قواعد التصويت في فراغمن

قواعد التصويت الخاصة بفراغمن هي قواعد للتصويت متعدد الفائزين . تسمح هذه القواعد للناخبين بالتصويت لمرشحين أفراد بدلاً من الأحزاب، مع ضمان التمثيل النسبي . وهي لا تُنتج فقط مجموعة من المرشحين، بل تُنتج أيضاً ترتيباً لهذه المجموعة؛ ولذلك، فهي مفيدة بشكل خاص في الانتخابات التمهيدية في أنظمة القوائم الحزبية ، حيث يتعين على الحزب تحديد قائمة مرتبة بمرشحيه.

تم نشر قواعد التصويت الخاصة بـ Phragmen بواسطة Lars Edvard Phragmén باللغتين الفرنسية والسويدية بين عامي 1893 و 1899، ^{[ 1 ]} وترجمها إلى الإنجليزية Svante Janson في عام 2016. ^{[ 2 ]}

خلفية

في نظام التصويت بالموافقة على عدة فائزين، يمكن لكل ناخب التصويت لمرشح واحد أو أكثر، والهدف هو اختيار عدد ثابت k من الفائزين (حيث قد يكون k ، على سبيل المثال، عدد أعضاء البرلمان). السؤال هو: كيف يتم تحديد مجموعة الفائزين؟

أبسط الطرق هي التصويت المتعدد غير القابل للتحويل ، حيث يتم انتخاب المرشحين الحاصلين على أكبر عدد من الأصوات. لكن هذه الطريقة تميل إلى اختيار مرشحي الحزب الأكبر، مما يترك الأحزاب الأصغر بدون أي تمثيل على الإطلاق.
في القرن التاسع عشر، دار نقاش واسع حول أنظمة الانتخابات التي تضمن التمثيل النسبي . وكان أحد الحلول، الذي دعا إليه د'هوندت عام ١٨٧٨ على سبيل المثال، هو التصويت للقوائم الحزبية بدلاً من المرشحين الأفراد. ولا يزال هذا الحل شائعاً حتى اليوم.

أراد فراغمن الإبقاء على حق التصويت للمرشحين الأفراد، ليتمكن الناخبون من اختيارهم بناءً على جدارتهم الشخصية. في الحالة الخاصة التي يوافق فيها كل ناخب على جميع مرشحي حزب واحد فقط، تُعطي طرق فراغمن نفس نتائج طريقة ديهوندت. ^{[ 2 ]}^{: القسم 11.} مع ذلك، تستطيع طريقة فراغمن التعامل مع حالات أكثر عمومية، حيث قد يصوت الناخبون لمرشحين من أحزاب مختلفة (في الواقع، تتجاهل الطريقة المعلومات المتعلقة بانتماء كل مرشح إلى أي حزب).

قاعدة فراغمن المتسلسلة لأوراق الاقتراع الموافقة

يمكن عرض طريقة فراغمن الأصلية، والتي تُسمى اليوم Seq-Phragmen ، ^{[ 3 ]} بطريقتين متكافئتين. ^{[ 2 ]}^{: القسم 3}

موازنة الأحمال

يُنشئ كل مرشح منتخب "عبئًا" مقداره وحدة واحدة. ويجب على الناخبين الذين يدعمون المرشح تحمل هذا العبء. والهدف هو إيجاد لجنة يمكن من خلالها توزيع العبء بين الناخبين بأكثر الطرق "توازنًا". وهذا يعني السعي إلى تقليل الحد الأقصى للعبء، ثم الحد الأدنى للعبء الثاني، وهكذا (باستخدام خوارزمية التحسين المعجمي للحد الأقصى والأدنى ). ويتم تحقيق توازن العبء بالتتابع في كل جولة.

وضّح فراغمن طريقته بتمثيل كل ناخب بوعاء. ويمثل الماء الموجود في هذه الأوعية المرشحين المنتخبين مسبقًا. ولانتخاب مرشح آخر، يجب سكب لتر واحد من الماء في الأوعية التي تمثل الناخبين الذين صوتوا لهذا المرشح. وينبغي توزيع الماء بحيث يكون أقصى ارتفاع له أقل ما يمكن.

النقود الافتراضية

يمكن وصف Seq-Phragmen بشكل بديل على أنها العملية المستمرة التالية:

يبدأ كل ناخب برصيد صفر من الأموال الافتراضية، ويتلقى الأموال بمعدل ثابت قدره 1 في اليوم.
في كل وقت t ، نحدد المرشح x الذي لم يتم انتخابه بعد على أنه في متناول اليد إذا كان إجمالي الأموال التي يمتلكها الناخبون الذين يوافقون على x هو 1 على الأقل.
في المرة الأولى التي يكون فيها أحد المرشحين ميسور التكلفة، نختار مرشحًا ميسور التكلفة (ص) بشكل عشوائي. نضيف (ص) إلى اللجنة، ونعيد ضبط الأموال الافتراضية للناخبين الذين وافقوا على (ص) (لأنهم الآن قد "استخدموا" أموالهم الافتراضية لتمويل (ص) ).
يستمر الناخبون في كسب الأموال الافتراضية وتمويل المرشحين حتى يتم انتخاب جميع أعضاء اللجنة k .

أمثلة

قائمة الأحزاب

يُشبه المثال البسيط التالي نظام التصويت بالقوائم الحزبية. يوجد 6 مقاعد (k=6) و9 مرشحين، يُرمز لهم بالأحرف a، b، c، d، e، f، g، h، i. يوجد 63 ناخبًا بتفضيلات كالتالي: 31 ناخبًا يوافقون على a، b، c؛ 21 ناخبًا يوافقون على d، e، f؛ و11 ناخبًا يوافقون على g، h، i.

