الأساس (الطوبولوجيا)

في الرياضيات ، الأساس (أو الأساس ؛ الجمع : الأسس ) للطوبولوجيا${\displaystyle \tau }$فضاء طوبولوجي${\displaystyle (X,\tau )}$هي عائلة${\displaystyle {\mathcal {B}}}$من المجموعات الفرعية المفتوحة لـ${\displaystyle X}$بحيث تكون كل مجموعة مفتوحة في الطوبولوجيا مساوية لاتحاد بعض العائلات الفرعية من${\displaystyle {\mathcal {B}}}$على سبيل المثال، مجموعة جميع الفترات المفتوحة في خط الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$يُعد أساسًا للطوبولوجيا الإقليدية على${\displaystyle \mathbb {R} }$لأن كل فترة مفتوحة هي مجموعة مفتوحة، وكذلك كل مجموعة جزئية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} }$يمكن كتابتها كاتحاد لبعض عائلة الفترات المفتوحة.

تُعدّ القواعد أساسية في علم الطوبولوجيا. غالبًا ما يكون وصف واستخدام المجموعات المكونة لقاعدة طوبولوجية، والتي تُسمى المجموعات المفتوحة الأساسية ، أسهل من وصف واستخدام المجموعات المفتوحة العشوائية. ^{[ 1 ]} يمكن التحقق من العديد من التعريفات الطوبولوجية المهمة، مثل الاستمرارية والتقارب ، باستخدام المجموعات المفتوحة الأساسية فقط بدلًا من المجموعات المفتوحة العشوائية. تمتلك بعض الطوبولوجيات قاعدة من المجموعات المفتوحة ذات خصائص مفيدة محددة قد تُسهّل التحقق من هذه التعريفات الطوبولوجية.

ليست كل عائلات المجموعات الجزئية لمجموعة ما${\displaystyle X}$تشكيل أساس لطوبولوجيا على${\displaystyle X}$في ظل بعض الشروط المفصلة أدناه، ستشكل عائلة من المجموعات الجزئية أساسًا لطوبولوجيا (فريدة) على${\displaystyle X}$تُستخلص هذه المجموعات من خلال جمع جميع الاتحادات الممكنة للعائلات الفرعية. وتُستخدم هذه العائلات من المجموعات بكثرة لتعريف الطوبولوجيا. وهناك مفهوم أضعف مرتبط بالقواعد، وهو مفهوم القاعدة الفرعية للطوبولوجيا. كما ترتبط قواعد الطوبولوجيا ارتباطًا وثيقًا بقواعد الجوار .

بالنظر إلى فضاء طوبولوجي${\displaystyle (X,\tau )}$، قاعدة ^{[ 2 ]} (أو قاعدة ^{[ 3 ]} ) للطوبولوجيا${\displaystyle \tau }$(يُطلق عليه أيضًا قاعدة لـ${\displaystyle X}$(إذا تم فهم الطوبولوجيا) هي عائلة${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$من المجموعات المفتوحة بحيث يمكن تمثيل كل مجموعة مفتوحة في الطوبولوجيا كاتحاد لبعض العائلات الفرعية من${\displaystyle {\mathcal {B}}}$[ ^{ملاحظة 1 ]} عناصر${\displaystyle {\mathcal {B}}}$تُسمى هذه المجموعات بالمجموعات المفتوحة الأساسية . أو بعبارة أخرى، عائلة${\displaystyle {\mathcal {B}}}$من مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$يشكل أساسًا للطوبولوجيا${\displaystyle \tau }$إذا وفقط إذا${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ولكل مجموعة مفتوحة${\displaystyle U}$في${\displaystyle X}$وأشر${\displaystyle x\in U}$هناك بعض المجموعات المفتوحة الأساسية${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$بحيث${\displaystyle x\in B\subseteq U}$.

على سبيل المثال، تشكل مجموعة جميع الفترات المفتوحة في خط الأعداد الحقيقية أساسًا للطوبولوجيا القياسية على الأعداد الحقيقية. وبشكل أعم، في الفضاء المتري${\displaystyle M}$مجموعة جميع الكرات المفتوحة حول نقاط${\displaystyle M}$يشكل أساسًا للطوبولوجيا.

