التوزيع ذو المعلمات الكمية

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 64 صور
الموسوعة الحرة

التوزيع الكمي المُعَلم (QPD) هو توزيع احتمالي يُعَلم مباشرةً بالبيانات. وقد صُمِّم لتلبية الحاجة إلى توزيعات احتمالية متصلة سهلة الاستخدام ومرنة بما يكفي لتمثيل نطاق واسع من حالات عدم اليقين، كتلك الشائعة في مجالات الأعمال والاقتصاد والهندسة والعلوم. ولأن التوزيع الكمي المُعَلم يُعَلم مباشرةً بالبيانات، فإنه يتميز بميزة عملية تتمثل في تجنب خطوة تقدير المعلمات الوسيطة ، وهي عملية تستغرق وقتًا طويلاً وتتطلب عادةً أساليب تكرارية غير خطية لتقدير معلمات التوزيع الاحتمالي من البيانات. كما أن بعض التوزيعات الكمية المُعَلمة تتمتع بمرونة شكل غير محدودة تقريبًا، بالإضافة إلى إمكانية حساب العزوم بصيغة مغلقة.

تاريخ

استُلهم تطوير التوزيعات المُعَلمة بالكميات من الحاجة العملية إلى توزيعات احتمالية متصلة مرنة يسهل ملاءمتها للبيانات. تاريخيًا، استُخدمت عائلتا توزيعات بيرسون [ 1 ] وجونسون [ 2 ] [ 3 ] عندما تكون مرونة الشكل مطلوبة. وذلك لأن كلتا العائلتين تستطيعان مطابقة اللحظات الأربع الأولى (المتوسط، والتباين، والالتواء، والتفرطح) لأي مجموعة بيانات . مع ذلك ، في كثير من الحالات، يصعب ملاءمة هذه التوزيعات للبيانات أو لا تتمتع بالمرونة الكافية لملاءمتها بشكل مناسب.

على سبيل المثال، يُعد توزيع بيتا توزيعًا مرنًا لبيرسون يُستخدم بكثرة لنمذجة النسب المئوية لمجتمع ما. مع ذلك، إذا كانت خصائص هذا المجتمع تتطلب أن تمر دالة التوزيع التراكمي (CDF) المطلوبة بنقاط محددة، فقد لا يوجد توزيع بيتا يلبي هذه الحاجة. ولأن توزيع بيتا لا يحتوي إلا على مُعاملَي شكل، فإنه لا يستطيع، عمومًا، مطابقة حتى ثلاث نقاط محددة من دالة التوزيع التراكمي. علاوة على ذلك، لا يمكن إيجاد مُعاملَي بيتا اللذين يُناسبان هذه البيانات على أفضل وجه إلا باستخدام طرق تكرارية غير خطية.

ابتكر ممارسو تحليل القرار ، الذين يحتاجون إلى توزيعات يسهل تحديد معالمها بثلاث نقاط أو أكثر من دالة التوزيع التراكمي (على سبيل المثال، لأن هذه النقاط حُددت نتيجةً لعملية استخلاص آراء الخبراء )، التوزيعات المُعَلمة بالكميات لهذا الغرض. وقدّم كيلين وباولي (2011) [ 4 ] التعريف الأصلي. وفي وقت لاحق، طوّر كيلين (2016) [ 5 ] توزيعات الميتالوج ، وهي مجموعة من التوزيعات المُعَلمة بالكميات تتميز بمرونة شكل غير محدودة تقريبًا، ومعادلات بسيطة، وعزوم مغلقة.

تعريف

عرّف كيلين وباولي [ 4 ] التوزيع المُعَلم بالكميات بأنه التوزيع الذي يمكن كتابة دالة الكمية الخاصة به (دالة التوزيع التراكمي العكسي) على النحو التالي:

F-1(y)={ل0ل y=0∑أنا=1نأأنازأنا(y)ل 0<y<1ل1ل y=1{\displaystyle F^{-1}(y)=\left\{{\begin{array}{cl}L_{0}&{\text{لـ }}y=0\\\sum _{i=1}^{n}a_{i}g_{i}(y)&{\text{لـ }}0<y<1\\L_{1}&{\mbox{لـ }}y=1\end{array}}\right.}