الجولة الأولى

لنفترض أن المرشحين يحصلون على درجة تساوي مقلوب عدد الموافقين. نحصل على ما يلي:


مُرَشَّح	نتيجة
أ	١/٣١
ب	١/٣١
ج	١/٣١
د	١/٢١
هـ	١/٢١
و	١/٢١
ز	1/11
ح	1/11
أنا	1/11

نختار المرشح الحاصل على أقل درجة. في هذه الحالة، هناك تعادل بين المرشحين أ، ب، وج. لنفترض أنه تم اختيار المرشح أ.

الجولة الثانية

الآن، يتم زيادة درجات المرشحين بضرب 1/31 (درجة أ) في نسبة الموافقين الذين يوافقون أيضًا على أ.

مُرَشَّح	الاشتقاق	نتيجة
ب	1/31+1(1/31)	2/31
ج	1/31+1(1/31)	2/31
د	1/21+0(1/31)	١/٢١
هـ	1/21+0(1/31)	١/٢١
و	1/21+0(1/31)	١/٢١
ز	1/11+0(1/31)	1/11
ح	1/11+0(1/31)	1/11
أنا	1/11+0(1/31)	1/11

نختار المرشح الحاصل على أقل درجة. في هذه الحالة، تتساوى الدرجات بين د، هـ، و. لنفترض أنه تم اختيار د.

الجولة الثالثة

الآن، يتم زيادة درجات المرشحين بمجموع حاصل ضرب 1/31 (درجة أ) ونسبة الموافقين الذين كانت موافقتهم "الأحدث" هي أ، وحاصل ضرب 1/21 (درجة د) ونسبة الموافقين الذين كانت موافقتهم "الأحدث" هي د.

مُرَشَّح	الاشتقاق	نتيجة
ب	1/31+1(1/31)+0(1/21)	2/31
ج	1/31+1(1/31)+0(1/21)	2/31
هـ	1/21+0(1/31)+1(1/21)	2/21
و	1/21+0(1/31)+1(1/21)	2/21
ز	1/11+0(1/31)+0(1/21)	1/11
ح	1/11+0(1/31)+0(1/21)	1/11
أنا	1/11+0(1/31)+0(1/21)	1/11

نختار المرشح الحاصل على أقل درجة. في هذه الحالة، النتيجة متساوية بين المرشحَين (ب) و(ج). لنفترض أنه تم اختيار المرشح (ب).

الجولة الرابعة

الآن، يتم زيادة درجات المرشحين بمجموع حاصل ضرب 1/31 (درجة أ) ونسبة الموافقين الذين كانت موافقتهم "الأحدث" هي أ، ومجموع حاصل ضرب 1/21 (درجة د) ونسبة الموافقين الذين كانت موافقتهم "الأحدث" هي د، وحاصل ضرب 2/31 (درجة ب) ونسبة الموافقين الذين كانت موافقتهم "الأحدث" هي ب.

مُرَشَّح	الاشتقاق	نتيجة
ج	1/31+0(1/31)+0(1/21)+1(2/31)	3/31
هـ	1/21+0(1/31)+1(1/21)+0(2/31)	2/21
و	1/21+0(1/31)+1(1/21)+0(2/31)	2/21
ز	1/11+0(1/31)+0(1/21)+0(2/31)	1/11
ح	1/11+0(1/31)+0(1/21)+0(2/31)	1/11
أنا	1/11+0(1/31)+0(1/21)+0(2/31)	1/11

نختار المرشح الحاصل على أقل درجة. في هذه الحالة، تتساوى الدرجات بين g و h و i. لنفترض أنه تم اختيار g.

الجولة الخامسة

مُرَشَّح	الاشتقاق	نتيجة
ج	1/31+0(1/31)+0(1/21)+1(2/31)+0(1/11)	3/31
هـ	1/21+0(1/31)+1(1/21)+0(2/31)+0(1/11)	2/21
و	1/21+0(1/31)+1(1/21)+0(2/31)+0(1/11)	2/21
ح	1/11+0(1/31)+0(1/21)+0(2/31)+1(1/11)	2 ⁄ 11
أنا	1/11+0(1/31)+0(1/21)+0(2/31)+1(1/11)	2 ⁄ 11

نختار المرشح الحاصل على أقل درجة. في هذه الحالة، هناك تعادل بين المرشح هـ والمرشح و. لنفترض أنه تم اختيار المرشح هـ.

الجولة السادسة

مُرَشَّح	الاشتقاق	نتيجة
ج	1/31+0(1/31)+0(1/21)+1(2/31)+0(1/11)+0(2/21)	3/31
و	1/21+0(1/31)+0(1/21)+0(2/31)+0(1/11)+1(2/21)	3/21
ح	1/11+0(1/31)+0(1/21)+0(2/31)+1(1/11)+0(2/21)	2 ⁄ 11
أنا	1/11+0(1/31)+0(1/21)+0(2/31)+1(1/11)+0(2/21)	2 ⁄ 11

نختار المرشح الحاصل على أقل درجة، وهي ج.

