كيفية حلها

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

كتاب "كيف تحل المسائل" هو دليل لحل المسائل الرياضية من تأليف عالم الرياضيات جورج بوليا . نُشر لأول مرة من قِبل مطبعة جامعة برينستون عام 1945، ثم صدرت طبعة ثانية منه عن دار دابلداي عام 1957، وأُعيد إصداره عدة مرات منذ ذلك الحين. [ 1 ] في مقدمة الطبعة الأولى، ذكر بوليا أنه كتب الكتاب في المقام الأول لمعلمي وطلاب الرياضيات، وأن الأمثلة مأخوذة من الجبر والهندسة. مع ذلك، لاقى كتاب "كيف تحل المسائل" رواجًا في مجالات أخرى لاحقًا لما يقدمه من شروحات واضحة للأساليب الاستدلالية واستراتيجيات حل المسائل ، مثل الاستقراء والقياس والتخصيص والعمل العكسي. [ 2 ] تُرجم الكتاب إلى أكثر من 15 لغة، وبيعت منه أكثر من مليون نسخة، "مما يجعله أحد أكثر كتب الرياضيات انتشارًا في التاريخ". [ 3 ]

أربع مراحل

يبدأ بوليا بقائمة مرجعية من صفحتين تحدد أربع مراحل لحل مسألة رياضية : [ 4 ]

  1. فهم المشكلة .
  2. ضع خطة .
  3. نفّذ الخطة .
  4. انظر إلى الوراء . [ 5 ]

ويؤكد أن الفواصل بين المراحل ليست جامدة، ومن المهم التحلي بالمرونة في النهج المتبع:

في سعينا لإيجاد الحل، قد نغير وجهة نظرنا وطريقة نظرنا إلى المشكلة مرارًا وتكرارًا. علينا أن نغير موقفنا مرارًا وتكرارًا. من المرجح أن يكون تصورنا للمشكلة غير مكتمل عند بدء العمل؛ وتختلف نظرتنا عندما نحرز بعض التقدم؛ وتختلف مرة أخرى عندما نقترب من الحل. [ 6 ]

المرحلة الأولى: فهم المشكلة

يذكر بوليا أن الطلاب غالبًا ما يواجهون صعوبة في حل المشكلات لمجرد عدم فهمهم لها فهمًا كاملًا. ولمعالجة هذه المشكلة، يوصي بأن يطرح المعلم على الطلاب سلسلة من الأسئلة التي تقودهم إلى فهم أعمق للمشكلة. [ 7 ] ويقول إن الأسئلة الأولية الرئيسية التي يجب طرحها هي: "ما هو المجهول؟"، "ما هي البيانات؟"، و"ما هو الشرط؟" (بمعنى: "ما هو الشرط الذي يربط المجهول بالبيانات؟"). [ 8 ]

وتشمل الأسئلة المقترحة الأخرى ما يلي:

  • هل تفهم جميع الكلمات الواردة في البيان اللفظي للمشكلة؟
  • هل يمكنك إعادة صياغة المشكلة بكلماتك الخاصة؟
  • هل يمكنك رسم شكل يوضح المجهول والبيانات؟
  • هل هي مشكلة معقولة، أي هل الشرط كافٍ لتحديد المجهول؟ [ 9 ]

المرحلة الثانية: وضع خطة

يعتبر بوليا هذه المرحلة الأكثر أهمية وتحدياً، معترفاً بأن عملية وضع خطة قابلة للتنفيذ "قد تكون طويلة وشاقة":

إنّ الإنجاز الرئيسي في حلّ أيّ مشكلة هو تصوّر فكرة الخطة. قد تتبلور هذه الفكرة تدريجيًا، أو قد تظهر فجأةً، في ومضة، كفكرةٍ لامعة، بعد محاولاتٍ تبدو غير ناجحة وفترةٍ من التردد. وأفضل ما يمكن أن يفعله المعلّم للطالب هو أن يُهيّئ له، بمساعدةٍ غير مباشرة، فكرةً لامعة. [ 10 ]

يُخصَّص الجزء الأكبر من الكتاب لتقديم اقتراحات لتحفيز هذه الفكرة. ومن بين الاقتراحات المذكورة (والتي تُغطَّى بمزيد من التفصيل في قاموس الاستدلالات الخاص بالكتاب):

