نظرية بوانكاريه-هوبف

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية بوانكاريه-هوبف (المعروفة أيضًا باسم صيغة مؤشر بوانكاريه-هوبف ، أو نظرية مؤشر بوانكاريه-هوبف ، أو نظرية مؤشر هوبف ) نظريةً مهمةً تُستخدم في الطوبولوجيا التفاضلية . وقد سُمّيت نسبةً إلى هنري بوانكاريه وهاينز هوبف .

غالبًا ما يتم توضيح نظرية بوانكاريه -هوبف من خلال الحالة الخاصة لنظرية الكرة المشعرة ، والتي تنص ببساطة على أنه لا يوجد حقل متجه أملس على كرة ذات أبعاد زوجية n بدون مصادر أو مصارف.

يترك${\displaystyle M}$ليكن متعدد الشعب قابلاً للتفاضل، ذو بُعد${\displaystyle n}$، و${\displaystyle v}$حقل متجه على${\displaystyle M}$لنفترض أن${\displaystyle x}$هو صفر معزول من${\displaystyle v}$وحدد بعض الإحداثيات المحلية بالقرب من${\displaystyle x}$اختر كرة مغلقة${\displaystyle D}$مركزها في${\displaystyle x}$، لهذا السبب${\displaystyle x}$هو الصفر الوحيد من${\displaystyle v}$في${\displaystyle D}$ثم فهرس​${\displaystyle v}$في${\displaystyle x}$،${\displaystyle \operatorname {index} _{x}(v)}$يمكن تعريفها بأنها درجة الخريطة${\displaystyle u:\partial D\to \mathbb {S} ^{n-1}}$من حدود​${\displaystyle D}$إلى${\displaystyle (n-1)}$الكرة المعطاة بواسطة ${\displaystyle u(z)=v(z)/\|v(z)\|}$.

نظرية. ليكن${\displaystyle M}$ليكن فضاءً متراصاً قابلاً للتفاضل .${\displaystyle v}$ليكن حقل متجه على${\displaystyle M}$مع أصفار معزولة. إذا${\displaystyle M}$إذا كان له حدود ، فإننا نصر على ذلك.${\displaystyle v}$بحيث تشير إلى الاتجاه العمودي الخارجي على طول الحد. عندئذٍ لدينا الصيغة

${\displaystyle \sum _{i}\operatorname {index} _{x_{i}}(v)=\chi (M)\,}$

حيث يكون مجموع المؤشرات على جميع الأصفار المعزولة لـ${\displaystyle v}$و${\displaystyle \chi (M)}$هي خاصية أويلر لـ${\displaystyle M}$ومن النتائج المفيدة بشكل خاص وجود حقل متجه غير صفري مما يعني أن خاصية أويلر تساوي صفرًا.

تم إثبات النظرية في بعدين بواسطة هنري بوانكاريه ^{[ 1 ]} وتم تعميمها لاحقًا إلى أبعاد أعلى بواسطة هاينز هوبف . ^{[ 2 ]}

إن خاصية أويلر للسطح المغلق مفهوم طوبولوجي بحت ، بينما يُعدّ دليل حقل المتجهات مفهومًا تحليليًا بحتًا . وبذلك، تُرسّخ هذه النظرية صلة وثيقة بين مجالين رياضيين يبدوان غير مترابطين. ولعلّ من المثير للاهتمام أيضًا أن برهان هذه النظرية يعتمد اعتمادًا كبيرًا على التكامل ، وتحديدًا على نظرية ستوكس ، التي تنص على أن تكامل المشتقة الخارجية لصيغة تفاضلية يساوي تكامل تلك الصيغة على الحدود. في حالة خاصة، وهي حالة متعددة الشعب بلا حدود، يعني هذا أن التكامل يساوي صفرًا. ولكن بفحص حقول المتجهات في جوار صغير بما فيه الكفاية لمصدر أو مصب، نرى أن المصادر والمصبات تُسهم بمقادير صحيحة (تُعرف بالمؤشر) في المجموع الكلي، ويجب أن يكون مجموعها جميعًا صفرًا. يمكن اعتبار هذه النتيجة من أوائل سلسلة من النظريات (مثل نظرية مؤشر أتياس-سينجر ، ونظرية دي رام ، ونظرية غروتينديك-ريمان-روخ ) التي تُرسّخ علاقات عميقة بين المفاهيم الهندسية والتحليلية أو الفيزيائية . وتلعب هذه النظريات دورًا هامًا في الدراسة الحديثة لكلا المجالين.

1. قم بتضمين M في فضاء إقليدي عالي الأبعاد. (استخدم نظرية ويتني للتضمين .)
2. اختر جوارًا صغيرًا للنقطة M في الفضاء الإقليدي، N _ε . مدّد حقل المتجهات إلى هذا الجوار بحيث يحتفظ بنفس الأصفار وبنفس المؤشرات. بالإضافة إلى ذلك، تأكد من أن حقل المتجهات الممتد عند حدود N _ε موجه نحو الخارج.
3. مجموع مؤشرات أصفار حقل المتجهات القديم (والجديد) يساوي درجة دالة غاوس من حدود N _ε إلى الكرة ذات البعد ( n – 1) . وبالتالي، فإن مجموع المؤشرات مستقل عن حقل المتجهات الفعلي، ويعتمد فقط على المتشعب M.
   الأسلوب: استبعاد جميع أصفار حقل المتجهات ذي الجوارات الصغيرة. ثم استخدام حقيقة أن درجة التطبيق من حدود مشعب ذي n بُعد إلى كرة ذات ( n -1) بُعد ، والتي يمكن تمديدها إلى المشعب ذي n بُعد بأكمله، تساوي صفرًا.
4. وأخيرًا، حدد مجموع هذه المؤشرات على أنه خاصية أويلر لـ M. وللقيام بذلك، قم بإنشاء حقل متجه محدد للغاية على M باستخدام تثليث M الذي من الواضح أن مجموع مؤشراته يساوي خاصية أويلر.

لا يزال من الممكن تعريف مؤشر لحقل متجهي ذي أصفار غير معزولة. وقد تم توضيح بناء هذا المؤشر وتوسيع نظرية بوانكاريه-هوبف للحقول المتجهة ذات الأصفار غير المعزولة في القسم 1.1.2 من ( براسيليه، سياد، وسوا 2009 ) .

هناك تعميم آخر يستخدم فقط الفضاءات المثلثية المدمجة والتطبيقات المستمرة ذات عدد محدود من النقاط الثابتة، وهو نظرية ليفشيتز-هوبف . بما أن كل حقل متجهي يُحدث تدفقًا على المشعبات، والنقاط الثابتة للتدفقات الصغيرة تُقابل أصفار الحقول المتجهة (وتتساوى مؤشرات الأصفار مع مؤشرات النقاط الثابتة)، فإن نظرية بوانكاريه-هوبف تُستنتج مباشرة من ذلك.

• صيغة التوقيع الخاصة بـ إيزنبود-ليفين-خيمشيشفيلي
• نظرية هوبف

• "نظرية بوانكاريه-هوبف" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• براسليت، جان بول؛ سيادي، خوسيه. سوا، تاتسو (2009). حقول المتجهات على أصناف مفردة . هايدلبرغ: سبرينغر. رقم ISBN 978-3-642-05205-7.