يبدأ الناخبون في كسب المال بمعدل ثابت قدره 1 يوميًا. بعد 1/31 أو ما يقارب 0.0323 يومًا، يمتلك كل ناخب من الناخبين الـ 31 (أ ، ب، ج) 0.0323، وبالتالي يمكنهم معًا تمويل أحد مرشحيهم المعتمدين. يتم اختيار أحد المرشحين (أ، ب، ج) عشوائيًا؛ لنفترض أنه (أ).
بعد مرور 1/21 أو ما يقارب 0.0476 يومًا، يمتلك كل ناخب من ناخبي abc البالغ عددهم 31 ناخبًا حوالي 0.015 فقط، بينما يمتلك كل ناخب من ناخبي def البالغ عددهم 21 ناخبًا 0.0476، لذا يمكنهم معًا تمويل أحد مرشحيهم المعتمدين. يتم اختيار أحد المرشحين d أو e أو f عشوائيًا؛ لنفترض أنه d.
بعد حوالي 0.0645 يومًا، أصبح لدى ناخبي abc مرة أخرى 0.0323 لكل منهم، لذلك يشترون مرشحًا آخر من مرشحيهم المعتمدين، ولنقل b.
بعد 1/11 أو ~0.0909 يومًا، يمتلك كل من ناخبي ghi 0.0909، لذلك يمكنهم معًا تمويل أحد مرشحيهم المعتمدين، على سبيل المثال g (في هذه المرحلة، يمتلك كل من ناخبي abc 0.0264 فقط، ويمتلك كل من ناخبي def 0.0434، لذلك لا يمكن لأي منهم شراء مرشح آخر).
بعد 0.0952 يومًا، أصبح لدى الناخبين المؤيدين مرة أخرى 0.0476 لكل منهم، لذا يمكنهم شراء مرشح آخر، على سبيل المثال.
بعد 0.0968 يومًا، يمتلك ناخبو abc مرة أخرى 0.0323 لكل منهم، لذا يمكنهم شراء مرشح آخر، لنقل c.

اللجنة النهائية هي أ، ب، ج؛ د، هـ؛ ز. لاحظ أن كل "حزب" ممثل تقريبًا بما يتناسب مع حجمه: 3 مرشحين لـ 31 ناخبًا، و2 مرشحين لـ 21 ناخبًا، ومرشح واحد لـ 11 ناخبًا.

صغير، غير {قائمة حزبية}

كمثال بدون هيكل حزبي، ضع في اعتبارك الحالة التالية مع 4 مرشحين، يُشار إليهم بـ a و b و c و d، و 5 ناخبين بمجموعات موافقة 1: a؛ 2: b؛ 3: b و c؛ 4: a و b و c؛ 5: d. ^{[ 3 ]}

الجولة الأولى

مرة أخرى، لنفترض أن كل مرشح يحصل على درجة تساوي مقلوب عدد الموافقين. نحصل على ما يلي:

مُرَشَّح	نتيجة
أ	نصف
ب	1/3
ج	نصف
د	1/1

نختار المرشح الحاصل على أقل درجة، وهو المرشح ب.

الجولة الثانية

الآن، يتم زيادة درجات المرشحين بضرب 1/3 (درجة ب) في نسبة الموافقين الذين يوافقون أيضًا على ب.

مُرَشَّح	الاشتقاق	نتيجة
أ	1/2+(1/2)(1/3)	2/3
ج	1/2+1(1/3)	5/6
د	1/1+0(1/3)	1/1

نختار المرشح الحاصل على أقل درجة، وهو أ.

الجولة الثالثة

الآن، يتم زيادة درجات المرشحين بمجموع حاصل ضرب 1/3 (درجة b) ونسبة الموافقين الذين كانت موافقتهم "الأحدث" هي b، وحاصل ضرب 2/3 (درجة a) ونسبة الموافقين الذين كانت موافقتهم "الأحدث" هي a.

مُرَشَّح	الاشتقاق	نتيجة
ج	1/2+(1/2)(1/3)+(1/2)(2/3)	1
د	1/1+0(1/3)+0(2/3)	1

نختار المرشح الحاصل على أقل درجة. في هذه الحالة، النتيجة متساوية بين ج ود.

يبدأ الناخبون مجدداً في كسب المال بمعدل ثابت قدره 1 في اليوم. بعد مرور 1/3 يوم، يمتلك المؤيدون لـ b ما يكفي لشراء b، مما يؤدي إلى إعادة ضبط أموالهم إلى 0، وبالتالي توزيع الأموال على النحو التالي: (1/3، 0، 0، 0، 1/3).
بعد يومين أو ثلاثة، يصبح توزيع الأموال كالتالي: (2/3، 1/3، 1/3، 1/3، 2/3). وبالتالي، يستطيع مؤيدو المرشح شراءه، ثم تُعاد أموالهم إلى الصفر، مما يؤدي إلى توزيع كالتالي: (0، 1/3، 1/3، 0، 2/3).
وأخيرًا، بعد يوم واحد، يكون توزيع الأموال كالتالي: (1/3، 2/3، 2/3، 1/3، 1). وبالتالي، يمكن شراء إما الخيار ج أو الخيار د وفقًا لآلية كسر التعادل المستخدمة.

وبالتالي، بالنسبة لحجم اللجنة k = 3، فإن كل من {a,b,c} و {a,b,d} لجان seq-Phragmén صالحة.

حقيقي

إليكم مثالًا أكثر واقعية. يوجد 3 مقاعد (k = 3) و6 مرشحين، يُرمز لهم بالأحرف A وB وC وP وQ وR. نتائج الاقتراع كالتالي: 1034 صوتًا لـ ABC، و519 صوتًا لـ PQR، و90 صوتًا لـ ABQ، و47 صوتًا لـ APQ. يتم انتخاب الفائزين بالتتابع كما يلي:

الجولة الأولى

مرة أخرى، لنفترض أن كل مرشح يحصل على درجة تساوي مقلوب عدد الموافقين. نحصل على ما يلي:

مُرَشَّح	نتيجة
أ	1 / 1171
ب	١/١١٢٤
ج	1 / 1034
P	1 / 566
سؤال	1 / 656
R	1 / 519

نختار المرشح الحاصل على أقل درجة، وهو المرشح أ.

الجولة الثانية

الآن، يتم زيادة درجات المرشحين بضرب 1/1171 (درجة أ) في نسبة الموافقين الذين يوافقون أيضًا على أ.

مُرَشَّح	الاشتقاق	نتيجة
ب	1/1124+1(1/1171)	2295 ⁄ 1316204
ج	1/1034+1(1/1171)	2205 ⁄ 1210814
P	1/566+(47/566)(1/1171)	609 ⁄ 331393
سؤال	1/656+(137/656)(1/1171)	327 ⁄ 192044
R	1/519+0(1/1171)	1 / 519

نختار المرشح الحاصل على أقل درجة، وهو Q.