  • التخمين والاختبار [ 11 ]
  • حل مشكلة ذات صلة ولكنها أبسط [ 12 ]
  • استخدم التناظر، أي ابحث عن الأجزاء القابلة للتبديل في المسألة [ 13 ]
  • استخدم نموذجًا [ 14 ]
  • ابحث عن نمط [ 15 ] [ 16 ]
  • دراسة الحالات الخاصة [ 17 ]
  • العمل من النهاية إلى البداية [ 18 ]
  • كن مبدعاً [ 19 ]

يضيف بوليا أن تطبيق هذه الاقتراحات يتطلب مهارةً وحُكمًا سليمًا، يُكتسبان على أفضل وجه من خلال حلّ العديد من المسائل. ويؤكد على دور المعلم الذي ينبغي أن يطرح أسئلةً تُساعد الطلاب على وضع خطط. ويُفرّق بوليا بين طرح سؤالٍ مُحفّزٍ للتفكير، مثل "هل تعرف مسألةً مُشابهة؟"، وطرح سؤالٍ توجيهي، مثل "هل يُمكنك تطبيق نظرية فيثاغورس ؟" [ 20 ]. ويرى أن السؤال الأخير، على الرغم من حسن النية، ليس مُفيدًا لأن الطالب لا يعرف كيف توصّل إليه المعلم. [ 20 ]

المرحلة الثالثة: تنفيذ الخطة

يعتبر بوليا هذه المرحلة أسهل بكثير من وضع الخطة. والأمر المطلوب بالدرجة الأولى هو الصبر.

تُقدّم الخطة مخططاً عاماً؛ وعلينا أن نتأكد من أن التفاصيل تتناسب مع هذا المخطط، ولذا علينا أن نفحص التفاصيل واحدة تلو الأخرى، بصبر، حتى يصبح كل شيء واضحاً تماماً، ولا يبقى أي ركن غامض يمكن أن يختبئ فيه خطأ. [ 21 ]

المرحلة الرابعة: نظرة إلى الوراء

بعد أن يحلّ الطلاب المسألة، يحثّهم بوليا على التوقف ودراسة النتيجة والعملية التي أدت إليها. أولًا، عليهم التحقق من الإجابة للتأكد من منطقيتها في سياق المسألة. هل يستخدم الحل جميع البيانات المعطاة؟ [ 22 ] ينبغي على الطلاب استكشاف إمكانية استخدام استراتيجية بديلة. كما ينبغي عليهم التحقق من الحل من خلال مراجعة حساباتهم ومنطقهم.

كما يدعو بوليا إلى تخصيص وقت للتفكير فيما تم إنجازه، وما نجح وما لم ينجح، وما كان بالإمكان فعله بشكل أفضل، والمشكلات الأخرى التي قد يكون هذا الحل مفيدًا فيها. [ 23 ] سيمكن ذلك الطالب من اختيار استراتيجية مناسبة للمشكلات المستقبلية المشابهة للمشكلات الحالية.

قاموس الاستدلال

يتألف الجزء الأكبر من الكتاب من قاموس استدلالي . يحتوي على 67 مدخلاً تتضمن اقتراحات "لإحراز تقدم في حل المسائل الصعبة". [ 24 ] تهدف العديد من هذه الاقتراحات إلى إيجاد مسألة ذات صلة وأسهل حلاً عندما يواجه الطالب صعوبة في حل المسألة الأصلية. [ 25 ] على سبيل المثال:

إرشاديوصف غير رسمي
التشبيههل يمكنك إيجاد مشكلة مماثلة لمشكلتك وحلها؟
العناصر المساعدةهل يمكنك إضافة عنصر جديد إلى مشكلتك للوصول إلى حل أقرب؟
مشكلة مساعدةهل يمكنك إيجاد مشكلة فرعية أو مشكلة جانبية يساعدك حلها في حل مشكلتك؟
التحلل وإعادة التركيبهل يمكنك تحليل المشكلة وإعادة تجميع عناصرها بطريقة جديدة؟
ارسم شكلاًهل يمكنك رسم صورة للمشكلة؟
تعميمهل يمكنك إيجاد مشكلة أكثر عمومية من مشكلتك؟
إليك مشكلة مشابهة لمشكلتك وقد تم حلها سابقًاهل يمكنك إيجاد مشكلة مشابهة لمشكلتك تم حلها بالفعل واستخدامها لحل مشكلتك؟
الاستقراء والاستقراء الرياضيهل يمكنك حل مشكلتك عن طريق استخلاص تعميم من بعض الأمثلة؟
اختزال الإعلان السخيف والدليل غير المباشرهل يمكنك إثبات زيف فرضية ما من خلال استنتاج تناقض واضح منها؟ وعلى العكس، هل يمكنك إثبات صحة ادعاء ما من خلال إثبات زيف الفرضية المعاكسة له؟
التخصصهل يمكنك إيجاد مشكلة أكثر تخصصاً؟ على سبيل المثال، ماذا لو كانت القيمة المعطاة صفراً، هل سيسهم ذلك في توضيح المشكلة؟
تنويعات للمشكلةهل يمكنك تغيير أو تعديل مشكلتك لإنشاء مشكلة جديدة (أو مجموعة من المشاكل) التي سيساعدك حلها (أو حلولها) في حل مشكلتك الأصلية؟
العمل من النهاية إلى البدايةهل يمكنك البدء بالهدف والعمل عكسياً للوصول إلى شيء تعرفه بالفعل؟

