المعادلات الأولية

المعادلات الأولية هي مجموعة من المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية التي تُستخدم لتقريب تدفق الغلاف الجوي العالمي ، وتُستخدم في معظم نماذج الغلاف الجوي . وهي تتكون من ثلاث مجموعات رئيسية من معادلات التوازن:

1. معادلة الاستمرارية : تمثل حفظ الكتلة.
2. قانون حفظ الزخم : يتألف من صيغة لمعادلات نافيير-ستوكس التي تصف التدفق الهيدروديناميكي على سطح كرة بافتراض أن الحركة الرأسية أصغر بكثير من الحركة الأفقية (التوازن الهيدروستاتيكي) وأن عمق طبقة السائل صغير مقارنة بنصف قطر الكرة.
3. معادلة الطاقة الحرارية : تربط درجة الحرارة الكلية للنظام بمصادر الحرارة ومصارفها

يمكن تحويل المعادلات الأولية إلى معادلات لابلاس المدية ، وهي مسألة القيم الذاتية التي يمكن من خلالها تحديد الحل التحليلي للبنية العرضية للتدفق.

بشكل عام، ترتبط جميع أشكال المعادلات الأولية تقريبًا بالمتغيرات الخمسة u و v و ω و T و W وتطورها عبر المكان والزمان.

تمت كتابة المعادلات لأول مرة بواسطة فيلهلم بيركنز . ^{[ 1 ]}

• ${\displaystyle u}$هي السرعة المدارية (السرعة في الاتجاه الشرقي الغربي المماسية للكرة)
• ${\displaystyle v}$هي السرعة الزوالية (السرعة في اتجاه الشمال والجنوب مماسية للكرة)
• ${\displaystyle \omega }$هي السرعة الرأسية في إحداثيات متساوية الضغط
• ${\displaystyle T}$درجة الحرارة
• ${\displaystyle \Phi }$هو الجهد الجيوديسي
• ${\displaystyle f}$يمثل هذا المصطلح قوة كوريوليس ، وهو يساوي${\displaystyle 2\Omega \sin(\phi )}$، أين$أوميغا$معدل الدوران الزاوي للأرض (${\displaystyle 2\pi /24}$راديان لكل ساعة فلكية)، و${\displaystyle \phi }$هو خط العرض
• ${\displaystyle R}$ثابت الغاز
• ${\displaystyle p}$الضغط​
• ${\displaystyle \rho }$الكثافة​
• ${\displaystyle c_{p}}$هي الحرارة النوعية على سطح ذي ضغط ثابت
• ${\displaystyle J}$هو معدل تدفق الحرارة لكل وحدة زمنية لكل وحدة كتلة
• ${\displaystyle W}$هو الماء القابل للتكثيف
• ${\displaystyle \Pi }$هي دالة إكسنر
• ${\displaystyle \theta }$هي درجة الحرارة الكامنة
• ${\displaystyle \eta }$الدوامة المطلقة

تشمل القوى التي تسبب حركة الغلاف الجوي قوة تدرج الضغط ، والجاذبية ، والاحتكاك اللزج . وتجتمع هذه القوى معًا لتشكل القوى التي تسرع غلافنا الجوي.

تتسبب قوة تدرج الضغط في تسارع يدفع الهواء من مناطق الضغط العالي إلى مناطق الضغط المنخفض. ويمكن التعبير عن ذلك رياضياً كما يلي:

${\displaystyle {\frac {f}{m}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{dx}}.}$

تعمل قوة الجاذبية على تسريع الأجسام بمعدل 9.8  م/ث² ^{تقريبًا} باتجاه مركز الأرض.

