نظرية الكرة المشعرة

تنص نظرية الكرة المشعرة في الطوبولوجيا الجبرية (رسميًا، نظرية حقل متجه الكرة ، والتي تُسمى أحيانًا نظرية القنفذ ) ^{[ 1 ]} على أنه لا يوجد حقل متجه مماس مستمر غير معدوم على الكرات ذات الأبعاد الزوجية من الرتبة n . ^{[ 2 ] [ 3 ]} بالنسبة للكرة العادية، أو الكرة ثنائية الأبعاد ، إذا كانت f دالة مستمرة تُسند متجهًا في ℝ³ إلى كل نقطة ^p على الكرة بحيث يكون f ( p ) مماسًا للكرة دائمًا عند p ، فإنه يوجد على الأقل قطب واحد، وهو نقطة ينعدم عندها الحقل (نقطة p بحيث يكون f ( p ) = 0 ) .

تم إثبات النظرية لأول مرة بواسطة هنري بوانكاريه للكرة ثنائية الأبعاد في عام 1885، ^{[ 4 ]} وتم توسيعها إلى أبعاد زوجية أعلى في عام 1912 بواسطة لويتزن إيغبرتوس جان بروير . ^{[ 5 ]}

وقد تم التعبير عن هذه النظرية بشكل عامي على النحو التالي: "لا يمكنك تمشيط كرة شعرية مسطحة دون أن تُحدث دوامة شعر " أو "لا يمكنك تمشيط شعر جوز الهند". ^{[ 6 ]}

لكل جذر في حقل متجهي " مؤشر " (غير صفري)، ويمكن إثبات أن مجموع جميع المؤشرات عند جميع الأصفار يجب أن يكون اثنين، لأن خاصية أويلر للكرة ثنائية الأبعاد تساوي اثنين. لذلك، لا بد من وجود جذر واحد على الأقل. هذه نتيجة لنظرية بوانكاريه-هوبف . في حالة الطارة ، تكون خاصية أويلر صفرًا؛ ومن الممكن "تمشيط شكل كعكة مسطحة". في هذا السياق، يترتب على ذلك أنه لأي مشعب ثنائي الأبعاد منتظم مضغوط ذي خاصية أويلر غير صفرية، فإن أي حقل متجهي مماس متصل له جذر واحد على الأقل.

من المشاكل الشائعة في رسومات الحاسوب توليد متجه غير صفري في الفضاء ثلاثي الأبعاد (ℝ³ ⁾ يكون متعامدًا مع متجه غير صفري مُعطى. لا توجد دالة متصلة واحدة قادرة على تحقيق ذلك لجميع المتجهات غير الصفرية المُدخلة. هذه نتيجة منطقية لنظرية الكرة المشعرة. لتوضيح ذلك، تخيل المتجه المُعطى كنصف قطر كرة، ولاحظ أن إيجاد متجه غير صفري متعامد معه يُكافئ إيجاد متجه غير صفري مماس لسطح تلك الكرة عند نقطة تلامسه مع نصف القطر. مع ذلك، تنص نظرية الكرة المشعرة على أنه لا توجد دالة متصلة قادرة على تحقيق ذلك لكل نقطة على الكرة (أو بعبارة أخرى، لكل متجه مُعطى).

هناك حجة وثيقة الصلة من الطوبولوجيا الجبرية ، باستخدام نظرية ليفشيتز للنقطة الثابتة . بما أن أعداد بيتي للكرة ثنائية الأبعاد هي 1، 0، 1، 0، 0، ... فإن عدد ليفشيتز (الأثر الكلي على التماثل ) لتطبيق التطابق هو 2. بتكامل حقل متجهي ، نحصل (على الأقل جزء صغير من) مجموعة ذات وسيط واحد من التشاكلات التفاضلية على الكرة؛ وجميع التطبيقات فيها متماثلة مع تطبيق التطابق. لذلك، فإن جميعها لها عدد ليفشيتز 2 أيضًا. ومن ثم، لها نقاط ثابتة (لأن عدد ليفشيتز غير صفري). يلزم مزيد من العمل لإثبات أن هذا يستلزم وجود صفر فعلي للحقل المتجهي. وهو ما يشير إلى صحة صياغة نظرية مؤشر بوانكاريه-هوبف الأكثر عمومية .