أين

ل0=ليمy→0+F-1(y)ل1=ليمy→1-F-1(y){\displaystyle {\begin{array}{rcl}L_{0}&=&\lim _{y\rightarrow 0^{+}}F^{-1}(y)\\L_{1}&=&\lim _{y\rightarrow 1^{-}}F^{-1}(y)\end{array}}}

والوظائفزأنا(y){\displaystyle g_{i}(y)}هي دوال أساسية قابلة للتفاضل باستمرار ومستقلة خطيًا . هنا، بشكل أساسي،ل0{\displaystyle L_{0}}ول1{\displaystyle L_{1}}يمثل الحد الأدنى والحد الأعلى (إن وجدا) لمتغير عشوائي ذي دالة كميةF-1(y){\displaystyle F^{-1}(y)}تُسمى هذه التوزيعات بالتوزيعات الكمية المعيارية، لأنه بالنسبة لمجموعة معينة من أزواج الكميات المعيارية{(xأنا،yأنا)|أنا=1،...،ن}{\displaystyle \{(x_{i},y_{i})\mid i=1,\ldots ,n\}}، أينxأنا=F-1(yأنا){\displaystyle x_{i}=F^{-1}(y_{i})}ومجموعة منن{\displaystyle n}دوال الأساسزأنا(y){\displaystyle g_{i}(y)}، المعاملاتأأنا{\displaystyle a_{i}}يمكن تحديدها عن طريق حل مجموعة من المعادلات الخطية. [ 4 ] إذا رغب المرء في استخدام عدد أكبر من أزواج الكميات مقارنةً بدوال الأساس، فإن المعاملاتأأنا{\displaystyle a_{i}}يمكن اختيارها لتقليل مجموع مربعات الأخطاء بين الكميات المحددةxأنا{\displaystyle x_{i}}وF-1(yأنا){\displaystyle F^{-1}(y_{i})}يوضح كيلين وباولي [ 4 ] هذا المفهوم لاختيار محدد لدوال الأساس التي تمثل تعميمًا لدالة الكمية للتوزيع الطبيعي .x=μ+σΦ-1(y){\displaystyle x=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(y)}، والتي يكون المتوسطμ{\displaystyle \mu }والانحراف المعياريσ{\displaystyle \sigma }هي دوال خطية للاحتمال التراكميy{\displaystyle y}:

μ(y)=أ1+أ4y{\displaystyle \mu (y)=a_{1}+a_{4}y}
σ(y)=أ2+أ3y{\displaystyle \sigma (y)=a_{2}+a_{3}y}

والنتيجة هي توزيع ذو أربعة معلمات يمكن مطابقته بدقة مع مجموعة من أربعة أزواج من الكميات/الاحتمالات، أو مع أي عدد من هذه الأزواج باستخدام طريقة المربعات الصغرى الخطية . يُطلق كيلين وباولي [ 4 ] على هذا التوزيع اسم التوزيع الطبيعي البسيط Q. تُظهر الأشكال أدناه بعض دوال كثافة الاحتمال للتوزيع الطبيعي البسيط Q، سواءً كانت ملتوية أو متماثلة.

دوال كثافة الاحتمال المتناظرة البسيطة Q-المعيارية
دوال كثافة الاحتمال المتناظرة البسيطة Q-normal
توزيعات دالة كثافة الاحتمال البسيطة المنحرفة Q-Normal

ملكيات

تتمتع QPDs التي تفي بتعريف كيلين وباولي بالخصائص التالية.

دالة كثافة الاحتمال

التمايزx=F-1(y)=∑أنا=1نأأنازأنا(y){\displaystyle x=F^{-1}(y)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}g_{i}(y)}بالنسبة إلىy{\displaystyle y}العائددx/دy{\displaystyle dx/dy}مقلوب هذه الكمية،دy/دx{\displaystyle dy/dx}، هي دالة كثافة الاحتمال (PDF)

و(y)=(∑أنا=1نأأنادزأنا(y)دy)-1{\displaystyle f(y)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{{dg_{i}(y)} \over {dy}}\right)^{-1}}

أين0<y<1{\displaystyle 0<y<1}لاحظ أن دالة كثافة الاحتمال هذه معبر عنها كدالة للاحتمال التراكميy{\displaystyle y}بدلاً منx{\displaystyle x}لرسمها، كما هو موضح في الأشكال، قم بتغييرy∈(0،1){\displaystyle y\in (0,1)}بشكل بارامتري. ارسمx=F-1(y){\displaystyle x=F^{-1}(y)}على المحور الأفقي وو(y){\displaystyle f(y)}على المحور الرأسي.

