مسائل ونظريات في التحليل

كتاب "مسائل ونظريات في التحليل " ( بالألمانية: Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis ) هو كتاب مسائل في التحليل مؤلف من مجلدين،من تأليف جورج بوليا وغابور سيغو . نُشر عام ١٩٢٥، ويحمل المجلدان العنوانين التاليين: (١) المتسلسلات، حساب التكامل، نظرية الدوال ؛ و(٢) نظرية الدوال، الأصفار، كثيرات الحدود، المحددات، نظرية الأعداد، الهندسة .

تحظى هذه المجلدات بتقدير كبير لجودة مسائلها ومنهجية تنظيمها، ليس بحسب الموضوع بل بحسب طريقة الحل، مع التركيز على تنمية مهارات الطالب في حل المسائل . يحتوي كل مجلد على مسائل في بدايته وحلول (موجزة) في نهايته. وكما ذكر اثنان من المؤلفين، "هناك إجماع عام بين علماء الرياضيات على أن كتاب بوليا-سيغو المكون من مجلدين هو أفضل كتاب مسائل مكتوب وأكثرها فائدة في تاريخ الرياضيات." ^{[ 1 ]}^{: 59}

خلفية

كان بوليا أول من طرح فكرة كتاب شامل للمسائل في التحليل، لكنه أدرك أنه لن يتمكن من إنجازه بمفرده. فقرر تأليفه مع سيغو، الذي كان صديقًا لبوليا منذ عام ١٩١٣، عندما التقيا في بودابست (كان سيغو آنذاك في السابعة عشرة من عمره فقط، بينما كان بوليا باحثًا ما بعد الدكتوراه في الخامسة والعشرين). تداخلت مسيرة سيغو المهنية المبكرة مع مسيرة بوليا، إذ تناولت ورقتاه البحثيتان الأوليان مسائل طرحها بوليا. ^{[ ٣ ]}^{: ٥٦٢}^{[ ١ ]}^{: ٥٤}^{[ ٤ ]}^{: ١١} ومع ذلك، اعتقد بوليا أن مجالات خبرتهما مختلفة بما يكفي ليثبت هذا التعاون جدواه. ^{[ 3 ]}^{: 562} وقّع بوليا وسيغو العقد مع دار نشر سبرينغر-فيرلاغ للكتاب في عام 1923، ونُشر بحلول عام 1925. ^{[ 5 ]} كتب بوليا لاحقًا عن الفترة التي كتبا فيها الكتاب:

لقد كان وقتًا رائعًا؛ عملنا بحماس وتركيز. كانت لدينا خلفيات متشابهة. تأثرنا كلانا، مثل جميع علماء الرياضيات المجريين الشباب في ذلك الوقت، بليوبولد فيير . كنا نقرأ نفس المجلة الرياضية المجرية المتميزة لطلاب المدارس الثانوية والتي كانت تركز على حل المسائل. كنا مهتمين بنفس نوع الأسئلة، في نفس المواضيع؛ لكن أحدنا كان أكثر دراية بموضوع معين والآخر بموضوع آخر. لقد كان تعاونًا مثمرًا. كتاب " المسائل والدروس من التحليل" ، ثمرة تعاوننا، هو أفضل أعمالي وأفضل أعمال غابور سيغو أيضًا. ^{[ 4 ]}^{: 11}

كان تأليف المسائل والنظريات تجربةً شاقةً لكلا الرياضيين الشابين. كان بوليا أستاذًا في زيورخ ، بينما كان سيغو محاضرًا في برلين ، ولذا كان لكليهما أعباء عمل مستقلة. خشيت زوجة بوليا من تعرضه لانهيار عصبي. ^{[ 1 ]}^{: 60} كما كان كلاهما مُهددًا بتصاعد معاداة السامية في أوروبا الوسطى (كان بوليا وسيغو يهوديين مجريين). دفعت الصعوبات المالية، فضلًا عن التشاؤم بشأن التعيين في جامعة ألمانية، بوليا إلى الانتقال إلى إنجلترا عام 1925. ^{[ 1 ]}^{: 61-63}^{[ 4 ]}^{: 23} أما سيغو، فقد استغرق وقتًا أطول للفرار، ولم يغادر ألمانيا حتى عام 1934 عندما أقنعه بوليا وهارالد بور بقبول منصب في جامعة واشنطن في سانت لويس . وبحلول ذلك الوقت، كان النازيون قد بدأوا بالفعل في تطهير الجامعات الألمانية من الأساتذة اليهود. ^{[ 6 ]} التقى سيغو وبوليا (اللذان تعاونا قليلاً بعد كتاب المسائل) مجدداً في أمريكا في خمسينيات القرن العشرين، في قسم الرياضيات بجامعة ستانفورد . ^{[ 1 ]}^{: 62}

