خاتم المصفوفة

في الجبر المجرد ، تُعرَّف حلقة المصفوفات بأنها مجموعة من المصفوفات التي تنتمي عناصرها إلى حلقة R ، والتي تُشكِّل حلقةً تحت عمليتي جمع وضرب المصفوفات . ^{[ 1 ]} تُسمى مجموعة جميع المصفوفات من الرتبة n × n التي تنتمي عناصرها إلى R حلقة مصفوفات، ويُرمز لها بـ M _{_n} ( R ) ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} (أو بصيغ بديلة: Mat _{_n} ( R ) ^{[ 3 ]} و R ^{_{n × n} [ 6 ]} ). تُشكِّل بعض مجموعات المصفوفات اللانهائية حلقات مصفوفات لانهائية . الحلقة الجزئية من حلقة مصفوفات هي حلقة مصفوفات أيضًا. يُمكن تكوين حلقات مصفوفات على حلقة مصفوفات.

عندما تكون R حلقة تبديلية، فإن حلقة المصفوفات M _{_n} ( R ) تُسمى جبرًا ترابطيًا على R ، ويمكن تسميتها جبر المصفوفات . في هذا السياق، إذا كانت M مصفوفة و r عنصرًا في R ، فإن المصفوفة rM هي المصفوفة M مضروبة في r .

• مجموعة جميع المصفوفات المربعة من الرتبة n × n على R ، ويرمز لها بـ M _n ( R ). وتسمى هذه المجموعة أحيانًا "الحلقة الكاملة للمصفوفات من الرتبة n × n ".
• مجموعة جميع المصفوفات المثلثية العليا على R.
• مجموعة جميع المصفوفات المثلثية السفلية على R.
• مجموعة جميع المصفوفات القطرية على R. هذا الجبر الفرعي من M _n ( R ) متماثل مع الضرب المباشر لـ n نسخ من R.
• بالنسبة لأي زمرة تبديل G ، حلقة الزمرة${\displaystyle R[G]}$
• لأي مجموعة فهارس I ، حلقة التشكلات الداخلية للوحدة النمطية اليمنى R${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}R}$متماثل مع الحلقة${\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(R)}$من المصفوفات ذات الأعمدة المحدودة التي تُفهرس عناصرها بـ I × I ، والتي يحتوي كل عمود منها على عدد محدود فقط من العناصر غير الصفرية. حلقة التشكلات الداخلية لـ M، باعتبارها وحدة نمطية يسارية على R، متماثلة مع الحلقة${\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(R)}$من المصفوفات ذات الصفوف المحدودة .
• إذا كانت R جبر باناخ ، فيمكن التغاضي عن شرط محدودية الصفوف أو الأعمدة المذكور سابقًا. مع تطبيق المعيار، يمكن استخدام المتسلسلات المتقاربة مطلقًا بدلًا من المجاميع المحدودة. على سبيل المثال، تُشكّل المصفوفات التي تكون مجاميع أعمدتها متتابعات متقاربة مطلقًا حلقةً. وبالمثل، تُشكّل المصفوفات التي تكون مجاميع صفوفها متسلسلات متقاربة مطلقًا حلقةً أيضًا. يمكن استخدام هذه الفكرة لتمثيل المؤثرات على فضاءات هيلبرت ، على سبيل المثال.
• يشكل تقاطع حلقات المصفوفات ذات الصفوف المنتهية والأعمدة المنتهية حلقة${\displaystyle \mathbb {RCFM} _{I}(R)}$.
• إذا كانت R تبديلية ، فإن M _n ( R ) لها بنية *-جبر على R ، حيث يكون الانعكاس * على M _n ( R ) هو نقل المصفوفة .
• إذا كانت A جبرًا من نوع C* ، فإن M _{_n} ( A ) هو جبر آخر من نوع C*. وإذا كانت A غير أحادية، فإن M _{_n} ( A ) يكون أيضًا غير أحادي. وبحسب نظرية جيلفاند-نايمارك ، يوجد فضاء هيلبرت H وتماثل *- متساوي القياس من A إلى جبر فرعي مغلق معياريًا من جبر المؤثرات المتصلة B ( H )؛ وهذا يُعرّف M _{_n} ( A ) كجبر فرعي من B ( H ^{⊕ n} ). ولتبسيط الأمر، إذا افترضنا أيضًا أن H قابل للفصل و A${\displaystyle \subseteq }$إذا كانت B ( H ) جبرًا أحاديًا من نوع C*، فيمكننا تقسيم A إلى حلقة مصفوفات فوق جبر C* أصغر. يمكن القيام بذلك بتثبيت إسقاط p ، وبالتالي إسقاطه المتعامد 1  − p ؛ ويمكن تعريف A بـ ${\textstyle {\begin{pmatrix}pAp&pA(1-p)\\(1-p)Ap&(1-p)A(1-p)\end{pmatrix}}}$حيث يعمل ضرب المصفوفات كما هو مُخطط له نظرًا لتعامد الإسقاطات. ولتحديد المصفوفة A كحلقة مصفوفات على جبر C*، نشترط أن يكون للمصفوفتين p و 1  − p نفس "الرتبة"؛ وبشكل أدق، نشترط أن تكون p و 1 − p متكافئتين وفقًا لمعيار موراي-فون نيومان، أي أنه يوجد تماثل جزئي u بحيث يكون p = uu * و 1 − p = u * u . ويمكن تعميم هذا بسهولة على مصفوفات ذات أحجام أكبر.    
• تُعدّ جبر المصفوفات المركبة M _{_n} ( C )، حتى التشاكل، الجبر الترابطي البسيط الوحيد ذو الأبعاد المحدودة على حقل الأعداد المركبة C. قبل ابتكار جبر المصفوفات، قدّم هاميلتون في عام 1853 حلقةً أطلق على عناصرها اسم "الرباعيات الثنائية" ^{[ 7 ]} ، ويُطلق عليها المؤلفون المعاصرون اسم "الموترات" في C ⊗ _{R H} ، وقد ثبت لاحقًا أنها متماثلة مع M _₂ ( C ). تتكون إحدى قواعد M _₂ ( C ) من وحدات المصفوفات الأربع (مصفوفات تحتوي على عنصر واحد قيمته 1 وباقي عناصرها 0)؛ بينما تتكون قاعدة أخرى من مصفوفة الوحدة ومصفوفات باولي الثلاث .
• حلقة المصفوفات فوق حقل هي جبر فروبينيوس ، مع شكل فروبينيوس المعطى بواسطة أثر الضرب: σ ( A , B ) = tr( AB ) .