دراسة الجدوى

دالة على شكلF-1(y){\displaystyle F^{-1}(y)}يكون توزيع الاحتمال ممكناً إذا وفقط إذاو(y)>0{\displaystyle f(y)>0}للجميعy∈(0،1){\displaystyle y\in (0,1)}[ 4 ] وهذا يستلزم قيدًا على جدوى مجموعة المعاملاتأ=(أ1،...،أن)∈Rن{\displaystyle {\boldsymbol {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}:

∑أنا=1نأأنادزأنا(y)دy>0{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}{{dg_{i}(y)} \over {dy}}>0}للجميعy∈(0،1){\displaystyle y\in (0,1)}

في التطبيقات العملية، يجب عموماً التحقق من الجدوى بدلاً من افتراضها.

تحدب

مجموعة المعاملات الممكنة لـ QPDSأ={أ∈Rن|∑أنا=1نأأنادزأنا(y)/دy>0{\displaystyle S_{\boldsymbol {a}}=\{{\boldsymbol {a}}\in \mathbb {R} ^{n}\mid \sum _{i=1}^{n}a_{i}dg_{i}(y)/dy>0} للجميعy∈(0،1)}{\displaystyle y\in (0,1)\}}محدبة . ولأن التحسين المحدب يتطلب مجموعات ممكنة محدبة، فإن هذه الخاصية تبسط تطبيقات التحسين التي تتضمن مسائل التحسين التربيعي الجزئي .

التوافق مع البيانات

المعاملاتأ{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}يمكن تحديدها من البيانات باستخدام طريقة المربعات الصغرى الخطية .م{\displaystyle m}نقاط البيانات(xأنا،yأنا){\displaystyle (x_{i},y_{i})}والتي تهدف إلى تحديد خصائص دالة التوزيع التراكمي لـ QPD،م×ن{\displaystyle m\times n}مصفوفةY{\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}والتي تتكون عناصرها منزج(yأنا){\displaystyle g_{j}(y_{i})}إذن، طالماYتيY{\displaystyle {\boldsymbol {Y}}^{T}{\boldsymbol {Y}}}متجه عمودي للمعاملات قابل للعكسأ{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}يمكن تحديد ذلك على النحو التاليأ=(YتيY)-1Yتيx{\displaystyle {\boldsymbol {a}}=({\boldsymbol {Y}}^{T}{\boldsymbol {Y}})^{-1}{\boldsymbol {Y}}^{T}{\boldsymbol {x}}}، أينم≥ن{\displaystyle m\geq n}ومتجه عموديx=(x1،...،xم){\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\ldots ,x_{m})}. لوم=ن{\displaystyle m=n}، وتختزل هذه المعادلة إلىأ=Y-1x{\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {Y}}^{-1}{\boldsymbol {x}}}حيث يمرّ التوزيع التراكمي الناتج عبر جميع نقاط البيانات بدقة. وهناك طريقة بديلة، تُنفّذ كبرنامج خطي، تحدد المعاملات عن طريق تقليل مجموع المسافات المطلقة بين التوزيع التراكمي والبيانات مع مراعاة قيود الجدوى. [ 6 ]

مرونة الشكل

مخطط جودة معن{\displaystyle n}الشروط، حيثن≥2{\displaystyle n\geq 2}، لديهن-2{\displaystyle n-2}معلمات الشكل. وبالتالي، يمكن أن تكون توزيعات QPD أكثر مرونة بكثير من توزيعات بيرسون ، التي تحتوي على معلمتين للشكل على الأكثر. على سبيل المثال، ثبت أن توزيعات ميتالوج ذات العشرة حدود ، والمعلمة بـ 105 نقطة من دالة التوزيع التراكمي (CDF) من 30 توزيعًا مصدريًا تقليديًا (بما في ذلك التوزيع الطبيعي، وتوزيع t للطالب، والتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي، وتوزيع جاما، وتوزيع بيتا، وتوزيع القيمة القصوى)، تقارب كل توزيع مصدري من هذا القبيل ضمن مسافة كولموغوروف -سميرنوف (K-S) تبلغ 0.001 أو أقل. [ 7 ]

