تحليلية الدوال الهولومورفية

في التحليل المركب ، الدالة ذات القيم المركبة${\displaystyle f}$لمتغير معقد${\displaystyle z}$:

• يقال إنها متماثلة الشكل عند نقطة ما${\displaystyle a}$إذا كانت قابلة للتفاضل عند كل نقطة داخل قرص مفتوح مركزه عند${\displaystyle a}$، و
• يقال إنه تحليلي في${\displaystyle a}$إذا كان في قرص مفتوح مركزه عند${\displaystyle a}$يمكن توسيعها كمتسلسلة قوى متقاربة$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty}c_{n}(za)^{n}}$$(وهذا يعني أن نصف قطر التقارب موجب).

من أهم نظريات التحليل المركب أن الدوال التحليلية هي دوال تحليلية والعكس صحيح . ^{[ 1 ]} (الدالة التحليلية عند نقطة ما تكون تحليلية عند تلك النقطة، والعكس صحيح). ومن نتائج هذه النظرية ما يلي:

• تنص نظرية الهوية على أن دالتين تحليليتين تتطابقان عند كل نقطة من مجموعة لانهائية${\displaystyle S}$تتفق النقاط التي تحتوي على نقطة تراكم داخل تقاطع نطاقاتها أيضًا في كل مكان في كل مجموعة فرعية مفتوحة متصلة من نطاقاتها التي تحتوي على المجموعة${\displaystyle S}$، و
• حقيقة أن الدوال التحليلية قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية ، بما أن متسلسلات القوى قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية (وهذا على عكس حالة الدوال الحقيقية القابلة للتفاضل)، و
• حقيقة أن نصف قطر التقارب هو دائماً المسافة من المركز${\displaystyle a}$إلى أقرب نقطة تفرد غير قابلة للإزالة ؛ إذا لم تكن هناك نقاط تفرد (أي، إذا${\displaystyle f}$إذا كانت دالة كاملة ، فإن نصف قطر التقارب يكون لانهائيًا. وبالمعنى الدقيق، هذه ليست نتيجة مباشرة للنظرية، بل هي نتيجة ثانوية للبرهان.
• لا يمكن لأي دالة نتوء مدعومة في مجموعة جزئية مضغوطة غير فارغة من المستوى المركب أن تكون كاملة. على وجه الخصوص، على أي مجموعة جزئية مفتوحة متصلة من المستوى المركب، لا يمكن أن توجد دالة نتوء معرفة على تلك المجموعة تكون تحليلية الشكل على المجموعة. لهذا الأمر تداعيات مهمة على دراسة المشعبات المركبة ، إذ أنه يمنع استخدام تجزئات الوحدة . في المقابل، تُعد تجزئات الوحدة أداة يمكن استخدامها على أي مشعب حقيقي.

تعتمد الحجة، التي قدمها كوشي لأول مرة، على صيغة كوشي التكاملية وتوسيع متسلسلة القوى للتعبير

${\displaystyle {\frac {1}{wz}}.}$

يترك${\displaystyle D}$ليكن قرصًا مفتوحًا مركزه عند${\displaystyle a}$ولنفترض${\displaystyle f}$قابلة للتفاضل في كل مكان داخل حي مفتوح يحتوي على إغلاق${\displaystyle D}$. يترك${\displaystyle C}$لتكن الدائرة ذات الاتجاه الموجب (أي عكس اتجاه عقارب الساعة) التي تمثل حدود${\displaystyle D}$ودع${\displaystyle z}$كن نقطة في${\displaystyle D}$انطلاقاً من صيغة كوشي التكاملية، لدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over w-z}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)-(z-a)}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {1 \over 1-{z-a \over w-a}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {\sum _{n=0}^{\infty }\left({z-a \over w-a}\right)^{n}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2\pi i}\int _{C}{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\,\mathrm {d} w.\end{aligned}}}$

يُبرر تبديل التكامل والمجموع اللانهائي بملاحظة أن${\displaystyle f(w)/(w-a)}$يحدها${\displaystyle C}$برقم موجب ما${\displaystyle M}$بينما بالنسبة للجميع${\displaystyle w}$في${\displaystyle C}$

${\displaystyle \left|{\frac {z-a}{w-a}}\right|\leq q<1}$

لبعض الإيجابيات${\displaystyle q}$كذلك. لذلك لدينا

${\displaystyle \left|{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\right|\leq Mq^{n},}$

على${\displaystyle C}$وكما يُظهر اختبار فايرشتراس إم، فإن السلسلة تتقارب بانتظام على${\displaystyle C}$، يمكن تبديل المجموع والتكامل.

كعامل${\displaystyle (z-a)^{n}}$لا يعتمد على متغير التكامل${\displaystyle w}$، يمكن استخراجه كعامل مشترك للحصول على

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(z-a)^{n}{1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} w,}$

والتي لها الشكل المطلوب لمتسلسلة قوى في${\displaystyle z}$:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}$

بمعاملات

${\displaystyle c_{n}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} w.}$

• بما أن متسلسلات القوى قابلة للتفاضل حدًا حدًا، فإن تطبيق الحجة السابقة في الاتجاه المعاكس وتعبير متسلسلة القوى لـ$${\displaystyle {\frac {1}{(w-z)^{n+1}}}}$$أعطِ$${\displaystyle f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,dw.}$$هذه صيغة كوشي التكاملية للمشتقات. لذلك، فإن متسلسلة القوى التي تم الحصول عليها أعلاه هي متسلسلة تايلور لـ${\displaystyle f}$.
• تكون الحجة صحيحة إذا${\displaystyle z}$أي نقطة أقرب إلى المركز${\displaystyle a}$أكثر مما هو عليه أي تفرد من${\displaystyle f}$لذلك، لا يمكن أن يكون نصف قطر تقارب متسلسلة تايلور أصغر من المسافة من${\displaystyle a}$إلى أقرب نقطة تفرد (ولا يمكن أن تكون أكبر، لأن متسلسلات القوى ليس لها نقاط تفرد في باطن دوائر تقاربها).
• تترتب حالة خاصة من نظرية الهوية من الملاحظة السابقة. إذا اتفقت دالتان تحليليتان على جوار مفتوح (قد يكون صغيرًا جدًا).${\displaystyle U}$ل${\displaystyle a}$ثم يتطابقان على القرص المفتوح${\displaystyle B_{d}(a)}$، أين${\displaystyle d}$هي المسافة من${\displaystyle a}$إلى أقرب نقطة تفرد.

• "وجود متسلسلات القوى" . PlanetMath .