نظرية بيكارد

في التحليل المركب ، تُعتبر نظرية بيكارد الكبرى ونظرية بيكارد الصغرى نظريتين مرتبطتين حول مدى الدالة التحليلية . وقد سُميتا نسبةً إلى إميل بيكارد .

النظريات

نظرية بيكارد الصغرى: إذا كانت الدالة ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ إذا كانت المجموعة كاملة وغير ثابتة، فإن مجموعة القيم التي ${\textstyle f(z)}$ يفترض أن يكون إما المستوى المركب بأكمله أو المستوى ناقص نقطة واحدة.

ملخص البرهان: استند برهان بيكارد الأصلي إلى خصائص دالة لامدا المعيارية ، والتي يُرمز إليها عادةً بـ ${\textstyle \lambda }$ وهي التي تؤدي، باستخدام المصطلحات الحديثة، التغطية الشاملة الهولومورفية للمستوى المثقوب مرتين بواسطة قرص الوحدة. يتم بناء هذه الدالة بشكل صريح في نظرية الدوال الإهليلجية . إذا ${\textstyle f}$ يحذف قيمتين، ثم يرفع ${\textstyle f}$ على طول خريطة التغطية الشاملة، يتم إرسال المستوى إلى قرص الوحدة عبر دالة هولومورفية، مما يعني أن ${\textstyle f}$ ثابت وفقًا لنظرية ليوفيل.

تُعدّ هذه النظرية تعزيزًا هامًا لنظرية ليوفيل التي تنص على أن صورة دالة كاملة غير ثابتة يجب أن تكون غير محدودة . وقد تم التوصل لاحقًا إلى العديد من البراهين المختلفة لنظرية بيكارد، وتُعتبر نظرية شوتكي صيغة كمية لها. في حالة قيم ${\textstyle f}$ إذا كانت الدالة تفتقر إلى نقطة واحدة، فإن هذه النقطة تسمى قيمة قاصرة للدالة.

نظرية بيكارد العظيمة: إذا كانت الدالة التحليلية ${\textstyle f}$ توجد نقطة تفرد أساسية عند نقطة ما ${\textstyle w}$ ثم على أي حي مثقوب من ${\textstyle w,f(z)}$ يأخذ جميع القيم المعقدة الممكنة، باستثناء واحد على الأكثر، في كثير من الأحيان إلى ما لا نهاية.

يمثل هذا تعزيزًا كبيرًا لنظرية كاسوراتي-ويرستراس ، التي تضمن فقط أن نطاق ${\textstyle f}$ تكون كثيفة في المستوى المركب. ومن نتائج نظرية بيكارد الكبرى أن أي دالة كاملة غير متعددة الحدود تحقق جميع القيم المركبة الممكنة عددًا لا نهائيًا من المرات، باستثناء حالة واحدة على الأكثر.

إن "الاستثناء الوحيد" ضروري في كلتا النظريتين، كما هو موضح هنا:

e ^z هي دالة كاملة غير ثابتة لا تساوي صفرًا أبدًا،
${\textstyle e^{\frac {1}{z}}}$ لها نقطة تفرد أساسية عند الصفر، لكنها لا تصل أبدًا إلى الصفر كقيمة.

دليل

نظرية ليتل بيكارد

يفترض ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ هي دالة كاملة تحذف قيمتين ${\textstyle z_{0}}$ و ${\textstyle z_{1}}$ . ثم ${\textstyle {\frac {f(z)-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}}}$ وهي كاملة أيضاً، ويمكننا أن نفترض دون فقدان للعمومية أن ${\textstyle z_{0}=0}$ و ${\textstyle z_{1}=1}$ .

لأن ${\textstyle \mathbb {C} }$ يتم توصيلها ببساطة ومدى ${\textstyle f}$ يحذف ${\textstyle 0}$ ، للدالة f لوغاريتم تام الشكل . ليكن ${\textstyle g}$ لتكن دالة كاملة بحيث ${\textstyle f(z)=e^{2\pi ig(z)}}$ ثم نطاق ${\textstyle g}$ يتجاهل جميع الأعداد الصحيحة. وبحجة مماثلة باستخدام الصيغة التربيعية ، توجد دالة كاملة ${\textstyle h}$ بحيث ${\textstyle g(z)=\cos(h(z))}$ ثم نطاق ${\textstyle h}$ يتجاهل جميع الأعداد المركبة من الشكل ${\textstyle 2\pi n\pm i\cosh ^{-1}(m)}$ ، أين ${\textstyle n}$ هو عدد صحيح و ${\textstyle m}$ هو عدد صحيح غير سالب.