محتويات

على الرغم من أن عنوان الكتاب يشير فقط إلى التحليل، إلا أنه يتضمن نطاقًا واسعًا من المسائل. يبدأ الكتاب في علم التوافيق ، ثم يتفرع سريعًا من التحليل الرياضي إلى نظرية الأعداد ، والهندسة ، والجبر الخطي ، وحتى بعض فروع الفيزياء . ^{[ 4 ]}^{: 23-24} وتشهد المواضيع المحددة التي يتناولها الكتاب على الاهتمامات الخاصة لكل من بوليا ( قاعدة ديكارت للإشارات ، ونظرية بوليا في التعداد )، وسيجو (كثيرات الحدود، وكثيرات الحدود المثلثية ، وعمله الخاص في كثيرات الحدود المتعامدة )، وأحيانًا كليهما (أصفار كثيرات الحدود والدوال التحليلية ، والتحليل المركب بشكل عام). ^{[ 4 ]}^{: 25-27} العديد من مسائل الكتاب ليست جديدة، وتتضمن حلولها إشارات إلى مصادرها الأصلية. ^{[ 7 ]}^{: xii–xiii، xvii–xviii.} يحتوي قسم الهندسة (IX) على العديد من المسائل التي ساهم بها لوفنر (في الهندسة التفاضلية ) وهيرش (في الهندسة الجبرية ). ^{[ 4 ]}^{: 27}

كان الكتاب فريدًا في ذلك الوقت بسبب ترتيبه، الذي لم يكن مُرتبًا حسب الموضوع بقدر ما كان مُرتبًا حسب طريقة الحل، وذلك بهدف تنمية قدرات الطالب على حل المسائل. تحتوي مقدمة الكتاب على بعض الملاحظات حول حل المسائل العامة والأساليب الرياضية الاستدلالية التي تُمهد لأعمال بوليا اللاحقة في هذا الموضوع ( الرياضيات والاستدلال المعقول ، كيفية حلها ). ^{[ 4 ]}^{: 23-24.} عقد المؤلفان جلسات تدريبية، حيث طُرحت المسائل على طلاب الجامعة، وتم حلها جماعيًا (مع قيام الأستاذ بحل بعض المسائل النموذجية، وتحديد المسائل الأصعب كواجب منزلي). وقد درسوا أجزاءً من الكتاب بمعدل فصل واحد تقريبًا في كل فصل دراسي. ^{[ 7 ]}^{: xi-xii}

يُقدّم المثال النموذجي لتسلسل الأسئلة في كتاب " المسائل والنظريات في التحليل" من خلال الأسئلة الثلاثة الأولى في المجلد الأول (الطبعة الأمريكية):

1. بكم طريقة مختلفة يمكنك تغيير دولار واحد؟ أي، بكم طريقة مختلفة يمكنك دفع 100 سنت باستخدام خمسة أنواع مختلفة من العملات المعدنية، وهي السنتات، والنيكل، والدايمات، والربع دولار، والنصف دولار (بقيمة 1، 5، 10، 25، و50 سنتًا على التوالي)؟
2. ليكن n عددًا صحيحًا غير سالب، وليكن $A_{n}$ يشير إلى عدد حلول المعادلة الديوفانتية $x+5y+10z+25u+50v=n$ في الأعداد الصحيحة غير السالبة. ثم المتسلسلة $A_{0}+A_{1}\zeta +A_{2}\zeta ^{2}+\cdots +A_{n}\zeta ^{n}+\cdots$ يمثل دالة كسرية لـ $\zeta$ ابحث عنه.
3. بكم طريقة يمكنك وضع الطوابع اللازمة في صف واحد على رسالة بريد جوي مُرسلة داخل الولايات المتحدة، باستخدام طوابع من فئات 2، 4، 6، 8 سنتات؟ علماً بأن تكلفة البريد 10 سنتات. (تُعتبر الترتيبات المختلفة للطوابع ذات القيمة نفسها طرقاً مختلفة). ^{[ 7 ]}^{: 1}