التحولات

تخضع تحويلات QPD لخاصية عامة لدوال الكمية: لأي دالة كميةx=سؤال(y){\displaystyle x=Q(y)}وزيادة الوظيفةت(x)،x=ت-1(سؤال(y)){\displaystyle t(x),x=t^{-1}(Q(y))}هي دالة كمية . [ 8 ] على سبيل المثال، الدالة الكمية للتوزيع الطبيعي ،x=μ+σΦ-1(y){\displaystyle x=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(y)}، هو دالة تربيعية متعددة الأبعاد وفقًا لتعريف كيلين وباولي. اللوغاريتم الطبيعي ،ت(x)=ln⁡(x-بل){\displaystyle t(x)=\ln(x-b_{l})}، هي دالة متزايدة، لذاx=بل+هـμ+σΦ-1(y){\displaystyle x=b_{l}+e^{\mu +\sigma \Phi ^{-1}(y)}}هي دالة الكمية للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي ذات الحد الأدنىبل{\displaystyle b_{l}}من المهم أن هذا التحويل يحول توزيع QPD غير المحدود إلى توزيع QPD شبه محدود. وبالمثل، فإن تطبيق هذا التحويل اللوغاريتمي على توزيع الميتالوج غير المحدود [ 9 ] ينتج عنه توزيع الميتالوج شبه المحدود (اللوغاريتمي) ؛ [ 10 ] وبالمثل، فإن تطبيق تحويل اللوجيت،ت(x)=ln⁡((x-بل)/(بu-x)){\displaystyle t(x)=\ln((x-b_{l})/(b_{u}-x))}ينتج عن ذلك توزيع ميتالوج محدود (لوجيت) [ 10 ] بحدود دنيا وعليا.بل{\displaystyle b_{l}}وبu{\displaystyle b_{u}}على التوالي. علاوة على ذلك، من خلال النظر فيت(x){\displaystyle t(x)}يكونF-1(y){\displaystyle F^{-1}(y)}موزعة، حيثF-1(y){\displaystyle F^{-1}(y)}إذا كان أي نموذج QPD يفي بتعريف كيلين وباولي، فإن المتغير المُحوَّل يحتفظ بالخصائص المذكورة أعلاه من حيث الجدوى والتحدب وملاءمة البيانات. تتمتع نماذج QPD المُحوَّلة هذه بمرونة شكل أكبر من النموذج الأصلي.F-1(y){\displaystyle F^{-1}(y)}، والتي لديهان-2{\displaystyle n-2}معلمات الشكل؛ التحويل اللوغاريتمي لهن-1{\displaystyle n-1}معلمات الشكل، وتحويل اللوجيت لهن{\displaystyle n}معلمات الشكل. علاوة على ذلك، تشترك هذه المخططات شبه المحددة المحولة في نفس مجموعة المعاملات الممكنة مثل المخطط شبه المحدد الأصلي غير المحول. [ 11 ]

لحظات

الكتح{\displaystyle k^{th}}لحظة QPD هي: [ 4 ]

هـ[xك]=∫01(∑أنا=1نأأنازأنا(y))كدy{\displaystyle E[x^{k}]=\int _{0}^{1}\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}g_{i}(y)\right)^{k}dy}

يعتمد وجود هذه اللحظات بصيغة مغلقة على اختيار دوال الأساس QPDزأنا(y){\displaystyle g_{i}(y)}يُعد توزيع الميتالوج غير المحدود وتوزيعات QPD متعددة الحدود أمثلة على توزيعات QPD التي توجد لها عزوم بصيغة مغلقة كدوال للمعاملات.أأنا{\displaystyle a_{i}}.

محاكاة

بما أن دالة الكميةx=F-1(y){\displaystyle x=F^{-1}(y)}تُعبَّر عنها بصيغة مغلقة، وتُسهِّل دوال كيلين وباولي شبه الكمية محاكاة مونت كارلو . يتم استبدالها بعينات عشوائية موزعة بشكل منتظم منy{\displaystyle y}ينتج عينات عشوائية منx{\displaystyle x}بصيغة مغلقة، مما يلغي الحاجة إلى عكس دالة التوزيع التراكمي المعبر عنها على النحو التاليy=F(x){\displaystyle y=F(x)}.