الجولة الثالثة

الآن، يتم زيادة درجات المرشحين بمجموع حاصل ضرب 1/1171 (درجة A) ونسبة الموافقين الذين كانت موافقتهم "الأحدث" هي A، وحاصل ضرب 327/192044 (درجة Q) ونسبة الموافقين الذين كانت موافقتهم "الأحدث" هي Q.

مُرَشَّح	الاشتقاق	نتيجة
ب	1/1124+(517/562)(1/1171)+(45/562)(327/192044)	195525 / 107928728
ج	1/1034+1(1/1171)+0(327/192044)	2205 ⁄ 1210814
P	1/566+0(1/1171)+1(327/192044)	188563 / 54348452
R	1/519+0(1/1171)+1(327/192044)	361757 ⁄ 99670836

نختار المرشح الحاصل على أدنى درجة، وهو المرشح الحاصل على الدرجة B.

نماذج أوراق الاقتراع للموافقة

تذكر أنه في وصف موازنة الأحمال، يُنشئ كل مرشح منتخب "حملاً" مقداره وحدة واحدة. ويجب أن يتحمل الناخبون الذين يدعمون المرشح هذا الحمل. والهدف هو إيجاد لجنة يمكن من خلالها تقسيم الحمل بين الناخبين بأكثر الطرق "توازناً". وبناءً على التعريف الدقيق لـ "التوازن"، توجد عدة قواعد ممكنة: ^{[ 3 ]}

Leximax-Phragmen: تقليل الحمل الأقصى، وبموجب ذلك الحمل الأقصى الثاني، إلخ. (باستخدام تحسين الحد الأقصى الأدنى المعجمي ).
Leximin-Phragmen : زيادة الحد الأدنى للحمل، ورهناً بذلك الحد الأدنى الثاني للحمل، إلخ.
طريقة var-Phragmen أو طريقة إيبرت : تقليل تباين الحمل.

لكل من هذه المتغيرات متغيران فرعيان:

نوع من أنواع التحسين العالمي ، والذي عادة ما يكون حسابه صعبًا من نوع NP؛
هناك نوع متسلسل يتم فيه اختيار المرشحين بالتتابع، وفي كل دور، يكون المرشح المنتخب التالي هو الذي يحقق المقياس الأمثل بين جميع المرشحين (أي خوارزمية جشعة ).

حساب

تُعدّ مسائل Var-Phragmen و Leximax-Phragmen مسائل صعبة الحساب من فئة NP، حتى عندما يوافق كل وكيل على مرشحين اثنين ويوافق على كل مرشح ثلاثة ناخبين. ويتم إثبات ذلك عن طريق الاختزال من المجموعة المستقلة القصوى على الرسوم البيانية المكعبة . ^{[ 3 ]}

يمكن حساب Leximax-Phragmen بواسطة سلسلة من 2 n برنامج خطي مختلط الأعداد الصحيحة على الأكثر مع O( nm + n2 ) متغير لكل منها (حيث n هو عدد الناخبين و m ^هو عدد المرشحين)؛ انظر تحسين Lexicographic max-min .

يمكن حساب Var-Phragmen عن طريق حل برنامج تربيعي مختلط الأعداد الصحيحة واحد مع O( nm ) متغيرات.

يمكن حساب خوارزمية Seq-Phragmen في وقت متعدد الحدود. تُظهر حسابات بسيطة أن زمن التشغيل هو O( kmn ): حيث توجد k خطوة (خطوة واحدة لكل مرشح منتخب)؛ في كل خطوة، يجب فحص جميع المرشحين لمعرفة أي منهم يمكن تمويله؛ ولكل مرشح، يجب فحص جميع الناخبين لمعرفة أي منهم يمكنه تمويله. مع ذلك، وللحصول على دقة عالية، نحتاج إلى التعامل مع الأعداد النسبية، وتزداد قيمتها المطلقة حتى k log n . بما أن العمليات الحسابية في b بت قد تتطلب زمنًا ^قدره O( b² )، ^فإن إجمالي زمن التشغيل هو O( k³mn log₂ ⁿ ).

قواعد فراغمين للتصويت التفضيلي

تُستخدم قواعد فراغمن عادةً مع بطاقات الاقتراع بالموافقة (أي التصويت بالموافقة متعدد الفائزين )، ولكن لها أيضًا صيغًا مختلفة تستخدم بطاقات الاقتراع الترتيبية (أي التصويت الترتيبي متعدد الفائزين ). وقد اقترحت لجنة ملكية معنية بطريقة الانتخابات النسبية تعديلًا لطريقة فراغمن المتسلسلة عام 1913. وتُستخدم هذه الطريقة في الانتخابات السويدية لتوزيع المقاعد داخل الأحزاب منذ عام 1921. ^{[ 2 ]}^{: القسم 9}

في النسخة المعدلة، في كل جولة، يصوّت كل ناخب فعلياً للمرشح الأعلى تصنيفاً من بين المرشحين المتبقين. وعند انتخاب مرشح، يُوزّع "عبء" صوته، وهو وحدة واحدة، على المرشحين الذين يصوّتون له (أي يُصنّف أولاً)؛ ويجب أن يُقلّل هذا التوزيع من الحد الأقصى لعبء صوت الناخب.