• يمكن تعريف حلقة المصفوفات M n ( R ) بأنها حلقة التشكلات الداخلية للوحدة النمطية R اليمنى الحرة من الرتبة n ؛ أي أن M n ( R ) ≅ End R ( R n ) . يتوافق ضرب المصفوفات مع تركيب التشكلات الداخلية.
• الحلقة M n ( D ) فوق حلقة القسمة D هي حلقة أرتينية بسيطة ، وهي نوع خاص من الحلقات شبه البسيطة .${\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(D)}$و${\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(D)}$ليست بسيطة وليست أرتينية إذا كانت المجموعة I لانهائية، لكنها لا تزال حلقات خطية كاملة .
• تنص نظرية آرتين -ويدربورن على أن كل حلقة شبه بسيطة متماثلة مع حاصل ضرب مباشر منتهٍ${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$، لبعض الأعداد الصحيحة غير السالبة r ، والأعداد الصحيحة الموجبة n i ، وحلقات القسمة Di.
• عندما ننظر إلى M n ( C ) على أنها حلقة التشكلات الخطية الداخلية لـ C n ، فإن المصفوفات التي تنعدم على فضاء جزئي V معين تُشكل مثاليًا يساريًا . وعلى العكس، بالنسبة لمثالي يساري I معين في M n ( C )، فإن تقاطع الفضاءات الصفرية لجميع المصفوفات في I يُعطي فضاءً جزئيًا من C n . وبناءً على هذا البناء، فإن المثاليات اليسارية لـ M n ( C ) تقابلية مع الفضاءات الجزئية من C n .
• توجد علاقة تقابل بين المثاليّات ثنائية الجانب في M n  ( R ) والمثاليّات ثنائية الجانب في R. أي، لكل مثالي I في R ، فإن مجموعة جميع المصفوفات من الرتبة n × n التي عناصرها في I هي مثالي في M n ( R )، وينشأ كل مثالي في M n ( R ) بهذه الطريقة. وهذا يعني أن M n ( R ) بسيط إذا وفقط إذا كان R بسيطًا. بالنسبة لـ n ≥ 2 ، لا ينشأ كل مثالي أيسر أو أيمن في M n ( R ) من مثالي أيسر أو أيمن في R بالبناء السابق . على سبيل المثال، مجموعة المصفوفات التي أعمدتها ذات الفهارس من 2 إلى n جميعها أصفار تُشكّل مثاليًا أيسر في M n ( R ).
• تنشأ مطابقة المثالي السابقة في الواقع من كون الحلقتين R و Mn ( R ) متكافئتين موريتا . وبصورة تقريبية، يعني هذا أن فئة الوحدات النمطية اليسرى لـ R وفئة الوحدات النمطية اليسرى لـ Mn ( R ) متشابهتان للغاية. ولهذا السبب، توجد مطابقة تقابلية طبيعية بين فئات التشاكل للوحدات النمطية اليسرى لـ R وفئات التشاكل للمثالي الأيسر لـ R والمثالي الأيسر لـ Mn ( R ) . وينطبق الأمر نفسه على الوحدات النمطية اليمنى والمثالي الأيمن. ومن خلال تكافؤ موريتا، ترث Mn ( R ) جميع خصائص R الثابتة موريتا ، مثل كونها بسيطة ، وأرتينية ، ونويثرية ، وأولية .

