برايم رينج

في الجبر المجرد ، تُعتبر الحلقة غير الصفرية R حلقة أولية إذا كان لأي عنصرين a و b من R ، فإن arb = 0 لجميع r في R يعني أن a = 0 أو b = 0. يمكن اعتبار هذا التعريف تعميمًا متزامنًا لكل من المجالات التكاملية والحلقات البسيطة .

على الرغم من أن هذه المقالة تناقش التعريف المذكور أعلاه، إلا أن مصطلح "الحلقة الأولية" قد يشير أيضًا إلى أصغر حلقة فرعية غير صفرية لحقل ما ، والتي تتولد بواسطة عنصرها المحايد 1، وتُحدد بواسطة خاصيتها . بالنسبة لحقل ذي خاصية 0، فإن الحلقة الأولية هي مجموعة الأعداد الصحيحة ، وبالنسبة لحقل ذي خاصية p (حيث p عدد أولي )، فإن الحلقة الأولية هي الحقل المنتهي من الرتبة p (انظر: الحقل الأولي ). ^{[ 1 ]}

تكون الحلقة R أولية إذا وفقط إذا كان المثالي الصفري {0} مثاليًا أوليًا بالمعنى غير التبادلي .

وبناءً على ذلك، فإن الشروط المكافئة للمثاليات الأولية تؤدي إلى الشروط المكافئة التالية لكي تكون R حلقة أولية:

• لأي مثاليين A و B من R ، فإن AB = {0} يعني A = {0} أو B = {0}.
• لأي مثاليين يمينيين A و B من R ، فإن AB = {0} يعني A = {0} أو B = {0}.
• لأي مثاليين يساريين A و B من R ، فإن AB = {0} يعني A = {0} أو B = {0}.

باستخدام هذه الشروط، يمكن التحقق من أن ما يلي يكافئ كون R حلقة أولية:

• جميع المُثُل اليمينية غير الصفرية تكون أمينة مثل وحدات R اليمينية .
• جميع المُثُل اليسارية غير الصفرية تكون أمينة كوحدات R اليسارية .

• أي نطاق هو حلقة أولية.
• أي حلقة بسيطة هي حلقة أولية، وبشكل أعم: كل حلقة أولية يسارية أو يمينية هي حلقة أولية.
• أي حلقة مصفوفات على مجال تكاملي هي حلقة أولية. وعلى وجه الخصوص، فإن حلقة المصفوفات الصحيحة من الرتبة 2 × 2 هي حلقة أولية.

• تكون الحلقة التبديلية حلقة أولية إذا وفقط إذا كانت مجالًا تكامليًا .
• تكون الحلقة غير الصفرية أولية إذا وفقط إذا كان أحادي مثالياتها يفتقر إلى القواسم الصفرية .
• حلقة المصفوفات فوق حلقة أولية هي أيضاً حلقة أولية.

• لام، تسيت-يوين (2001)، مدخل إلى الحلقات غير التبادلية (  الطبعة الثانية)، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، رقم ISBN 978-0-387-95325-0، MR 1838439