المتغيرات

التصويت الحزبي

من الممكن استخدام طريقة فراغمن للأحزاب. يمكن لكل ناخب الموافقة على حزب واحد أو أكثر. الإجراء هو نفسه كما كان من قبل، باستثناء أنه الآن، يمكن اختيار كل حزب عدة مرات - بين صفر وعدد المرشحين الإجمالي في الحزب. ^{[ 4 ]}

الميزانية التشاركية

تم تكييف قاعدة Seq-Phragmen مع الإطار الأكثر عمومية للميزانية التشاركية التوافقية . ^{[ 5 ]}

التناسب التنازلي والتراجعي

قام كل من جاورسكي وسكوورون ^{[ 6 ]} بوضع فئة من القواعد التي تعمم قواعد seq-Phragmen للتناسب التنازلي والتراجعي. بشكل بديهي:

يتم الحصول على التناسب التنازلي من خلال افتراض أن الناخبين الذين لديهم بالفعل عدد أكبر من الممثلين يكسبون المال بمعدل أبطأ من أولئك الذين لديهم عدد أقل؛
يتم تطبيق مبدأ التناسب التنازلي من خلال افتراض أن المرشحين الذين يحصلون على موافقة عدد أكبر من الناخبين يكلفون أقل من أولئك الذين حصلوا على عدد أقل من الموافقات.

استخدام طريقة فراغمن لترتيب البدائل

لا تقتصر طريقة فراغمن التسلسلية على اختيار مجموعة فرعية فحسب، بل يمكن استخدامها أيضًا لإنشاء ترتيب للبدائل وفقًا لترتيب اختيارها. وقد وسّع بريل وإسرائيل ^{[ 7 ]} هذه الطريقة لتشمل الترتيبات الديناميكية . وانطلاقًا من تطبيقات الأسئلة والأجوبة عبر الإنترنت ^{[ 8 ]،} يفترضان أنه تم اختيار بعض المرشحين مسبقًا، ويستخدمان هذه المعلومة في حساب الترتيب. ويقترحان تعديلين لقاعدة فراغمن:

التجزئة الديناميكية: في كل خطوة، يتم المرور على تسلسل المرشحين المنتخبين مسبقًا، وتقسيم "تكلفة" كل مرشح بين مؤيديه. ينتج عن ذلك، لكل مستخدم، "دين" محتمل - رصيد سالب. يمكن حساب الديون في زمن O( mn² ⁾ ، حيث m هو عدد المرشحين و n هو عدد المستخدمين. بعد ذلك، يبدأ المستخدمون في تجميع الأموال كالمعتاد، حيث لا يمكن للمستخدم البدء في شراء مرشحين جدد إلا بعد سداد "دينه". يشتري المستخدمون المرشحين بالتتابع، حتى يتم حساب الترتيب الجديد. الترتيب ^الجديد نسبي. يمكن حساب التسلسل الجديد في زمن O ⁽m²n² ) .
خوارزمية التجزئة قصيرة النظر: يتم حساب "دين" كل مستخدم كما في خوارزمية التجزئة الديناميكية. بعد ذلك، وبدلاً من إنشاء ترتيب كامل باستخدام خوارزمية التجزئة التسلسلية، يتم ترتيب المرشحين حسب مقدار "الدين" الذي سيُنشئونه للمستخدمين. أي: يتم ترتيب المرشحين حسب مدى ملاءمتهم للانتخاب التالي. الترتيب الناتج ليس بالضرورة متناسبًا (خاصةً عندما يكون التسلسل فارغًا، تتطابق خوارزمية التجزئة قصيرة النظر مع التصويت النفعي ). يمكن حساب التسلسل الجديد في زمن O( ^mn²) .

يقومون بتحليل خصائص الرتابة والإنصاف لهذه التعديلات، نظرياً وتجريبياً.

ملكيات

تجانس

لكل ورقة اقتراع محتملة b ، ليكن v _b عدد الناخبين الذين صوتوا لـ b تحديدًا (على سبيل المثال: وافقوا على نفس مجموعة المرشحين تمامًا). وليكن p _b نسبة الناخبين الذين صوتوا لـ b تحديدًا (= v _b / إجمالي عدد الأصوات). تُسمى طريقة التصويت متجانسة إذا كانت تعتمد فقط على النسبة p _b . لذا، إذا ضُربت جميع أعداد الأصوات بنفس الثابت، فإن الطريقة تُعطي نفس النتيجة. طرق فراغمين متجانسة بهذا المعنى. ^{[ 2 ]}^{: ملاحظة 2.1}

استقلالية المرشحين غير المنتخبين

إذا أُضيف أي عدد من المرشحين إلى ورقة الاقتراع، ولم يُنتخب أي منهم (حتى لو صُوِّت لبعضهم)، فإن النتيجة لا تتغير. ^{[ 2 ]}^{: المادة 6.} هذا يقلل من أحد دوافع التلاعب الاستراتيجي: إضافة مرشحين "وهميين" لجذب الأصوات.

الرتابة

تُخصّص خوارزمية Seq-Phragmén المقاعد واحدًا تلو الآخر، لذا فهي تُحقق خاصية رتابة اللجنة : فعند إضافة المزيد من المقاعد، تزداد مجموعة الفائزين (لا يخسر أي فائز مقعدًا). ^{[ 2 ]}^{: القسم 5}

كما أنها تستوفي العديد من معايير الرتابة الأخرى . ^{[ 2 ]}^{: القسم 14}

بالنسبة لطريقة التصويت بالموافقة لفرغمين : إذا تم انتخاب مرشح ما (ج) ، ثم حصل المرشح ( ج) على بعض الموافقات إما من ناخبين جدد يصوتون له ، أو من ناخبين حاليين يضيفونه إلى أوراق اقتراعهم ، ولم تحدث أي تغييرات أخرى، فسيظل (ج) هو المرشح المنتخب. مع ذلك، لا تنطبق هذه الرتابة على أزواج المرشحين، حتى لو ظهروا معًا دائمًا. على سبيل المثال، من الممكن أن يظهر المرشحان (ج) و(د) معًا في جميع أوراق الاقتراع ويحصلا على مقعدين، ولكن إذا أُضيفت ورقة اقتراع أخرى لهما، فسيحصلان معًا على مقعد واحد فقط (أي أن أحدهما يخسر مقعدًا). ^{[ 2 ]}^{: مثال 14.4، 14.5.} وبالمثل، لا تنطبق الرتابة في حالة الأحزاب: فقد يحصل حزب ما على موافقات أكثر ولكنه مع ذلك يحصل على عدد أقل من المقاعد. على سبيل المثال: ^{[ 4 ]}

