجوية جون بارك فينلي بشأن الأعاصير وغيرها من التوقعات الجوية . ^{[ 7 ]}

يُراعي معامل الارتباط (MCC) النتائج الإيجابية والسلبية الصحيحة والخاطئة، ويُعتبر عمومًا مقياسًا متوازنًا يُمكن استخدامه حتى لو كانت أحجام الفئات مختلفة جدًا. ^{[ 8 ]} معامل الارتباط (MCC) هو في جوهره معامل ارتباط بين التصنيفات الثنائية المرصودة والمتوقعة؛ ويُعيد قيمة بين -1 و+1. يُمثل المعامل +1 تنبؤًا مثاليًا، و0 لا يُمثل تنبؤًا أفضل من التنبؤ العشوائي، بينما يُشير -1 إلى عدم توافق تام بين التنبؤ والملاحظة. مع ذلك، إذا لم يكن معامل الارتباط (MCC) يساوي -1 أو 0 أو +1، فإنه لا يُعد مؤشرًا موثوقًا لمدى تشابه المُتنبئ مع التخمين العشوائي، لأن معامل الارتباط (MCC) يعتمد على مجموعة البيانات. ^{[ 9 ]} يرتبط معامل الارتباط (MCC) ارتباطًا وثيقًا بإحصائية مربع كاي لجدول التوافق 2×2

${\displaystyle |{\text{MCC}}|={\sqrt {\frac {\chi ^{2}}{n}}}}$

حيث n هو العدد الإجمالي للملاحظات.

على الرغم من عدم وجود طريقة مثالية لوصف مصفوفة الارتباك للإيجابيات والسلبيات الصحيحة والخاطئة برقم واحد، يُعتبر معامل ارتباط ماثيوز عمومًا من أفضل المقاييس في هذا الصدد. ^{[ 10 ]} أما المقاييس الأخرى، مثل نسبة التنبؤات الصحيحة (وتُسمى أيضًا الدقة )، فهي غير مفيدة عندما يكون حجم الفئتين مختلفًا جدًا. فعلى سبيل المثال، يُحقق تصنيف كل عنصر ضمن المجموعة الأكبر نسبة عالية من التنبؤات الصحيحة، ولكنه ليس تصنيفًا مفيدًا بشكل عام.

يمكن حساب معامل الارتباط ماثيوز (MCC) مباشرة من مصفوفة الارتباك باستخدام الصيغة التالية:

${\displaystyle {\text{MCC}}={\frac {{\mathit {TP}}\times {\mathit {TN}}-{\mathit {FP}}\times {\mathit {FN}}}{\sqrt {({\mathit {TP}}+{\mathit {FP}})({\mathit {TP}}+{\mathit {FN}})({\mathit {TN}}+{\mathit {FP}})({\mathit {TN}}+{\mathit {FN}})}}}}$

في هذه المعادلة، يُمثل TP عدد النتائج الإيجابية الصحيحة ، وTN عدد النتائج السلبية الصحيحة ، وFP عدد النتائج الإيجابية الخاطئة ، و FN عدد النتائج السلبية الخاطئة . إذا كان مجموع واحد فقط من المجموعات الأربع في المقام يساوي صفرًا، فيمكن ضبط المقام على واحد؛ مما ينتج عنه معامل ارتباط ماثيوز يساوي صفرًا، والذي يمكن إثبات أنه القيمة الحدية الصحيحة. في حالة كون مجموعين أو أكثر يساويان صفرًا (على سبيل المثال، إذا كانت كل من التصنيفات وتنبؤات النموذج موجبة أو سالبة)، فإن النهاية غير موجودة.

يمكن حساب معامل الارتباط الميكروي (MCC) باستخدام الصيغة التالية:

${\displaystyle {\text{MCC}}={\sqrt {{\mathit {PPV}}\times {\mathit {TPR}}\times {\mathit {TNR}}\times {\mathit {NPV}}}}-{\sqrt {{\mathit {FDR}}\times {\mathit {FNR}}\times {\mathit {FPR}}\times {\mathit {FOR}}}}}$

باستخدام القيمة التنبؤية الإيجابية، ومعدل الإيجابية الحقيقية، ومعدل السلبية الحقيقية، والقيمة التنبؤية السلبية، ومعدل الاكتشاف الخاطئ، ومعدل السلبية الخاطئة، ومعدل الإيجابية الخاطئة، ومعدل الإغفال الخاطئ.