بحسب نظرية لانداو ، إذا ${\textstyle h'(w)\neq 0}$ ثم للجميع $R>0$ نطاق ${\textstyle h}$ يحتوي على قرص نصف قطره ${\textstyle |h'(w)|R/72}$ لكن من الأعلى، أي قرص كبير بما فيه الكفاية يحتوي على رقم واحد على الأقل لا يشمله نطاق h . لذلك ${\textstyle h'(w)=0}$ للجميع ${\textstyle w}$ بحسب النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل ، ${\textstyle h}$ ثابت، لذا ${\textstyle f}$ ثابت.

نظرية بيكارد العظيمة

برهان نظرية بيكارد الكبرى

لنفترض أن f دالة تحليلية على القرص المثقوب ذي نصف القطر r حول النقطة w ، وأن f تتجاهل قيمتين z₀ و z₁ _. وباعتبار ( f ( p + rz ) - z₀ )/( z₁ - z₀ ₎_، يمكننا أن نفترض دون فقدان للعمومية أن z₀ = ₀ ، _وz₁ = 1، _و_w= 0، و r = 1.

الدالة F ( z ) = f ( e ^{− z} ) تحليلية في النصف الأيمن من المستوى المركب Re( z ) > 0. ولأن النصف الأيمن من المستوى المركب بسيط الاتصال، كما هو الحال في برهان نظرية بيكارد الصغرى، توجد دالتان تحليليتان G و H معرفتان على النصف الأيمن من المستوى المركب بحيث F ( z ) = e² ^{/2π iG ( z )} و G ( z ) = cos( H ( z )). لأي قيمة w في النصف الأيمن من المستوى المركب، فإن القرص المفتوح الذي نصف قطره Re( w ) حول w يقع ضمن نطاق الدالة H. وبحسب نظرية لانداو والملاحظة المتعلقة بمدى H في برهان نظرية بيكارد الصغرى، يوجد ثابت C > 0 بحيث | H ′( w )| ≤ C /Re( w ). وبالتالي، لجميع الأعداد الحقيقية x ≥ 2 و0 ≤ y ≤ 2π،

|H(x+iy)|=\left|H(2+iy)+\int _{2}^{x}H'(t+iy)\,\mathrm {d} t\right|\leq |H(2+iy)|+\int _{2}^{x}{\frac {C}{t}}\,\mathrm {d} t\leq A\log x,

حيث A > 0 ثابت. لذا | G ( x + iy )| ≤ x ^A .

بعد ذلك، نلاحظ أن F ( z + 2πi ) = F ( z ) في النصف الأيمن من المستوى المركب، مما يعني أن G ( z + 2πi ) - G ( z ) عدد صحيح دائمًا. ولأن G دالة متصلة ومجالها متصل ، فإن الفرق G ( z + 2πi ) - G ( z ) = k ثابت. بعبارة أخرى، الدالة G ( z ) - kz /( 2πi ) دورتها 2πi . بالتالي ^، توجد دالة تحليلية g معرفة في القرص المثقوب بنصف قطر ^e⁻²حول الصفر بحيث G ( z ) - kz /(2πi ) = g ( e⁻z ⁾ .

باستخدام الحد المذكور أعلاه على G ، لجميع الأعداد الحقيقية x ≥ 2 و 0 ≤ y ≤ 2π،

\displaystyle \left|G(x+iy)-{\frac {k(x+iy)}{2\pi i}}\right|\leq x^{A}+{\frac {|k|}{2\pi }}(x+2\pi )\leq C'x^{A'}}

يتحقق هذا الشرط، حيث A ′ > A و C ′ > 0 ثابتان. وبسبب الدورية، فإن هذا الحد ينطبق فعليًا على جميع قيم y . وبالتالي، لدينا حد | g ( z )| ≤ C ′(−log| z |) ^{A ′} لـ 0 < | z | < e ⁻² . وبحسب نظرية ريمان حول النقاط الشاذة القابلة للإزالة ، فإن g تمتد لتصبح دالة تحليلية في القرص المفتوح ذي نصف القطر e ⁻² حول الصفر.