لنفترض أن لدينا 3 مقاعد (k = 3) و3 مرشحين: أ، ب، ج. توزيع الأصوات كالتالي: 4 أصوات لأ، 7 لـ ب، صوت واحد لـ أ + ب، 16 لـ أ + ج، 4 لـ ب + ج. إذن، اللجنة المنتخبة هي {أ، ب، أ}. لكن، إذا وافق أحد الناخبين من الفئة ب على أ أيضًا (بحيث يصبح توزيع الأصوات كالتالي: 4 أصوات لأ، 6 لـ ب، صوتان لـ أ + ب، 16 لـ أ + ج، 4 لـ ب + ج)، فإن اللجنة المنتخبة هي {أ، ج، ب}. إذن، حصل الحزب أ على موافقة لكنه خسر مقعدًا.

بالنسبة لطريقة التصويت الترتيبي لفرغمين : إذا انتُخب المرشح ج ، ثم رُقّيَ ج في بعض أوراق الاقتراع، أو حصل على أصوات جديدة، ولم تحدث أي تغييرات أخرى، فسيظل ج مُنتخبًا. مع ذلك، إذا حدثت تغييرات أخرى في الوقت نفسه، فقد يخسر ج مقعده. على سبيل المثال، من الممكن أن يُغيّر بعض الناخبين رأيهم، وبدلًا من التصويت لأ و ب، يُصوّتون لج و د، وهذا التغيير يُؤدي إلى خسارة ج لمقعده. ^{[ 2 ]}^{: خروج 13: 16}

التمثيل المبرر

تُحقق قاعدة التجزئة المتسلسلة بديهية تُعرف باسم التمثيل المُبرر النسبي (PJR). ^{[ 3 ]} وهذا يجعلها واحدة من الطرق القليلة التي تُحقق كلاً من التمثيل المُبرر النسبي والرتابة.

إلا أنه يفشل في تحقيق بديهية أقوى تُعرف باسم التمثيل المبرر الموسع (EJR). ويُقدم هنا مثال على ذلك: ^{[ 3 ]}

يوجد 14 مرشحًا: أ، ب، ج1، ...، ج12. وهناك 12 مقعدًا شاغرًا.
يوجد 24 ناخبًا: ناخبان يوافقان على {أ، ب، ج1}؛ ناخبان يوافقان على {أ، ب، ج2}؛ 6 ناخبين يوافقون على {ج1، ج2، ...، ج12}؛ 5 ناخبين يوافقون على {ج2، ج3، ...، ج12}؛ 9 ناخبين يوافقون على {ج3، ج4، ...، ج12}.
يختار Seq-Phragmen c1,...,c12. إنه ينتهك EJR بالنسبة للناخبين الأربعة الذين يوافقون على {a,b,c1} و {a,b,c2}: هذه المجموعة لديها حصتين وهي متماسكة من الدرجة 2، ولكن لا يوجد عضو لديه فائزان معتمدان.

مثال آخر مذكور هنا (فيما يتعلق بتحديد مواعيد الحفلات): ^{[ 9 ]}

يوجد 3 أحزاب مرشحة و10 مقاعد شاغرة.
يوجد 10 ناخبين، مع مجموعات الموافقة ab,ab,ab؛ ac,ac,ac,ac؛ bc,bc؛ b.
يختار Seq-Phragmen a (في الوقت 1/7)؛ ثم b؛ ثم a،b،a،b،a،b،a،b.
يوافق الناخبون 1 و2 و3 على جميع المرشحين العشرة، بينما يوافق الناخبون من 4 إلى 10 على 5 مرشحين فقط. ومع ذلك، يتفق جميع الناخبين من 4 إلى 9 على الحزب ج، لذا يشترط مبدأ التمثيل المشترك (EJR) أن يوافق واحد منهم على الأقل على 6 مرشحين، وبالتالي يُخالف هذا المبدأ (مع ملاحظة أن مبدأ التمثيل المشترك الجزئي (PJR) لا يُخالف بالنسبة لهذه المجموعة، حيث يوافق عضو واحد على الأقل من المجموعة على جميع المرشحين العشرة).

كما يفشل Seq-Phragmen في تطبيق بديهية مختلفة وغير متوافقة تسمى التمثيل الكامل (PER).

Var-Phragmen يفي بـ PER، لكنه يفشل في PJR و EJR (باستثناء الحالة L=1).

يفي نموذج Leximan-Phragmen بكل من PJR و PER، ولكنه لا يزال يفشل في EJR.

تناسق

لا تستوفي طرق فراغمين معيار الاتساق . علاوة على ذلك، فهي لا تتجاهل أوراق الاقتراع الكاملة: فإضافة الناخبين الذين يصوتون لجميع المرشحين (وبالتالي فهم غير مبالين تمامًا) قد يؤثر على النتيجة. ^{[ 2 ]}^{: أمثلة 15.4، 15.6، 15.8، 15.9}

حالات خاصة

عندما يكون هناك مقعد واحد ( k = 1):

إن طريقة التصويت بالموافقة التي وضعها فراغمين تختزل إلى التصويت بالموافقة - فهي تختار دائماً المرشح الحاصل على أكبر عدد من الموافقات.
إن طريقة التصويت الترتيبي لـ Phragmén تختزل إلى التصويت بالأغلبية البسيطة - فهي تختار دائمًا المرشح الذي حصل على المرتبة الأولى من قبل أكبر عدد من الناخبين.