الصيغة الأصلية كما قدمها ماثيوز هي: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}N&={\mathit {TN}}+{\mathit {TP}}+{\mathit {FN}}+{\mathit {FP}}\\[6pt]S&={\frac {{\mathit {TP}}+{\mathit {FN}}}{N}}\\[6pt]P&={\frac {{\mathit {TP}}+{\mathit {FP}}}{N}}\\[6pt]{\text{MCC}}&={\frac {{\mathit {TP}}/N-S\times P}{\sqrt {PS(1-S)(1-P)}}}\end{aligned}}}$

هذا يساوي الصيغة المذكورة أعلاه. معامل ارتباط ماثيوز هو المتوسط ​​الهندسي لمعاملات الانحدار للمسألة وثنائيتها . معاملات الانحدار المكونة لمعامل ارتباط ماثيوز هي التمييز (Δp ) وإحصائية يودن J ( المعلوماتية أو Δp ′ ) . ^{[ 10 ] [ 11 ]} يتوافق التمييز والمعلوماتية مع اتجاهات مختلفة لتدفق المعلومات، وهما تعميم لإحصائية يودن J.${\displaystyle \delta p}$الإحصاءات، بينما يعمم متوسطها الهندسي معامل ارتباط ماثيوز لأكثر من فئتين. ^{[ 10 ]}

يعتبر بعض العلماء معامل ارتباط ماثيوز المؤشر الأكثر دلالة لتحديد جودة تنبؤ المصنف الثنائي في سياق مصفوفة الارتباك. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

بافتراض وجود عينة من 12 صورة، 8 منها لقطط و4 لكلاب، حيث تنتمي القطط إلى الفئة 1 والكلاب إلى الفئة 0،

القيمة الفعلية = [1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0],

لنفترض أنه تم تدريب مصنف يميز بين القطط والكلاب، ونأخذ الصور الـ 12 ونمررها عبر المصنف، ويقوم المصنف بعمل 9 تنبؤات دقيقة ويخطئ في 3: قطتان تم التنبؤ بهما بشكل خاطئ على أنهما كلاب (أول تنبؤين) وكلب واحد تم التنبؤ به بشكل خاطئ على أنه قطة (التنبؤ الأخير).

التوقع = [0,0, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 ]

باستخدام هاتين المجموعتين المصنفتين (البيانات الفعلية والتوقعات)، يمكننا إنشاء مصفوفة ارتباك تلخص نتائج اختبار المصنف:

في مصفوفة الارتباك هذه، من بين صور القطط الثماني، صنّف النظام صورتين على أنهما لكلبين، ومن بين صور الكلاب الأربع، تنبأ بأن صورة واحدة على الأقل هي لقطة. تقع جميع التنبؤات الصحيحة على قطر الجدول (المميزة بخط عريض)، مما يسهل فحص الجدول بصريًا بحثًا عن أخطاء التنبؤ، حيث ستُمثَّل هذه الأخطاء بقيم خارج القطر.

بصورة مجردة، تكون مصفوفة الارتباك كما يلي:

حيث P = إيجابي؛ N = سلبي؛ TP = إيجابي حقيقي؛ FP = إيجابي كاذب؛ TN = سلبي حقيقي؛ FN = سلبي كاذب.