بشكل عام، الفضاء الطوبولوجي${\displaystyle (X,\tau )}$يمكن أن يكون لها قواعد متعددة. البنية الطوبولوجية بأكملها${\displaystyle \tau }$هي دائماً أساس لنفسها (أي،${\displaystyle \tau }$وهي قاعدة لـ${\displaystyle \tau }$بالنسبة لخط الأعداد الحقيقية، تُشكّل مجموعة جميع الفترات المفتوحة أساسًا للطوبولوجيا. وكذلك مجموعة جميع الفترات المفتوحة ذات النهايات النسبية، أو مجموعة جميع الفترات المفتوحة ذات النهايات غير النسبية، على سبيل المثال. لاحظ أنه ليس بالضرورة أن تشترك قاعدتان مختلفتان في أي مجموعة مفتوحة أساسية. إحدى الخصائص الطوبولوجية للفضاء هي${\displaystyle X}$يمثل الحد الأدنى لعدد عناصر القاعدة بالنسبة لطوبولوجيتها، ويسمى وزنها .${\displaystyle X}$ورمزت إلى${\displaystyle w(X)}$من الأمثلة المذكورة أعلاه، يتضح أن خط الأعداد الحقيقية له وزن قابل للعد.

لو${\displaystyle {\mathcal {B}}}$يشكل أساسًا للطوبولوجيا${\displaystyle \tau }$مساحة${\displaystyle X}$، فهي تحقق الخصائص التالية: ^{[ 4 ]}

(ب1) عناصر${\displaystyle {\mathcal {B}}}$غطاء${\displaystyle X}$أي، كل نقطة${\displaystyle x\in X}$ينتمي إلى عنصر من${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

(ب2) لكل${\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}}$وكل نقطة${\displaystyle x\in B_{1}\cap B_{2}}$يوجد بعض${\displaystyle B_{3}\in {\mathcal {B}}}$بحيث${\displaystyle x\in B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}}$.

الخاصية (ب1) تتوافق مع حقيقة أن${\displaystyle X}$هي مجموعة مفتوحة؛ الخاصية (B2) تتوافق مع حقيقة أن${\displaystyle B_{1}\cap B_{2}}$هي مجموعة مفتوحة.

على العكس من ذلك، لنفترض${\displaystyle X}$هي مجرد مجموعة بدون أي بنية طوبولوجية و${\displaystyle {\mathcal {B}}}$هي عائلة من المجموعات الفرعية من${\displaystyle X}$تحقيق الخاصيتين (B1) و(B2). ثم${\displaystyle {\mathcal {B}}}$هي أساس للطوبولوجيا التي تولدها. بتعبير أدق، ليكن${\displaystyle \tau }$لتكن عائلة جميع المجموعات الجزئية من${\displaystyle X}$التي هي اتحادات لعائلات فرعية من${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ثم${\displaystyle \tau }$هي طوبولوجيا على${\displaystyle X}$و${\displaystyle {\mathcal {B}}}$وهي قاعدة لـ${\displaystyle \tau }$[ ^{5 ] (} رسم تخطيطي:${\displaystyle \tau }$تُعرّف الطوبولوجيا لأنها مستقرة تحت أي اتحاد بحكم بنائها، ومستقرة تحت التقاطعات المحدودة وفقًا لـ (B2)، وتحتوي على${\displaystyle X}$بواسطة (B1)، وتحتوي على المجموعة الفارغة كاتحاد للعائلة الفرعية الفارغة من${\displaystyle {\mathcal {B}}}$العائلة${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ثم يصبح قاعدة لـ${\displaystyle \tau }$(بحسب التصميم.) تعد هذه العائلات من المجموعات طريقة شائعة جدًا لتعريف الطوبولوجيا.