تُعتبر التوزيعات الاحتمالية التالية توزيعات احتمالية شبهية وفقًا لتعريف كيلين وباولي:

على غرار توزيعات SPT الميتالوجية، تُحدد معلمات توزيعات جونسون الكمية المعيارية [ 14 ] [ 15 ] (JQPDs) بثلاث كميات. لا تفي JQPDs بتعريف كيلين وباولي لتوزيعات الكمية المعيارية، بل لها خصائصها الخاصة. تُعد JQPDs قابلة للتطبيق على جميع مجموعات معلمات SPT المتوافقة مع قواعد الاحتمالات .

التطبيقات

استُخدمت التوزيعات الكمية الاحتمالية (QPDs) في الأصل من قِبل محللي القرار الذين يرغبون في تحويل الكميات المُقَيَّمة من قِبَل الخبراء (مثل الكميات العاشرة والخمسين والتسعين) إلى توزيعات احتمالية متصلة سلسة. كما استُخدمت التوزيعات الكمية الاحتمالية لملاءمة بيانات المخرجات من عمليات المحاكاة لتمثيل تلك المخرجات (كل من دوال التوزيع التراكمي ودوال كثافة الاحتمال) كتوزيعات متصلة ذات صيغة مغلقة. [ 16 ] عند استخدامها بهذه الطريقة، تكون عادةً أكثر استقرارًا وسلاسة من المدرجات التكرارية. وبالمثل، نظرًا لأن التوزيعات الكمية الاحتمالية تفرض قيودًا أقل على الشكل مقارنةً بالتوزيعات التقليدية، فقد استُخدمت لملاءمة نطاق واسع من البيانات التجريبية لتمثيل مجموعات البيانات تلك كتوزيعات متصلة (على سبيل المثال، عكس ثنائية النمط التي قد توجد في البيانات بطريقة مباشرة [ 17 ] ). تُمكِّن معلمات الكميات من تمثيل التوزيعات المعروفة بصيغة مغلقة، والتي لا توجد دوال توزيع تراكمي لها بصيغة مغلقة . (كيلين وآخرون). (2019) [ 18 ] يطبق هذا على مجموع توزيعات لوغاريتمية طبيعية مستقلة ومتطابقة التوزيع، حيث يمكن تحديد كميات المجموع من خلال عدد كبير من عمليات المحاكاة. تُستخدم تسع كميات من هذه الكميات لضبط معلمات توزيع ميتالوغ شبه المحدود الذي يمر عبر كل من هذه الكميات التسع بدقة. كما طُبقت توزيعات الكميات الكمية لتقييم مخاطر اصطدام الكويكبات، [ 19 ] والأمن السيبراني، [ 6 ] [ 20 ] والتحيزات في توقعات إنتاج حقول النفط عند مقارنتها بالإنتاج المرصود بعد حدوثه، [ 21 ] وتوقعات عدد سكان كندا في المستقبل بناءً على الجمع بين وجهات النظر الاحتمالية لعدة خبراء. [ 22 ] انظر توزيعات ميتالوغ وكيلين (2016) [ 5 ] لمزيد من التطبيقات لتوزيع ميتالوغ.