وبالتالي، فإن الدالة G ( z ) - kz / (2πi ) محدودة على نصف المستوى Re( z ) ≥ 3. لذا، فإن الدالة F ( z ) e ^{- kz} محدودة على نصف المستوى Re( z ) ≥ 3، والدالة f ( z ) z ^k محدودة في القرص المثقوب ذي نصف القطر e ^{- 3} حول الصفر. وبحسب نظرية ريمان حول النقاط الشاذة القابلة للإزالة، فإن الدالة f ( z ) z ^k تمتد لتصبح دالة تحليلية في القرص المفتوح ذي نصف القطر e ^- 3 حول الصفر. لذلك، لا تمتلك الدالة f نقطة شاذة أساسية عند الصفر.

لذا، إذا كانت للدالة f نقطة تفرد أساسية عند الصفر، فإن مدى f في أي قرص مفتوح حول الصفر يستبعد قيمة واحدة على الأكثر. وإذا كانت f تأخذ قيمة ما عددًا محدودًا من المرات، فإنها في قرص مفتوح صغير بما فيه الكفاية حول الصفر، تستبعد تلك القيمة. وبالتالي ، تأخذ f ( z ) جميع القيم المركبة الممكنة، باستثناء قيمة واحدة على الأكثر، عددًا لا نهائيًا من المرات.

التعميم والبحوث الحالية

تُعتبر نظرية بيكارد العظيمة صحيحة في شكل أكثر عمومية قليلاً ينطبق أيضاً على الدوال الميرومورفية :

نظرية بيكارد العظيمة (النسخة الميرومورفية): إذا كان M سطح ريمان ، و w نقطة على M ، و P ¹ ( C ) = C ∪ {∞} تشير إلى كرة ريمان ، و f : M \{ w } → P ¹ ( C ) دالة هولومورفية ذات تفرد أساسي عند w ، فإن الدالة f ( z ) على أي مجموعة فرعية مفتوحة من M تحتوي على w ، تصل إلى جميع نقاط P ¹ ( C ) باستثناء نقطتين على الأكثر عددًا لا نهائيًا من المرات.

مثال: الدالة f ( z ) = 1/(1 − e ^1/^z ) دالة ميرومورفية على المستوى المركب C* = C - {0}، وهو المستوى المركب بعد حذف نقطة الأصل. لها نقطة تفرد أساسية عند z = 0، وتصل إلى القيمة ∞ عددًا لا نهائيًا من المرات في أي جوار للصفر؛ إلا أنها لا تصل إلى القيمتين 0 أو 1.

بهذا التعميم، تُستنتج نظرية بيكارد الصغرى من نظرية بيكارد الكبرى، لأن الدالة الكاملة إما أن تكون متعددة الحدود أو أن لها نقطة تفرد أساسية عند اللانهاية. وكما هو الحال في النظرية الصغرى، فإن النقطتين (على الأكثر) اللتين لا يتم بلوغهما تُعتبران قيمًا ناقصة للدالة.

التخمين التالي مرتبط بـ "نظرية بيكارد العظيمة": ^{[ 1 ]}

تخمين: لتكن { U1 _, ..., Un _} مجموعة من المجموعات الفرعية المفتوحة المتصلة من C التي تغطي قرص الوحدة المثقوب D \ {0}. لنفترض أنه على كل Uj توجد دالة تامة الشكل fj _، بحيث يكون dfj ₌ dfk عند كل تقاطع Uj ∩ Uk _{. عندئذٍ}_، تلتصق التفاضلات معًا لتكوين شكل ميرومورفي _من_الدرجة الأولى على D.

من الواضح أن التفاضلات تلتصق ببعضها لتشكل شكلاً تفاضلياً تاماً من الدرجة الأولى g d z على D \ {0}. في الحالة الخاصة التي يكون فيها باقي g عند 0 يساوي صفرًا ، فإن التخمين يتبع من "نظرية بيكارد الكبرى".

ملحوظات

^ إلسنر، ب. (1999). "تكامل العمل الزائدي" (PDF) . حوليات معهد فورييه . 49 (1): 303-331 . دوى : 10.5802/aif.1675 .

مراجع

كونواي، جون ب. (1978). دوال المتغير المركب الواحد 1 ( الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 0-387-90328-3.
شورمان، جيري. "ملخص لنظرية بيكارد" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-05-2010 .

[1] إلسنر، ب. (1999). "تكامل العمل الزائدي" (PDF) . حوليات معهد فورييه . 49 (1): 303-331 . دوى : 10.5802/aif.1675 .

[ 1 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