بشكل عام، إذا${\displaystyle X}$هي مجموعة و${\displaystyle {\mathcal {B}}}$هي مجموعة عشوائية من المجموعات الفرعية لـ${\displaystyle X}$يوجد أصغر شكل طوبولوجي (فريد)${\displaystyle \tau }$على${\displaystyle X}$يحتوي على${\displaystyle {\mathcal {B}}}$(هذه الطوبولوجيا هي تقاطع جميع الطوبولوجيات على${\displaystyle X}$يحتوي على${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.) الطوبولوجيا${\displaystyle \tau }$يُطلق عليها اسم الطوبولوجيا المتولدة بواسطة${\displaystyle {\mathcal {B}}}$، و${\displaystyle {\mathcal {B}}}$يُطلق عليه اسم قاعدة فرعية لـ${\displaystyle \tau }$الطوبولوجيا${\displaystyle \tau }$يتكون من${\displaystyle X}$بالإضافة إلى جميع الاتحادات التعسفية للتقاطعات المحدودة لعناصر${\displaystyle {\mathcal {B}}}$(انظر المقال حول الطبقة التحتية ). الآن، إذا${\displaystyle {\mathcal {B}}}$كما أنها تحقق الخاصيتين (B1) و(B2)، والطوبولوجيا الناتجة عن${\displaystyle {\mathcal {B}}}$يمكن وصفها بطريقة أبسط دون الحاجة إلى ذكر التقاطعات:${\displaystyle \tau }$هي مجموعة جميع اتحادات عناصر${\displaystyle {\mathcal {B}}}$(و${\displaystyle {\mathcal {B}}}$وهي قاعدة لـ${\displaystyle \tau }$في تلك الحالة).

غالباً ما توجد طريقة سهلة للتحقق من الشرط (B2). إذا كان تقاطع أي عنصرين من${\displaystyle {\mathcal {B}}}$هو نفسه عنصر من${\displaystyle {\mathcal {B}}}$أو إذا كانت فارغة، فإن الشرط (B2) يتحقق تلقائيًا (عن طريق أخذ${\displaystyle B_{3}=B_{1}\cap B_{2}}$على سبيل المثال، تقبل الطوبولوجيا الإقليدية على المستوى مجموعة جميع المستطيلات المفتوحة ذات الأضلاع الأفقية والرأسية كأساس، كما أن التقاطع غير الفارغ لمجموعتين مفتوحتين أساسيتين من هذا النوع هو أيضًا مجموعة مفتوحة أساسية. لكن هناك أساس آخر لنفس الطوبولوجيا وهو مجموعة جميع الأقراص المفتوحة؛ وهنا يكون شرط الاكتمال (B2) ضروريًا.

مثال على مجموعة من المجموعات المفتوحة التي لا تشكل أساسًا هو المجموعة${\displaystyle S}$من جميع الفترات شبه اللانهائية من الأشكال${\displaystyle (-\infty ,a)}$و${\displaystyle (a,\infty )}$مع${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$الطوبولوجيا الناتجة عن${\displaystyle S}$يحتوي على جميع الفترات المفتوحة${\displaystyle (a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )}$، لذلك${\displaystyle S}$يُنشئ هذا النظام الطوبولوجيا القياسية على خط الأعداد الحقيقية. لكن${\displaystyle S}$هي مجرد قاعدة فرعية للطوبولوجيا، وليست قاعدة: فترة مفتوحة محدودة${\displaystyle (a,b)}$لا يحتوي على أي عنصر من${\displaystyle S}$(وبالتالي، فإن الخاصية (B2) لا تنطبق).

المجموعة${\displaystyle \Gamma }$من بين جميع الفترات المفتوحة في${\displaystyle \mathbb {R} }$يشكل أساسًا للطوبولوجيا الإقليدية على${\displaystyle \mathbb {R} }$.

عائلة غير فارغة من المجموعات الجزئية لمجموعة${\displaystyle X}$أي أنها مغلقة تحت التقاطعات المحدودة لمجموعتين أو أكثر، وهو ما يسمى بـ${\displaystyle \pi }$-النظام قيد التشغيل${\displaystyle X}$، هي بالضرورة أساس لطوبولوجيا على${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا كان يغطي${\displaystyle X}$بحسب التعريف، كل جبر سيجما ، وكل مرشح (وبالتالي على وجه الخصوص، كل مرشح جوار )، وكل طوبولوجيا هي تغطية${\displaystyle \pi }$-نظام، وبالتالي أساس للطوبولوجيا. في الواقع، إذا${\displaystyle \Gamma }$هو فلتر على${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle \{\varnothing \}\cup \Gamma }$هي طوبولوجيا على${\displaystyle X}$و${\displaystyle \Gamma }$يُعدّ أساسًا لذلك. لا يشترط أن يكون أساس الطوبولوجيا مغلقًا تحت التقاطعات المحدودة، والعديد منها ليس كذلك. ومع ذلك، تُعرَّف العديد من الطوبولوجيات بأسس مغلقة أيضًا تحت التقاطعات المحدودة. على سبيل المثال، كل عائلة من العائلات التالية من المجموعات الجزئية لـ${\displaystyle \mathbb {R} }$تكون مغلقة تحت التقاطعات المحدودة، وبالتالي يشكل كل منها أساسًا لبعض الطوبولوجيا على${\displaystyle \mathbb {R} }$:

• المجموعة${\displaystyle \Gamma }$من بين جميع الفترات المفتوحة المحدودة في${\displaystyle \mathbb {R} }$يُنشئ الطوبولوجيا الإقليدية المعتادة على${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• المجموعة${\displaystyle \Sigma }$من بين جميع الفترات المغلقة المحدودة في${\displaystyle \mathbb {R} }$يُنشئ الطوبولوجيا المنفصلة على${\displaystyle \mathbb {R} }$وبالتالي فإن الطوبولوجيا الإقليدية هي مجموعة جزئية من هذه الطوبولوجيا. وذلك على الرغم من حقيقة أن${\displaystyle \Gamma }$ليست مجموعة فرعية من${\displaystyle \Sigma }$وبالتالي، فإن البنية الطوبولوجية الناتجة عن${\displaystyle \Gamma }$، وهو ما يُعرف بالطوبولوجيا الإقليدية على${\displaystyle \mathbb {R} }$، وهي أكثر خشونة من الطوبولوجيا التي تم إنشاؤها بواسطة${\displaystyle \Sigma }$في الواقع، هو أكثر خشونة بشكل واضح لأن${\displaystyle \Sigma }$تحتوي على مجموعات مضغوطة غير فارغة لا تكون مفتوحة أبدًا في الطوبولوجيا الإقليدية.
• المجموعة${\displaystyle \Gamma _{\mathbb {Q} }}$من بين جميع الفترات في${\displaystyle \Gamma }$بحيث يكون طرفا الفترة أعدادًا نسبية، ينتج نفس البنية الطوبولوجية كما${\displaystyle \Gamma }$ويظل هذا صحيحًا إذا كان كل مثال للرمز${\displaystyle \Gamma }$يتم استبدالها بـ${\displaystyle \Sigma }$.
• ${\displaystyle \Sigma _{\infty }=\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}}$ينتج عنها بنية طوبولوجية أكثر خشونة من البنية الطوبولوجية التي ينتجها${\displaystyle \Sigma }$لا يوجد عنصر من${\displaystyle \Sigma _{\infty }}$مفتوح في الطوبولوجيا الإقليدية على${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• ${\displaystyle \Gamma _{\infty }=\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}}$تُنتج هذه الطريقة طوبولوجيا أكثر خشونة من كل من الطوبولوجيا الإقليدية والطوبولوجيا التي تُنتجها${\displaystyle \Sigma _{\infty }}$المجموعات${\displaystyle \Sigma _{\infty }}$و${\displaystyle \Gamma _{\infty }}$منفصلة، ​​ولكن مع ذلك${\displaystyle \Gamma _{\infty }}$هي مجموعة فرعية من الطوبولوجيا التي تم إنشاؤها بواسطة${\displaystyle \Sigma _{\infty }}$.