• إذا كانت S حلقة جزئية من R ، فإن _Mn ( S ) هي حلقة جزئية من Mn ₍ R ) . على سبيل المثال، _Mn ( Z ) هي حلقة جزئية من Mn ₍ Q ) .
• تكون حلقة المصفوفات M _{_n} ( R ) تبديلية إذا وفقط إذا كان n = 0 ، R = 0 ، أو إذا كانت R تبديلية و n = 1. في الواقع، ينطبق هذا أيضًا على الحلقة الفرعية للمصفوفات المثلثية العليا. إليك مثال يوضح مصفوفتين مثلثيتين علويتين من الرتبة 2 × 2 غير تبديليتين، بافتراض أن 1 ≠ 0 في R :

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

  و

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}.}$

• بالنسبة لـ n ≥ 2 ، فإن حلقة المصفوفات M_{_n} ( R ) فوق حلقة غير صفرية تحتوي على قواسم صفرية وعناصر معدومة القوة ؛ وينطبق الأمر نفسه على حلقة المصفوفات المثلثية العليا. مثال على ذلك في مصفوفات 2 × 2 هو

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.}$

• يتكون مركز M _n ( R ) من المضاعفات العددية لمصفوفة الوحدة ، I _n ، حيث ينتمي العدد إلى مركز R .
• يُرمز إلى مجموعة الوحدة لـ M _n ( R )، التي تتكون من المصفوفات القابلة للعكس تحت الضرب، بـ GL _n ( R ).
• إذا كان F حقلاً، فإنه لأي مصفوفتين A و B في M _n ( F )، فإن المساواة AB = I _n تستلزم BA = I _n . لكن هذا لا ينطبق على كل حلقة R. تُعرف الحلقة R التي تتمتع جميع حلقات مصفوفاتها بهذه الخاصية باسم الحلقة المنتهية المستقرة ( لام 1999 ، ص 5) . 

في الواقع، يكفي أن تكون R شبه حلقة حتى يتم تعريف Mn(R). في هذه الحالة، تكون _Mn ( _R ) شبه حلقة، وتُسمى شبه حلقة المصفوفات . وبالمثل، إذا كانت R شبه حلقة تبديلية، فإن _Mn ( R ) تكون...شبه الجبر المصفوفي .

على سبيل المثال، إذا كانت R هي الحلقة شبه البولية ( الجبر البولي ذو العنصرين R = {0, 1} حيث 1 + 1 = 1 )، ^{[ 8 ]} فإن M _n ( R ) هي الحلقة شبه البولية للعلاقات الثنائية على مجموعة مكونة من n عنصرًا، حيث الاتحاد هو الجمع، وتركيب العلاقات هو الضرب، والعلاقة الفارغة ( المصفوفة الصفرية ) هي الصفر، وعلاقة الوحدة ( مصفوفة الوحدة ) هي الوحدة . ^{[ 9 ]}

• الجبر البسيط المركزي
• جبر كليفورد
• نظرية هورويتز (جبر القسمة المعياري)
• حلقة المصفوفة العامة
• قانون سيلفستر للقصور الذاتي