استقبال

حظي كتاب بوليا بإشادة واسعة لفائدته في تعليم الرياضيات والتعليم عمومًا. وذكرت مجلة الرياضيات أن الكتاب "موجز بالدرجة الأولى لطلاب ومعلمي الرياضيات، ولكنه قد يثير اهتمام أي معلم مُثقف في أي مادة لا تقتصر على مجرد تراكم المعرفة. ولعل جاذبيته ستكون أكبر في مستوى كليات إعداد المعلمين، ورغم أنه لا يحتوي إلا على القليل مما قد يكتشفه المعلم الجيد بنفسه، إلا أنه قد يُسرّع عملية الاكتشاف". [ 26 ] ووصف إي. تي. بيل الكتاب بأنه "شرح مُفيد للمنهج الاستدلالي المُطبق على حل مسائل الرياضيات الابتدائية... إذا لم يعد يُدرّس المنهج الاستدلالي، فإن كتاب " كيف تحل المسائل" قد يُسدّ هذا النقص. ينبغي على كل مُعلم مُستقبلي قراءته". [ 27 ] وفي مراجعة مُوجزة في صحيفة شيكاغو تريبيون ، وُصف كتاب " كيف تحل المسائل " بأنه "كتاب بسيط للغاية في حل المسائل. مُوضّح بشكل كبير بالرياضيات، ولكن المنهج قابل للتطبيق من حيث المبدأ على مسائل العلوم والهندسة والعمل الاجتماعي. ذو قيمة كبيرة للجميع". [ 28 ]

كتب إيه سي شيفر في المجلة الأمريكية لعلم النفس :

بدلاً من ترك الطالب يبحث عشوائياً دون خطة أو منهجية، يُبين بوليا كيف يمكن توجيهه بشكل طبيعي إلى الحل من خلال نوع من الإجراءات الاستدلالية التي وجدها في تلميح قدمه عالم الرياضيات اليوناني بابوس (حوالي 300 ميلادي)، وهو تلميح ساهم، كما يقول المؤلف، في حل العديد من المسائل الصعبة والمحيرة. يمكن للطلاب والباحثين في الرياضيات وبعض العلوم الفيزيائية الاستفادة من هذا العمل. في الواقع، يُنصح أي شاب يسعى إلى العمل في مجال العلوم بالتأمل في هذه المساهمة المهمة في فن التدريس. [ 29 ]

تأثير

كتب أستاذ الرياضيات آلان هـ. شونفيلد في عام 1987 أن الاهتمام المتزايد آنذاك بمجال حل المشكلات، وإيجاد طرق فعّالة لتدريسه، يعود الفضل فيه إلى حد كبير لكتاب " كيف تحلها" . [ 24 ] [ 30 ] وأشار إلى أنه في السنوات الخمس السابقة وحدها، تم الاستشهاد بالكتاب في مجلات متنوعة مثل " المجلة الأمريكية للعلوم السياسية" ، و "المراجعة السنوية لعلم النفس" ، و " الذكاء الاصطناعي" ، و "الحاسوب والكيمياء" ، و "الحاسوب والتعليم" ، و " عمليات الخطاب" ، و "القيادة التربوية " ، و" التعليم العالي" ، و "التعلم البشري" . [ 24 ]