بتطبيق الأرقام من الصيغة:

${\displaystyle {\text{MCC}}={\frac {6\times 3-1\times 2}{\sqrt {(6+1)\times (6+2)\times (3+1)\times (3+2)}}}={\frac {16}{\sqrt {1120}}}\approx 0.478}$

لنفترض أن لدينا تجربة تتكون من P حالة إيجابية و N حالة سلبية لشرط معين. يمكن صياغة النتائج الأربع في جدول توافق 2×2 أو مصفوفة ارتباك ، كما يلي:

تم تعميم معامل ارتباط ماثيوز ليشمل حالة التصنيف المتعدد. ويُطلق على هذا التعميم اسم ${\displaystyle R_{K}}$تم تعريف الإحصائية (لـ K فئة مختلفة) بدلالة أ${\displaystyle K\times K}$مصفوفة الارتباك${\displaystyle C}$^{[ 22 ]} . ^{[ 23 ]}

${\displaystyle {\text{MCC}}={\frac {\sum _{k}\sum _{l}\sum _{m}C_{kk}C_{lm}-C_{kl}C_{mk}}{{\sqrt {\sum _{k}\left(\sum _{l}C_{kl}\right)\left(\sum _{k'|k'\neq k}\sum _{l'}C_{k'l'}\right)}}{\sqrt {\sum _{k}\left(\sum _{l}C_{lk}\right)\left(\sum _{k'|k'\neq k}\sum _{l'}C_{l'k'}\right)}}}}}$

عندما يكون هناك أكثر من فئتين، لن يتراوح معامل الارتباط بين -1 و+1. بل ستكون قيمته الدنيا بين -1 و0، وذلك تبعًا للتوزيع الحقيقي. أما قيمته القصوى فهي دائمًا +1.

يمكن فهم هذه الصيغة بسهولة أكبر من خلال تحديد المتغيرات الوسيطة: ^{[ 24 ]}

• ${\displaystyle i}$هو مؤشر القيمة الفعلية
• ${\displaystyle j}$هو مؤشر القيمة المتوقعة
• ${\displaystyle K}$هو العدد الإجمالي للفصول
• ${\displaystyle t_{k}=\sum _{i}C_{ik}}$عدد المرات التي حدثت فيها الفئة ك بالفعل،
• ${\displaystyle p_{k}=\sum _{j}C_{kj}}$عدد مرات التنبؤ بالفئة k،
• ${\displaystyle c=\sum _{k}C_{kk}}$إجمالي عدد العينات التي تم التنبؤ بها بشكل صحيح،
• ${\displaystyle s=\sum _{i}\sum _{j}C_{ij}}$إجمالي عدد العينات. وهذا يسمح بالتعبير عن الصيغة على النحو التالي:

${\displaystyle {\text{MCC}}={\frac {cs-{\vec {t}}\cdot {\vec {p}}}{{\sqrt {s^{2}-{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}}}{\sqrt {s^{2}-{\vec {t}}\cdot {\vec {t}}}}}}}$

باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه لحساب مقياس MCC لمثال الكلب والقط المذكور أعلاه، حيث يتم التعامل مع مصفوفة الارتباك كمثال متعدد الفئات 2 ×:

${\displaystyle {\text{MCC}}={\frac {(6+3)\times {\color {green}12}\;-\;{\color {blue}5}\times {\color {brown}4}\;-\;{\color {purple}7}\times {\color {maroon}8}}{{\sqrt {{\color {green}12}^{2}-{\color {blue}5}^{2}-{\color {purple}7}^{2}}}{\sqrt {{\color {green}12}^{2}-{\color {brown}4}^{2}-{\color {maroon}8}^{2}}}}}={\frac {32}{\sqrt {4480}}}\approx 0.478}$

تم تقديم تعميم بديل لمعامل ارتباط ماثيوز لأكثر من فئتين بواسطة باورز ^{[ 10 ]} من خلال تعريف الارتباط على أنه المتوسط ​​الهندسي لـ Informedness و Markedness .

قدم كل من بي ستويكا وبي بابو العديد من التعميمات لمعامل ارتباط ماثيوز لأكثر من فئتين بالإضافة إلى مقاييس الارتباط متعددة المتغيرات الجديدة للتصنيف متعدد المتغيرات. ^{[ 25 ]}

• كابا كوهين
• جدول الطوارئ
• معامل كرامر V ، وهو مقياس مشابه للارتباط بين المتغيرات الاسمية.
• نتيجة سباق الفورمولا 1
• مؤشر فولكس-مالوز
• الارتباط متعدد الفئات (النوع الفرعي: الارتباط رباعي الفئات)، عندما تُعتبر المتغيرات نسخًا ثنائية القيمة من متغيرات مستمرة (كامنة).