• الطوبولوجيا${\displaystyle \tau _{2}}$أدق من الطوبولوجيا${\displaystyle \tau _{1}}$إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle x\in X}$وكل مجموعة مفتوحة أساسية${\displaystyle B}$ل${\displaystyle \tau _{1}}$يحتوي على${\displaystyle x}$، هناك مجموعة مفتوحة أساسية من${\displaystyle \tau _{2}}$يحتوي على${\displaystyle x}$والموجودة في${\displaystyle B}$.
• لو${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1},\ldots ,{\mathcal {B}}_{n}}$هي أساسات للطوبولوجيا${\displaystyle \tau _{1},\ldots ,\tau _{n}}$ثم مجموعة جميع المنتجات المحددة${\displaystyle B_{1}\times \cdots \times B_{n}}$مع كل${\displaystyle B_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$يشكل أساسًا لبنية المنتج${\displaystyle \tau _{1}\times \cdots \times \tau _{n}.}$في حالة المنتج اللانهائي، ينطبق هذا الأمر أيضاً، باستثناء أن جميع العناصر الأساسية باستثناء عدد محدود منها يجب أن تكون الفضاء بأكمله.
• يترك${\displaystyle {\mathcal {B}}}$كن قاعدة لـ${\displaystyle X}$ودع${\displaystyle Y}$ليكن فضاءً جزئياً من${\displaystyle X}$ثم إذا قمنا بتقاطع كل عنصر من${\displaystyle {\mathcal {B}}}$مع${\displaystyle Y}$، تشكل المجموعة الناتجة من المجموعات أساسًا للفضاء الجزئي${\displaystyle Y}$.
• إذا كانت دالة${\displaystyle f:X\to Y}$تُحدد الخرائط كل مجموعة مفتوحة أساسية من${\displaystyle X}$في مجموعة مفتوحة من${\displaystyle Y}$إنها خريطة مفتوحة . وبالمثل، إذا كانت كل صورة عكسية لمجموعة مفتوحة أساسية من${\displaystyle Y}$مفتوح في${\displaystyle X}$، ثم${\displaystyle f}$متصل .​
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$هي أساس للفضاء الطوبولوجي${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا كانت المجموعة الفرعية من العناصر${\displaystyle {\mathcal {B}}}$والتي تحتوي${\displaystyle x}$تكوين قاعدة محلية في${\displaystyle x}$، لأي نقطة${\displaystyle x\in X}$.

تُعدّ المجموعات المغلقة بارعةً بنفس القدر في وصف طوبولوجيا الفضاء. ولذلك، يوجد مفهوم مزدوج للأساس للمجموعات المغلقة في الفضاء الطوبولوجي. بالنظر إلى فضاء طوبولوجي${\displaystyle X,}$عائلة​${\displaystyle {\mathcal {C}}}$تشكل مجموعة من المجموعات المغلقة أساسًا للمجموعات المغلقة إذا وفقط إذا كان لكل مجموعة مغلقة${\displaystyle A}$وكل نقطة${\displaystyle x}$ليس في${\displaystyle A}$يوجد عنصر من${\displaystyle {\mathcal {C}}}$يحتوي على${\displaystyle A}$لكن لا تحتوي على${\displaystyle x.}$ عائلة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$هي أساس للمجموعات المغلقة من${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا كان ثنائيها في${\displaystyle X,}$تلك هي العائلة${\displaystyle \{X\setminus C:C\in {\mathcal {C}}\}}$من أعضاء​${\displaystyle {\mathcal {C}}}$، هي قاعدة للمجموعات المفتوحة لـ${\displaystyle X.}$

يترك${\displaystyle {\mathcal {C}}}$كن أساسًا للمجموعات المغلقة من${\displaystyle X.}$ثم

1. ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {C}}=\varnothing }$
2. لكل${\displaystyle C_{1},C_{2}\in {\mathcal {C}}}$الاتحاد${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$هو تقاطع بعض العائلات الفرعية من${\displaystyle {\mathcal {C}}}$(أي، لأي${\displaystyle x\in X}$ليس في${\displaystyle C_{1}{\text{ or }}C_{2}}$هناك بعض${\displaystyle C_{3}\in {\mathcal {C}}}$يحتوي على${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$ولا يحتوي على${\displaystyle x}$).

أي مجموعة من المجموعات الجزئية لمجموعة${\displaystyle X}$إن استيفاء هذه الخصائص يشكل أساسًا للمجموعات المغلقة في طوبولوجيا على${\displaystyle X.}$المجموعات المغلقة لهذه الطوبولوجيا هي تحديدًا تقاطعات عناصر${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

في بعض الحالات، يكون من الأنسب استخدام قاعدة للمجموعات المغلقة بدلاً من المجموعات المفتوحة. على سبيل المثال، يكون الفضاء منتظمًا تمامًا إذا وفقط إذا كانت المجموعات الصفرية تُشكّل قاعدة للمجموعات المغلقة. بالنظر إلى أي فضاء طوبولوجي${\displaystyle X,}$تشكل المجموعات الصفرية الأساس للمجموعات المغلقة لبعض الطوبولوجيا على${\displaystyle X.}$ستكون هذه الطوبولوجيا أفضل طوبولوجيا منتظمة تمامًا على${\displaystyle X}$أكثر خشونة من الأصل. وبالمثل، فإن طوبولوجيا زاريسكي على${\displaystyle A^{n}}$يتم تعريفها من خلال أخذ مجموعات الأصفار للدوال متعددة الحدود كأساس للمجموعات المغلقة.