مراجع

  1. ↑ جونسون إن إل، كوتز إس، بالاكريشنان إن. التوزيعات أحادية المتغير المستمرة، المجلد 1، الطبعة الثانية، جون وايلي وأولاده المحدودة، 1994، ص 15-25.
  2. ↑ جونسون، ن. ل. (1949). " أنظمة منحنيات التردد الناتجة عن طرق الإزاحة". Biometrika . 36 (1/2): 149–176 . doi : 10.2307/2332539 . JSTOR 2332539. PMID 18132090 .  
  3. ↑ تاديكامالا، باندو ر.؛ جونسون، نورمان ل. (1982). "أنظمة منحنيات التردد الناتجة عن تحويلات المتغيرات اللوجستية". Biometrika . 69 (2): 461–465 . doi : 10.1093/biomet/69.2.461 . JSTOR 2335422 . 
  4. 1 2 3 4 5 6 7 كيلين، توماس و.؛ باولي، برادفورد و. (2011). "التوزيعات المُعَلمة بالكميات". تحليل القرار . 8 (3): 206-219 . doi : 10.1287/deca.1110.0213 .
  5. 1 2 كيلين، توماس و. (2016). "توزيعات الميتالوج". تحليل القرار . 13 (4): 243-277 . doi : 10.1287/deca.2016.0338 .
  6. 1 2 فابر، إسحاق جاستن؛ باتيه-كورنيل، إم. إليزابيث؛ لين، هربرت؛ شاختر، روس د. (2019). إدارة المخاطر السيبرانية: تحذيرات من التهديدات مُولَّدة بواسطة الذكاء الاصطناعي (أطروحة). جامعة ستانفورد.
  7. ↑ كيلين، توماس و. (2016). "توزيعات الميتالوج". تحليل القرار . 13 (4). الجدول 8. doi : 10.1287/deca.2016.0338 .
  8. ↑ جيلكريست، دبليو، 2000. النمذجة الإحصائية باستخدام دوال الكمية. مطبعة سي آر سي.
  9. ↑ كيلين، توماس و. (2016). "توزيعات الميتالوج". تحليل القرار . 13 (4). القسم 3، ص 249-257. doi : 10.1287/deca.2016.0338 .
  10. 1 2 كيلين، توماس و. (2016). "توزيعات الميتالوج". تحليل القرار . 13 (4). القسم 4. doi : 10.1287/deca.2016.0338 .
  11. ↑ باولي، ب. و. (2013). "أساليب دالة الكمية لتحليل القرار". النتيجة 12، ص 30. أطروحة دكتوراه، جامعة ستانفورد
  12. ↑ كيلين، توماس و.؛ باولي، برادفورد و. (2011). "التوزيعات المُعَلمة بالكميات". تحليل القرار . 8 (3). ص 208-210. doi : 10.1287/deca.1110.0213 .
  13. ↑ كيلين، توماس و. (2016). "توزيعات الميتالوج". تحليل القرار . 13 (4): 253. doi : 10.1287/deca.2016.0338 .
  14. ↑ هادلوك، كريستوفر سي؛ بيكل، ج. إريك (2017). "توزيعات جونسون الكمية ذات المعلمات" . تحليل القرار . 14 : 35-64 . doi : 10.1287/deca.2016.0343 .
  15. ↑ هادلوك، كريستوفر سي؛ بيكل، ج. إريك (2019). "نظام توزيع جونسون الكمي المُعَمَّم" . تحليل القرار . 16 : 67-85 . doi : 10.1287/deca.2018.0376 . S2CID 159339224 . 
  16. ↑ كيلين، تي دبليو (2016)، القسم 6.2.2، الصفحات 271-274.
  17. ↑ كيلين، تي دبليو (2016)، القسم 6.1.1، الشكل 10، الصفحات 266-267.
  18. ↑ مصطفى، ن. (18 مايو 2020). التوزيعات الميتالوجية ومجاميع التوزيعات اللوغاريتمية الطبيعية فائقة الدقة بصيغة مغلقة . معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات (IEEE). الصفحات 3074-3085 . ISBN  978-1-7281-3283-9.
  19. ↑ راينهارت، جيسون سي؛ تشين، شي؛ ليو، وينهاو؛ مانشيف، بيتر؛ باتيه-كورنيل، إم. إليزابيث (2016). "تقييم مخاطر الكويكبات: منهج احتمالي". تحليل المخاطر . 36 (2): 244-261 . Bibcode : 2016RiskA..36..244R . doi : 10.1111/risa.12453 . PMID 26215051. S2CID 23308354 .  
  20. ↑ وانغ، جيالي؛ نيل، مارتن؛ فينتون، نورمان (2020). "نهج الشبكة البايزية لتقييم مخاطر الأمن السيبراني بتطبيق وتوسيع نموذج FAIR" . الحوسبة والأمن . 89 101659. doi : 10.1016/j.cose.2019.101659 . S2CID 209099797 . 
  21. ↑ براتفولد، ريدار ب.؛ موهوس، إرلند؛ بيتوتشنيغ، ديفيد؛ بيكل، إريك (2020). "التنبؤ بالإنتاج: تفاؤل مفرط وثقة زائدة - مرارًا وتكرارًا" . مجلة تقييم وهندسة المكامن المتخصصة . 23 (3): 799-810 . doi : 10.2118/195914-PA . S2CID 219661316 . 
  22. ↑ التطورات في التنبؤ الديموغرافي (ملف PDF) . سلسلة سبرينغر حول الأساليب الديموغرافية وتحليل السكان. المجلد 49. 2020. الصفحات 43-62 . doi : 10.1007/978-3-030-42472-5 . hdl : 20.500.12657/42565 . ISBN   978-3-030-42471-8. S2CID 226615299 .