للمزيد من القراءة

تتوفر المزيد من المعلومات حول أساليب فراغمين في ^{[ 10 ] .}
الخصائص الرياضية لطرق فراغمن مقابل طرق ثيل. ^{[ 11 ]}
طرق إنيستروم وفراغمن. ^{[ 12 ]}

التطبيقات والعروض التوضيحية

تم تطبيق بعض قواعد التصويت الخاصة بـ Phragmén في حزمة بايثون abcvoting .
يمكن تجربة بعض قواعد التصويت الخاصة بـ Phragmén عبر الإنترنت على موقع الويب https://pref.tools/abcvoting/ pref.tools.
يتم استخدام كل من النسختين البسيطة والمعقدة ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]} في البنية الأساسية للعملة المشفرة Polkadot . ^{[ 15 ]}

التعميمات

يقدم موتاميد، سويتمان، ري وإندريس ^{[ 16 ]} آلية موازنة الأحمال المتسلسلة ، التي تعمم قاعدة فراغمن على الميزانية التشاركية مع موارد متعددة.

انظر أيضاً

مبدأ أرخميدس وقصة " وجدتها! " - على غرار فكرة موازنة الأحمال
توسيع نطاق قاعدة الموافقات
طريقة الحصص المتساوية
صوت واحد قابل للتحويل
قواعد التصويت الخاصة بثيل

مراجع

↑ 1. "أوم تناسب فال". (ملخص محاضرة عامة). ستوكهولم داجبلاد، 14 مارس 1893. 2. "Sur une ḿethode nouvelle pour r ́ealiser, dansles ́elections, la rep ́esentationتناسب دي بارتي". ̈Oversigt avKongl. Vetenskaps-Akademiens F̈orhandlingar 1894, N:o 3, Stockholm,133–137. 3. "Proportionella val. دراسة valteknisk." Svenskasp ̈orsm ̊al 25، Lars Ḧokersbergs f̈orlag، Stockholm، 1895. 4. "Sur la th́eorie des ́elections multiples"، ̈Ofversigt avKongl. Vetenskaps-Akademiens F̈orhandlingar 1896, N:o 3, Stockholm,181–191. 5. "حتى fr̊agan om en تناسب valmetod." Statsvetenskaplig Tidskrift2(1899)، رقم 2، 297-305. http://cts.lub.lu.se/ojs/index.php/st/article/view/1949
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 جانسون، سفانتي (2018-10-12). "طرق انتخاب فراغمن وثيل". arXiv : 1611.08826 [ math.HO ].
1 2 3 4 5 6 بريل، ماركوس؛ فريمان، روبرت؛ جانسون، سفانتي؛ لاكنر، مارتن (2023-03-06). " طرق التصويت لفراجمن والتمثيل المبرر" . البرمجة الرياضية . 203 ( 1-2 ): 47-76 . arXiv : 2102.12305 . doi : 10.1007/s10107-023-01926-8 . ISSN 1436-4646 . PMC 10858002. PMID 38344413 .
1 2 مورا، كزافييه؛ أوليفر ، ماريا (28/07/2015). "الانتخابات تساعد على الحصول على الموافقة. طريقة التداول وبعض المتغيرات" . Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques (باللغة الكاتالونية). 30 (1): 57-101 . ISSN 2013-9829 .
↑ لوس، مايك؛ كريستوف، زوي؛ جروسي، دافيد (2022). "تخصيصات الميزانية النسبية: نحو منهجية". arXiv : 2203.12324 [ cs.GT ].
↑ Jaworski, Michal; Skowron, Piotr (2022). "Phragmén Rules for Degressive and Regressive Yearability". arXiv : 2201.04248 [ cs.GT ].
↑ إسرائيل، جوناس؛ بريل، ماركوس (فبراير 2025). "التصنيفات النسبية الديناميكية" . الاختيار الاجتماعي والرفاهية . 64 ( 1-2 ): 221-261 . doi : 10.1007/s00355-023-01498-8 . hdl : 10419/318561 . ISSN 0176-1714 .
↑ تطبيقات الأسئلة والأجوبة مثل slido و mentimeter و pigeonhole live أو speakup .
↑ تشاندك، نيخيل؛ جويل، شاشوات؛ بيترز، دومينيك (2023). "التجميع النسبي للتفضيلات لاتخاذ القرارات المتسلسلة". arXiv : 2306.14858 [ cs.GT ].
↑ بيترز، دومينيك؛ سكاورون، بيوتر (13 يوليو 2020). "التناسب وحدود الرفاهية" . وقائع المؤتمر الحادي والعشرين لجمعية آلات الحوسبة حول الاقتصاد والحوسبة . EC '20. نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: جمعية آلات الحوسبة. الصفحات 793-794 . arXiv : 1911.11747 . doi : 10.1145/3391403.3399465 . ISBN 978-1-4503-7975-5. S2CID 208291203 .
↑ جانسون، سفانتي؛ أوبيرغ، أندرس (2017). "نظام ديناميكي انكماشي جزئي وطرق الانتخاب". arXiv : 1709.06398 [ math.DS ].
↑ كامبس، روزا؛ مورا، خافيير؛ ساوميل، لايا (2019). "طريقة إنيستروم وفراغمين للانتخابات البرلمانية عن طريق التصويت بالموافقة". arXiv : 1907.10590 [ econ.TH ].
↑ "consensus/NPoS at master · w3f/consensus" . GitHub . 17 أكتوبر 2021.
↑ بريل، ماركوس؛ وآخرون (2017). "أساليب التصويت لـ Phragmen والتمثيل المبرر" . aaai.org . وقائع المؤتمر الحادي والثلاثين للجمعية الأمريكية للذكاء الاصطناعي (AAAI-17). مؤرشف من الأصل في 3 نوفمبر 2021.
^ "طريقة Phragmén المتسلسلة · Polkadot Wiki" . wiki.polkadot.network . 30 يونيو 2023.
↑ معتمد، نيما؛ سويتيمان، آري؛ ري، سيمون؛ إندريس، أولي (2022). "الميزانية التشاركية مع موارد متعددة" . في: باوميستر، دوروثيا؛ روث، يورغ (محرران). أنظمة متعددة الوكلاء . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. تشام: دار نشر سبرينغر الدولية. ص 330-347 . doi : 10.1007/978-3-031-20614-6_19 . ISBN 978-3-031-20614-6. S2CID 252357719 .