لكن لم يقتنع الجميع بالفوائد العملية لاستراتيجيات بوليا الاستدلالية. لم يعتبر شونفيلد هذه الاستراتيجيات كافية لطلابه الجامعيين في الرياضيات الذين يعملون على مسائل غير روتينية. وجادل بأن المعرفة المتخصصة في المجال و"البراعة الرياضية" ضروريتان أيضًا. [ 31 ] [ 32 ] من خلال ملاحظاته للطلاب الذين يحاولون استخدام كتاب "كيفية حلها" ، لاحظ شونفيلد أنهم غالبًا ما كانوا في حيرة من أمرهم بشأن أي من عشرات استراتيجيات بوليا الاستدلالية يجب اختيارها لمسألة معينة. [ 32 ]

أشاد رائدا الذكاء الاصطناعي، ألين نيويل ومارفن مينسكي، ببوليا لإحيائه مجال الاستدلالات. [ 33 ] في ورقته البحثية التي نشرها عام 1960 بعنوان "خطوات نحو الذكاء الاصطناعي"، كتب مينسكي أنه "ينبغي على الجميع معرفة أعمال جورج بوليا حول كيفية حل المشكلات". [ 34 ]

في الستينيات والسبعينيات من القرن العشرين، طور المهندس السوفيتي جينريخ ألتشولر منهجية تُعرف باسم نظرية حل المشكلات الابتكارية (أو TRIZ اختصارًا بالروسية)، والتي كانت في جوانب عديدة موازية لعمل بوليا ولكنها كانت أكثر توجهاً نحو حل المشكلات الهندسية. [ 35 ]