من نتائج نظرية الكرة المشعرة أن أي دالة متصلة تُسقط كرة ذات أبعاد زوجية على نفسها إما أن يكون لها نقطة ثابتة أو نقطة تُسقط على نقطتها المقابلة . ويمكن إثبات ذلك بتحويل الدالة إلى حقل متجه مماس كما يلي.

لنفترض أن s هي الدالة التي تُسقط الكرة على نفسها، ولنفترض أن v هي دالة المتجه المماسي المطلوب إنشاؤها. لكل نقطة p ، أنشئ الإسقاط المجسم لـ s ( p ) بحيث تكون p هي نقطة التماس. عندئذٍ، يكون v ( p ) هو متجه إزاحة هذه النقطة المسقطة بالنسبة إلى p . وفقًا لنظرية الكرة المشعرة، توجد نقطة p بحيث يكون v ( p ) = 0 ، وبالتالي s ( p ) = p .

لا ينهار هذا الاستدلال إلا إذا كانت هناك نقطة p التي تكون عندها s ( p ) هي النقطة المقابلة لـ p ، لأن هذه النقطة هي الوحيدة التي لا يمكن إسقاطها بشكل مجسم على المستوى المماس لـ p .

ومن النتائج المترتبة على ذلك أن أي فضاء إسقاطي زوجي الأبعاد يتمتع بخاصية النقطة الثابتة . وينتج هذا من النتيجة السابقة برفع الدوال المتصلة لـ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2n}}$إلى وظائفها الخاصة${\displaystyle S^{2n}}$إلى ذاتها.

يشير الارتباط بخاصية أويلر χ إلى التعميم الصحيح: لا يوجد حقل متجه غير صفري في الكرة ذات البعد 2n عندما يكون n ≥ 1. ويكمن الفرق بين الأبعاد الزوجية والفردية في أنه نظرًا لأن أعداد بيتي غير الصفرية الوحيدة في الكرة ذات البعد m هي b₀ _و bₘ _، فإن مجموعها المتناوب χ يساوي 2 عندما يكون m زوجيًا، و0 عندما يكون m فرديًا.

في الواقع، من السهل ملاحظة أن الكرة ذات الأبعاد الفردية تقبل حقل متجه مماس غير صفري من خلال عملية بسيطة تتمثل في النظر في إحداثيات الفضاء الإقليدي المحيط ذي الأبعاد الزوجية${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$في أزواج. أي، يمكن تعريف حقل متجه مماس لـ${\displaystyle S^{2n-1}}$عن طريق تحديد حقل متجه${\displaystyle v:\mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ^{2n}}$مقدم من

${\displaystyle v(x_{1},\dots ,x_{2n})=(x_{2},-x_{1},\dots ,x_{2n},-x_{2n-1}).}$

لكي يقتصر هذا الحقل المتجهي على حقل متجهي مماس للكرة الوحدة${\displaystyle S^{2n-1}\subset \mathbb {R} ^{2n}}$يكفي التحقق من أن حاصل الضرب النقطي مع متجه وحدة من الشكل${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{2n})}$مُرضٍ${\displaystyle \|x\|=1}$يختفي. وبسبب اقتران الإحداثيات، يرى المرء

${\displaystyle v(x_{1},\dots ,x_{2n})\bullet (x_{1},\dots ,x_{2n})=(x_{2}x_{1}-x_{1}x_{2})+\cdots +(x_{2n}x_{2n-1}-x_{2n-1}x_{2n})=0.}$

بالنسبة للكرة ذات البعد 2n ، فإن الفضاء الإقليدي المحيط هو${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}$وهو مجال ذو أبعاد فردية، ولذا فإن عملية إقران الإحداثيات البسيطة هذه غير ممكنة. مع أن هذا لا ينفي إمكانية وجود حقل متجه مماس للكرة ذات الأبعاد الزوجية لا يتلاشى، إلا أن نظرية الكرة المشعرة تُثبت أنه في الواقع لا توجد طريقة لإنشاء مثل هذا الحقل المتجه.