[1] 1. "أوم تناسب فال". (ملخص محاضرة عامة). ستوكهولم داجبلاد، 14 مارس 1893. 2. "Sur une ḿethode nouvelle pour r ́ealiser, dansles ́elections, la rep ́esentationتناسب دي بارتي". ̈Oversigt avKongl. Vetenskaps-Akademiens F̈orhandlingar 1894, N:o 3, Stockholm,133–137. 3. "Proportionella val. دراسة valteknisk." Svenskasp ̈orsm ̊al 25، Lars Ḧokersbergs f̈orlag، Stockholm، 1895. 4. "Sur la th́eorie des ́elections multiples"، ̈Ofversigt avKongl. Vetenskaps-Akademiens F̈orhandlingar 1896, N:o 3, Stockholm,181–191. 5. "حتى fr̊agan om en تناسب valmetod." Statsvetenskaplig Tidskrift2(1899)، رقم 2، 297-305. http://cts.lub.lu.se/ojs/index.php/st/article/view/1949

[:0-2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 جانسون، سفانتي (2018-10-12). "طرق انتخاب فراغمن وثيل". arXiv : 1611.08826 [ math.HO ].

[:2-3] 1 2 3 4 5 6 بريل، ماركوس؛ فريمان، روبرت؛ جانسون، سفانتي؛ لاكنر، مارتن (2023-03-06). " طرق التصويت لفراجمن والتمثيل المبرر" . البرمجة الرياضية . 203 ( 1-2 ): 47-76 . arXiv : 2102.12305 . doi : 10.1007/s10107-023-01926-8 . ISSN 1436-4646 . PMC 10858002. PMID 38344413 .

[:1-4] 1 2 مورا، كزافييه؛ أوليفر ، ماريا (28/07/2015). "الانتخابات تساعد على الحصول على الموافقة. طريقة التداول وبعض المتغيرات" . Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques (باللغة الكاتالونية). 30 (1): 57-101 . ISSN 2013-9829 .

[:8-5] لوس، مايك؛ كريستوف، زوي؛ جروسي، دافيد (2022). "تخصيصات الميزانية النسبية: نحو منهجية". arXiv : 2203.12324 [ cs.GT ].

[6] Jaworski, Michal; Skowron, Piotr (2022). "Phragmén Rules for Degressive and Regressive Yearability". arXiv : 2201.04248 [ cs.GT ].

[7] إسرائيل، جوناس؛ بريل، ماركوس (فبراير 2025). "التصنيفات النسبية الديناميكية" . الاختيار الاجتماعي والرفاهية . 64 ( 1-2 ): 221-261 . doi : 10.1007/s00355-023-01498-8 . hdl : 10419/318561 . ISSN 0176-1714 .

[8] تطبيقات الأسئلة والأجوبة مثل slido و mentimeter و pigeonhole live أو speakup .

[:7-9] تشاندك، نيخيل؛ جويل، شاشوات؛ بيترز، دومينيك (2023). "التجميع النسبي للتفضيلات لاتخاذ القرارات المتسلسلة". arXiv : 2306.14858 [ cs.GT ].

[10] بيترز، دومينيك؛ سكاورون، بيوتر (13 يوليو 2020). "التناسب وحدود الرفاهية" . وقائع المؤتمر الحادي والعشرين لجمعية آلات الحوسبة حول الاقتصاد والحوسبة . EC '20. نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: جمعية آلات الحوسبة. الصفحات 793-794 . arXiv : 1911.11747 . doi : 10.1145/3391403.3399465 . ISBN 978-1-4503-7975-5. S2CID 208291203 .

[11] جانسون، سفانتي؛ أوبيرغ، أندرس (2017). "نظام ديناميكي انكماشي جزئي وطرق الانتخاب". arXiv : 1709.06398 [ math.DS ].

[12] كامبس، روزا؛ مورا، خافيير؛ ساوميل، لايا (2019). "طريقة إنيستروم وفراغمين للانتخابات البرلمانية عن طريق التصويت بالموافقة". arXiv : 1907.10590 [ econ.TH ].

[13] "consensus/NPoS at master · w3f/consensus" . GitHub . 17 أكتوبر 2021.

[14] بريل، ماركوس؛ وآخرون (2017). "أساليب التصويت لـ Phragmen والتمثيل المبرر" . aaai.org . وقائع المؤتمر الحادي والثلاثين للجمعية الأمريكية للذكاء الاصطناعي (AAAI-17). مؤرشف من الأصل في 3 نوفمبر 2021.

[15] "طريقة Phragmén المتسلسلة · Polkadot Wiki" . wiki.polkadot.network . 30 يونيو 2023.

[16] معتمد، نيما؛ سويتيمان، آري؛ ري، سيمون؛ إندريس، أولي (2022). "الميزانية التشاركية مع موارد متعددة" . في: باوميستر، دوروثيا؛ روث، يورغ (محرران). أنظمة متعددة الوكلاء . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. تشام: دار نشر سبرينغر الدولية. ص 330-347 . doi : 10.1007/978-3-031-20614-6_19 . ISBN 978-3-031-20614-6. S2CID 252357719 .

[ 1 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]،

[ 10 ] .

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