أصبح كتاب "كيفية حلها" دليلاً قيماً لتصحيح الأخطاء لمبرمجي الحاسوب. في عام ١٩٨٢، كتب آر جي درومي كتاب "كيفية حلها بواسطة الحاسوب" ، وهو كتاب في علوم الحاسوب مُهدى إلى بوليا ومستوحى منه. في مقدمته، ذكر درومي: "كانت هناك حاجة ماسة لكتاب مكتوب بروح أعمال بوليا، ولكن مُترجم إلى سياق علوم الحاسوب." [ ٣٦ ] في مقابلة أجريت في ثمانينيات القرن الماضي في مايكروسوفت ، قال تشارلز سيموني : "يحصل المبرمجون على كتابين في يومهم الأول هنا. أحدهما، بعنوان " كيفية حلها" ، من تأليف جورج بوليا، عالم الرياضيات. [يأخذ سيموني الكتاب من خزانة الكتب بجوار مكتبه ويفتحه على صفحة معينة]. هاتان الصفحتان مهمتان [ملاحظة: إنه يشير إلى قائمة التحقق المكونة من صفحتين في بداية الكتاب]. بقية الكتاب تُفصّل هاتين الصفحتين. هذا أشبه بقائمة تحقق لحل المشكلات." [ 37 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ "كيفية حلها" . دار بنغوين للنشر . ديسمبر 2023.
  2. ↑ "كيفية حلها" . مطبعة جامعة برينستون . أكتوبر 2019.
  3. ↑ ديمبارت، لي (8 سبتمبر 1985). "وفاة جورج بوليا، عميد علماء الرياضيات، عن عمر يناهز 97 عامًا" . صحيفة لوس أنجلوس تايمز .
  4. ^ بوليا 1957 ، الصفحات من السادس عشر إلى السابع عشر.
  5. ↑ بوليا 1957 ، ص 6-15.
  6. ↑ بوليا 1957 ، ص 5.
  7. ↑ بوليا 1957 ، ص 33.
  8. ↑ بوليا 1957 ، ص 214.
  9. ↑ بوليا 1957 ، ص 6-8.
  10. ↑ بوليا 1957 ، ص 8-9.
  11. ↑ بوليا 1957 ، ص 99.
  12. ↑ بوليا 1957 ، ص 114 : " حاول أولاً حل مشكلة ذات صلة ؛ عندها قد تجد الشجاعة لمهاجمة مشكلتك الأصلية مرة أخرى. لا تنسَ أن تفوق الإنسان يكمن في تجاوز عقبة لا يمكن التغلب عليها مباشرة". 
  13. ↑ بوليا 1957 ، ص 199.
  14. ↑ بوليا 1957 ص. 105، ص. 29-32. يناقش بوليا مسألة معدل تتضمن تدفق الماء إلى وعاء مخروطي كمثال على استخدام نموذج لتصور وحل مشكلة ما.
  15. ^ بوليا 1957 ، ص 82 ، 120.
  16. ↑ "5.2: استراتيجية جورج بوليا" . مكتبة الرياضيات. ليبرتيكستس . 21 أغسطس 2024.
  17. ^ بوليا 1957 ، ص 191-196.
  18. ↑ بوليا 1957 ، ص 225.
  19. ↑ بوليا 1957 ص 172، 197-198. يجادل بوليا بأن الاكتشاف والاختراع يتطلبان الصبر؛ يجب أن يكون المرء على استعداد للانتظار حتى تظهر فكرة رائعة، أحيانًا بشكل لا واعٍ.
  20. 1 2 بوليا 1957 ، ص. 22.
  21. ^ بوليا 1957 ، ص 12-13.
  22. ↑ بوليا 1957 ، ص 16.
  23. ^ بوليا 1957 ، ص 14-16 ، 36.
  24. 1 2 3 شونفيلد، آلان هـ. ( ديسمبر 1987). "بوليا، حل المشكلات، والتعليم" . مجلة الرياضيات . المجلد 60، العدد 5. الصفحات 283-291 . JSTOR 2690409 .    
  25. ↑ بوليا 1957 ، ص 114.
  26. ↑ روبسون، أ. (يوليو 1946). "مراجعة العمل: كيفية حله بقلم ج. بوليا" . المجلة الرياضية . 30 (290): 181-182 . JSTOR 3609122 . 
  27. ↑ بيل، إي تي (ديسمبر 1945). "مراجعة العمل: كيفية حله: جانب جديد من المنهج الرياضي بقلم جي. بوليا" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 52 (10): 575. JSTOR 2306109 . 
  28. ↑ "الكتب التقنية" . شيكاغو تريبيون . 16 يونيو 1946. ص 58 – عبر موقع Newspapers.com . 
  29. ↑ شيفر، أ. س. (أبريل 1946). "مراجعة العمل: كيفية حله؛ جانب جديد من المنهج الرياضي لج. بوليا" . المجلة الأمريكية لعلم النفس . 59 (2): 331-332 . JSTOR 1416910 . 
  30. ↑ شونفيلد، آلان هـ. (1992). د. جراوس (محرر). "تعلم التفكير الرياضي: حل المشكلات، وما وراء المعرفة، وفهم المعنى في الرياضيات" (ملف PDF) . دليل البحث في تدريس وتعلم الرياضيات . نيويورك: ماكميلان: 334-370 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 3 ديسمبر 2013. تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 نوفمبر 2013 .بوليا هو "الرياضي الأكثر شهرة بتصوره للرياضيات على أنها حل للمشكلات وبعمله في جعل حل المشكلات محورًا لتعليم الرياضيات".
  31. ↑ ويلسون، جيمس دبليو؛ فرنانديز، ماريا إل؛ هاداواي، نيلدا (1993). "حل المسائل الرياضية" . جامعة جورجيا - عبر Academia.edu .
  32. 1 2 شونفيلد، آلان هـ. (ديسمبر 1980). "تدريس مهارات حل المشكلات" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 87 (10): 794-805 . JSTOR 2320787 . 
  33. ↑ نيويل، ألين (يوليو 1981). "الأسلوب الاستدلالي لجورج بوليا وعلاقته بالذكاء الاصطناعي" (ملف PDF) . قسم علوم الحاسوب، جامعة كارنيجي ميلون .ورقة بحثية قدمها نيويل في الندوة الدولية حول أساليب الاستدلال، التي عقدت في برن، سويسرا ، في الفترة من 15 إلى 18 سبتمبر 1980.
  34. ↑ مينسكي، مارفن (أكتوبر 1960). "خطوات نحو الذكاء الاصطناعي" . مؤرشف من الأصل في 31 ديسمبر 2008. تم الاطلاع عليه في 17 مايو 2006 .
  35. ↑ سافرانسكي، سيميون د. (2000). هندسة الإبداع: مقدمة لمنهجية تريز لحل المشكلات الابتكارية . مطبعة سي آر سي. ص 303. ISBN  978-0849322556.
  36. ↑ درومي، آر جي (1982). "مقدمة". كيفية حلها باستخدام الحاسوب . برنتيس هول إنترناشونال. ص. 13. ISBN  978-0134339955.
  37. ↑ لامرز، سوزان م.، محررة. (1986). "تشارلز سيموني" . المبرمجون في العمل: مقابلات . ريدموند، واشنطن : مطبعة مايكروسوفت. ص 18. ISBN  978-0914845713.

مراجع