سنعمل مع المفاهيم التي تم وضعها في ( إنجلكينج 1989 ، ص 12، ص 127-128) .

يصلح${\displaystyle X}$فضاء طوبولوجي. هنا، الشبكة عبارة عن عائلة${\displaystyle {\mathcal {N}}}$من المجموعات، والتي، بالنسبة لجميع النقاط${\displaystyle x}$والأحياء المفتوحة U التي تحتوي${\displaystyle x}$، يوجد${\displaystyle B}$في${\displaystyle {\mathcal {N}}}$والتي${\displaystyle x\in B\subseteq U.}$لاحظ أنه على عكس الأساس، فإن المجموعات في الشبكة لا يلزم أن تكون مفتوحة.

نحدد الوزن ،${\displaystyle w(X)}$، باعتبارها الحد الأدنى لعدد عناصر الأساس؛ نُعرّف وزن الشبكة ،${\displaystyle nw(X)}$، باعتباره الحد الأدنى لعدد عناصر الشبكة؛ وخصائص النقطة ،${\displaystyle \chi (x,X),}$كحد أدنى لعدد السكان في أساس الجوار لـ${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$وشخصية​​${\displaystyle X}$يكون $${\displaystyle \chi (X)\triangleq \sup\{\chi (x,X):x\in X\}.}$$

يكمن الهدف من حساب الحرف والوزن في تحديد أنواع القواعد والقواعد المحلية الممكنة. لدينا الحقائق التالية:

• ${\displaystyle nw(X)\leq w(X)}$.
• لو${\displaystyle X}$إذا كانت منفصلة،${\displaystyle w(X)=nw(X)=|X|}$.
• لو${\displaystyle X}$هو هاوسدورف، إذن${\displaystyle nw(X)}$تكون محدودة إذا وفقط إذا${\displaystyle X}$هي مجموعة منفصلة محدودة.
• لو${\displaystyle B}$يشكل أساسًا لـ${\displaystyle X}$إذن هناك أساس${\displaystyle B'\subseteq B}$من الحجم${\displaystyle |B'|\leq w(X).}$
• لو${\displaystyle N}$يُعد أساسًا للحي لـ${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$ثم هناك أساس الجوار${\displaystyle N'\subseteq N}$من الحجم${\displaystyle |N'|\leq \chi (x,X).}$
• لو${\displaystyle f:X\to Y}$إذا كان تطبيقًا شاملاً متصلاً،${\displaystyle nw(Y)\leq w(X)}$(ببساطة ضع في اعتبارك${\displaystyle Y}$-شبكة${\displaystyle fB\triangleq \{f(U):U\in B\}}$لكل أساس${\displaystyle B}$ل${\displaystyle X}$.)
• لو${\displaystyle (X,\tau )}$إذا كانت هاوسدورف، فإنه يوجد طوبولوجيا هاوسدورف أضعف${\displaystyle (X,\tau ')}$لهذا السبب.${\displaystyle w(X,\tau ')\leq nw(X,\tau ).}$لذا من باب أولى ، إذا${\displaystyle X}$إذا كانت متراصة أيضًا، فإن هذه البنى الطوبولوجية تتطابق، وبالتالي، بالإضافة إلى الحقيقة الأولى، لدينا${\displaystyle nw(X)=w(X)}$.
• لو${\displaystyle f:X\to Y}$خريطة شاملة متصلة من فضاء متري مضغوط إلى فضاء هاوسدورف ، ثم${\displaystyle Y}$مضغوط وقابل للقياس.

الحقيقة الأخيرة تنبع من${\displaystyle f(X)}$كونها هاوسدورف المدمجة، وبالتالي${\displaystyle nw(f(X))=w(f(X))\leq w(X)\leq \aleph _{0}}$(بما أن الفضاءات المترية المدمجة قابلة للعد من الدرجة الثانية بالضرورة)؛ بالإضافة إلى حقيقة أن فضاءات هاوسدورف المدمجة قابلة للقياس تحديدًا إذا كانت قابلة للعد من الدرجة الثانية. (ومن تطبيقات ذلك، على سبيل المثال، أن كل مسار في فضاء هاوسدورف يكون متريًا مدمجًا).

• نظرية إيسينين-فولبين
• مبدأ اللصق
• نظام الأحياء