يمكن تقريب القوة الناتجة عن الاحتكاك اللزج على النحو التالي:

${\displaystyle f_{r}={f \over a}{1 \over \rho }\mu \left(\nabla \cdot (\mu \nabla v)+\nabla (\lambda \nabla \cdot v)\right).}$

باستخدام قانون نيوتن الثاني، يمكن جمع هذه القوى (المشار إليها في المعادلات أعلاه بالتسارعات الناتجة عنها) للحصول على معادلة حركة تصف هذا النظام. ويمكن كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-({\frac {1}{\rho }})\nabla pg({\frac {r}{r}})+f_{r}}$

${\displaystyle g=g_{e}.\,}$

لذلك، لإكمال نظام المعادلات والحصول على 6 معادلات و6 متغيرات:

• ${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-({\frac {1}{\rho }})\nabla pg({\frac {r}{r}})+({\frac {1}{\rho }})\left[\nabla \cdot (\mu \nabla v)+\nabla (\lambda \nabla \cdot v)\right]}$
• ${\displaystyle c_{v}{\frac {dT}{dt}}+p{\frac {d\alpha }{dt}}=q+f}$
• ${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}+\rho \nabla \cdot v=0}$
• ${\displaystyle p=nT.}$

حيث n هي الكثافة العددية بالمول، و T:=RT هي القيمة المكافئة لدرجة الحرارة بالجول/مول.

يعتمد الشكل الدقيق للمعادلات الأولية على نظام الإحداثيات الرأسية المُختار، مثل إحداثيات الضغط ، أو إحداثيات الضغط اللوغاريتمي ، أو إحداثيات سيجما . علاوة على ذلك، يمكن تحليل متغيرات السرعة ودرجة الحرارة والجهد الجيوديناميكي إلى مكونات متوسطة ومكونات اضطراب باستخدام تحليل رينولدز .

يتضمن الحل التحليلي للمعادلات الأولية الخطية تذبذبًا جيبيًا في الوقت وخط الطول، يتم تعديله بواسطة معاملات تتعلق بالارتفاع وخط العرض.

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}u,v,\Phi \end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}{\hat {u}},{\hat {v}},{\hat {\Phi }}\end{Bmatrix}}e^{i(s\lambda +\sigma t)}}$

حيث s و${\displaystyle \sigma }$يمثل كل من و عدد الموجة في المنطقة والتردد الزاوي على التوالي. ويمثل الحل الموجات الجوية والمد والجزر .

عندما يتم فصل المعاملات إلى مكونات الارتفاع والعرض، فإن اعتماد الارتفاع يأخذ شكل الموجات المنتشرة أو المتلاشية (حسب الظروف)، بينما يتم إعطاء اعتماد العرض بواسطة دوال هوف .

لا يمكن التوصل إلى هذا الحل التحليلي إلا بعد تبسيط المعادلات الأساسية وتخطيطها. مع ذلك، فإن العديد من هذه التبسيطات (مثل انعدام التبديد، وتجانس درجة حرارة الغلاف الجوي) لا تتوافق مع ظروف الغلاف الجوي الفعلي. ونتيجة لذلك، غالبًا ما يُحسب الحل العددي الذي يأخذ هذه العوامل في الحسبان باستخدام نماذج الدوران العام ونماذج المناخ .

• صيغة الضغط الجوي
• نموذج مناخي
• معادلات أويلر
• معادلة بيركنز
• ديناميكا الموائع
• نموذج التداول العام
• التنبؤ العددي بالطقس

• بينيستون، مارتن. من الاضطراب إلى المناخ: دراسات عددية للغلاف الجوي باستخدام تسلسل هرمي من النماذج. برلين: سبرينغر، 1998. ISBN 3-540-63495-9
• فيرث، روبرت. بناء شبكة نموذج الأرصاد الجوية متوسطة النطاق وصغيرة النطاق ودقتها. LSMSA، 2006.
• تومسون، فيليب. التحليل والتنبؤ العددي للطقس. نيويورك: شركة ماكميلان، 1961.
• بيلكي، روجر أ. نمذجة الأرصاد الجوية متوسطة النطاق. أورلاندو: أكاديميك برس، 1984. ISBN 0-12-554820-6
• وزارة التجارة الأمريكية، الإدارة الوطنية للمحيطات والغلاف الجوي، دائرة الأرصاد الجوية الوطنية. دليل دائرة الأرصاد الجوية الوطنية رقم 1 - منتجات الفاكس. واشنطن العاصمة: وزارة التجارة، 1979.

خدمة الأرصاد الجوية الوطنية - موقع البحث والتدريب التعاوني بجامعة ولاية كارولينا الشمالية، مراجعة المعادلات الأولية .