يطرح السؤال الأول مسألةً أساسيةً في علم التوافيق؛ بينما يقترح السؤال الثاني حلاً (باستخدام الدوال المولدة ) وتعميماً له. أما السؤال الثالث فيطرح مسألةً أخرى في علم التوافيق يمكن حلها باستخدام الدوال المولدة. في الواقع، تتبع الأسئلة من 1 إلى 26 مفهوم الدوال المولدة من خلال أمثلة إضافية. ^{[ 4 ]}^{: 23} تُطوَّر مجالاتٌ كاملةٌ من الرياضيات بهذه الطريقة. ^{[ 1 ]}^{: 55}

أُضيفت إضافات جوهرية إلى الترجمة الإنجليزية (التي نُشرت عامي 1972 و1976)، بما في ذلك أقسام جديدة وإحالات إلى أعمال بوليا الأخرى حول حل المشكلات. ^{[ 4 ]}^{: 24-25}

استقبال

كتب ريتشارد أسكي وبول نيفاي عن الكتاب: "هناك إجماع عام بين علماء الرياضيات على أن كتاب بوليا-سيغو، المؤلف من مجلدين، هو أفضل كتاب مسائل مكتوب وأكثرها فائدة في تاريخ الرياضيات." ^{[ 1 ]}^{: 59} وقد حظي الكتاب بإعجاب الكثيرين. فقد قرأ العديد من علماء الرياضيات البارزين ( بيرنايز ، وكوران ، وفيجير، وإي. لانداو ، وإف. ريس ، وتوبليتز ) مسودات الكتاب أثناء طباعته ^{[ 7 ]}^{: xii–xiii،} كما أشاد به مراجعوه الأوائل (إف. ريس مرة أخرى، وكنوب ، وتاماركين )، الذين لا يقلون عنه شهرة، إشادة بالغة. ^{[ 1 ]}^{: 58–60} وبفضل المنهجية التعليمية الدقيقة، تمكن طلاب الدراسات العليا من تعلم التحليل من كتابي "المسائل" و"النظريات" فقط. ^{[ 1 ]}^{: 58} في إحدى المرات، اقترب بول إيردوس من عالم رياضيات شاب وعرض عليه مسألة مأخوذة من المجلد الثاني، وأعلن: "سأعطي الصين 10 دولارات إذا استطعت حل هذه المسألة في عشر دقائق". ^{[ 4 ]}^{: 27}

نُشرت ترجمة روسية في الفترة 1937-1938. ونُشرت ترجمة إنجليزية في الفترة 1972-1976. ^{[ 4 ]}^{: 23}

مراجع

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ألكسندرسون، جيرالد ل. (2000). المسارات العشوائية لجورج بوليا . الجمعية الرياضية الأمريكية.
↑ بوليا، جورج (1987). ألبوم صور بوليا: لقاءات عالم رياضيات . بيركهاوزر.
1 2 ألكسندرسون، جي إل؛ لانج، إل إتش (1987). "نعي: جورج بوليا". نشرة جمعية لندن الرياضية . 19 (6): 559-608 . doi : 10.1112/blms/19.6.559 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 سيجو، جابور (1982). الأوراق المجمعة . المجلد. 1. بيركهاوزر.
↑ أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف (نوفمبر 2002)، "جورج بوليا" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
↑ أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف (يوليو 2014)، "غابور سيغو" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
1 2 3 4 بوليا، جورج؛ سيغو، غابور (1972). مسائل ونظريات في التحليل 1. ترجمة إيبلي، د. سبرينغر-فيرلاغ.

[Walks-1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ألكسندرسون، جيرالد ل. (2000). المسارات العشوائية لجورج بوليا . الجمعية الرياضية الأمريكية.

[2] بوليا، جورج (1987). ألبوم صور بوليا: لقاءات عالم رياضيات . بيركهاوزر.

[PolyaObit-3] 1 2 ألكسندرسون، جي إل؛ لانج، إل إتش (1987). "نعي: جورج بوليا". نشرة جمعية لندن الرياضية . 19 (6): 559-608 . doi : 10.1112/blms/19.6.559 .

[SzegoCP-4] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 سيجو، جابور (1982). الأوراق المجمعة . المجلد. 1. بيركهاوزر.

[PolyaMT-5] أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف (نوفمبر 2002)، "جورج بوليا" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز

[SzegoMT-6] أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف (يوليو 2014)، "غابور سيغو" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز

[PTA1-7] 1 2 3 4 بوليا، جورج؛ سيغو، غابور (1972). مسائل ونظريات في التحليل 1. ترجمة إيبلي، د. سبرينغر-فيرلاغ.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ ٣ ]

[ ٤ ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