تُقدّم نظرية الكرة المشعرة أمثلة فيزيائية عديدة. فعلى سبيل المثال، يُؤدي دوران كرة صلبة حول محورها الثابت إلى ظهور حقل متجهي مماسّي متصل لسرعات النقاط الواقعة على سطحها. يحتوي هذا الحقل على نقطتين عديمتي السرعة، تختفيان بعد حفر الكرة بالكامل عبر مركزها، مما يُحوّل الكرة إلى ما يُعادل طوبولوجيًا سطحًا حلقيًا، وهو جسم لا تنطبق عليه نظرية الكرة المشعرة. ^{[ 7 ]} يُمكن تطبيق نظرية الكرة المشعرة بنجاح لتحليل انتشار الموجات الكهرومغناطيسية ، في حالة كون جبهة الموجة تُشكّل سطحًا مُكافئًا طوبولوجيًا للكرة (السطح الذي يمتلك خاصية أويلر χ = 2). ستظهر بالضرورة نقطة واحدة على الأقل على السطح تكون عندها متجهات المجالين الكهربائي والمغناطيسي مساوية للصفر. ^{[ ٨ ]} في بعض الكرات ثنائية الأبعاد من فضاء المعلمات للموجات الكهرومغناطيسية في البلازما (أو غيرها من الأوساط المعقدة)، تظهر أيضًا هذه الأنواع من "الخصلات" أو "النقاط الصلعاء"، مما يشير إلى وجود إثارة طوبولوجية، أي موجات قوية محصنة ضد التشتت والانعكاس، في الأنظمة. ^{[ ٩ ]} إذا افترضنا أن الرياح في الغلاف الجوي للأرض حقل متجه مماس، فإن نظرية الكرة المشعرة تعني أنه مع وجود أي رياح على سطح الأرض، لا بد من وجود إعصار في مكان ما في كل الأوقات. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن الرياح يمكن أن تتحرك عموديًا في الغلاف الجوي، لذا فإن الحالة المثالية غير سليمة من الناحية الأرصادية . ( الحقيقة هي أنه لكل "غلاف" من الغلاف الجوي المحيط بالأرض، لا بد من وجود نقطة على هذا الغلاف لا تتحرك فيها الرياح أفقيًا). وللنظرية أيضًا آثار في النمذجة الحاسوبية (بما في ذلك تصميم ألعاب الفيديو )، حيث تتمثل إحدى المشكلات الشائعة في حساب متجه ثلاثي الأبعاد غير صفري متعامد (أي عمودي) على متجه مُعطى؛ وتشير نظرية الكرة المشعرة إلى أنه لا توجد دالة متصلة واحدة تُنجز هذه المهمة. ^{[ 10 ]}

• نظرية النقطة الثابتة
• نظرية القيمة المتوسطة
• حقول متجهة على الكرات

• أيزنبرغ، موراي؛ غاي، روبرت (1979)، "برهان على نظرية الكرة المشعرة"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 86 (7): 571-574 ، doi : 10.2307/2320587 ، JSTOR 2320587 

• جارفيس، تايلر؛ تانتون، جيمس (2004)، "نظرية الكرة المشعرة عبر ليمّة سبيرنر"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 111 (7): 599-603 ، doi : 10.1080/00029890.2004.11920120 ، JSTOR 4145162 ، S2CID 29784803  
• ريتشسون، ديفيد س. (2008)، "تمشيط شعر جوز الهند"، جوهرة أويلر: صيغة متعدد السطوح وولادة علم الطوبولوجيا ، مطبعة جامعة برينستون، ص 202-218 ، ISBN  978-0-691-12677-7

• وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية الكرة المشعرة" . عالم الرياضيات .