خوارزميات التحسين الكمي

الموسوعة الحرة

خوارزميات التحسين الكمومي هي خوارزميات كمومية تُستخدم لحل مسائل التحسين. [ 1 ] يهتم التحسين الرياضي بإيجاد الحل الأمثل لمسألة ما (وفقًا لمعايير محددة) من بين مجموعة من الحلول الممكنة. غالبًا ما تُصاغ مسألة التحسين كمسألة تصغير، حيث يُسعى إلى تقليل خطأ يعتمد على الحل: الحل الأمثل هو الحل الذي يحقق أقل خطأ ممكن. تُطبق تقنيات تحسين مختلفة في مجالات متنوعة مثل الميكانيكا والاقتصاد والهندسة ، ومع ازدياد تعقيد البيانات وحجمها، تزداد الحاجة إلى طرق أكثر كفاءة لحل مسائل التحسين. قد تُتيح الحوسبة الكمومية حل مسائل غير قابلة للحل عمليًا على الحواسيب التقليدية، أو تُشير إلى تسريع كبير مقارنةً بأفضل الخوارزميات التقليدية المعروفة.

ملاءمة البيانات الكمومية

تُعدّ عملية مطابقة البيانات عملية بناء دالة رياضية تُناسب مجموعة من نقاط البيانات على أفضل وجه. ويتم قياس جودة المطابقة بمعايير معينة، عادةً ما تكون المسافة بين الدالة ونقاط البيانات.

ملاءمة المربعات الصغرى الكمومية

أحد أكثر أنواع ملاءمة البيانات شيوعًا هو حل مشكلة المربعات الصغرى ، وتقليل مجموع مربعات الفروق بين نقاط البيانات والدالة الملائمة.

تم تقديم الخوارزميةشمال{\displaystyle N}نقاط بيانات الإدخال(x1،y1)،(x2،y2)،...،(xشمال،yشمال){\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...,(x_{N},y_{N})}وم{\displaystyle M}الدوال المتصلةو1،و2،...،وم{\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{M}}تجد الخوارزمية دالة متصلة وتعطيها كناتج.وλ→{\displaystyle f_{\vec {\lambda }}}هذا عبارة عن توليفة خطية منوج{\displaystyle f_{j}}:

وλ→(x)=∑ج=1موج(x)λج{\displaystyle f_{\vec {\lambda }}(x)=\sum _{j=1}^{M}f_{j}(x)\lambda _{j}}

بمعنى آخر، تجد الخوارزمية المعاملات المركبة .λج{\displaystyle \lambda _{j}}وبالتالي المتجهλ→=(λ1،λ2،...،λم){\displaystyle {\vec {\lambda }}=(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{M})}.

تهدف الخوارزمية إلى تقليل الخطأ، والذي يُعطى بالصيغة التالية:

هـ=∑أنا=1شمال|وλ→(xأنا)-yأنا|2=∑أنا=1شمال|∑ج=1موج(xأنا)λج-yأنا|2=|Fλ→-y→|2{\displaystyle E=\sum _{i=1}^{N}\left\vert f_{\vec {\lambda }}(x_{i})-y_{i}\right\vert ^{2}=\sum _{i=1}^{N}\left\vert \sum _{j=1}^{M}f_{j}(x_{i})\lambda _{j}-y_{i}\right\vert ^{2}=\left\vert F{\vec {\lambda }}-{\vec {y}}\right\vert ^{2}}

أينF{\displaystyle F}تُعرَّف بأنها المصفوفة التالية:

F=(و1(x1)⋯وم(x1)و1(x2)⋯وم(x2)⋮⋱⋮و1(xشمال)⋯وم(xشمال)){\displaystyle {F}={\begin{pmatrix}f_{1}(x_{1})&\cdots &f_{M}(x_{1})\\f_{1}(x_{2})&\cdots &f_{M}(x_{2})\\\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}(x_{N})&\cdots &f_{M}(x_{N})\\\end{pmatrix}}}

تستخدم خوارزمية التوفيق الكمي للمربعات الصغرى [ 2 ] نسخة من خوارزمية هارو، حسيديم، ولويد الكمية للأنظمة الخطية للمعادلات (HHL)، وتُخرج المعاملات.λج{\displaystyle \lambda _{j}}وتقدير جودة الملاءمةهـ{\displaystyle E}يتكون من ثلاثة إجراءات فرعية: خوارزمية لإجراء عملية عكسية زائفة ، وإجراء واحد لتقدير جودة المطابقة، وخوارزمية لتعلم معلمات المطابقة.

لأن الخوارزمية الكمومية تعتمد بشكل أساسي على خوارزمية HHL، فإنها تشير إلى تحسن أسي [ 3 ] في الحالة التيF{\displaystyle F}تكون البيانات متفرقة ، ويكون رقم الحالة (أي النسبة بين أكبر وأصغر القيم الذاتية ) لكليهماFF†{\displaystyle FF^{\dagger }}وF†F{\displaystyle F^{\dagger }F}صغير.

البرمجة شبه المحددة الكمومية

البرمجة شبه المحددة (SDP) هي فرع من فروع التحسين يتعامل مع تحسين دالة هدف خطية (دالة يحددها المستخدم لتقليلها أو زيادتها)، على تقاطع مخروط المصفوفات شبه المحددة الموجبة مع فضاء أفيني . دالة الهدف هي حاصل ضرب داخلي لمصفوفةج{\displaystyle C}(معطى كمدخل) مع المتغيرX{\displaystyle X}. يُرمز إليه بـSن{\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}مساحة الجميعن×ن{\displaystyle n\times n}المصفوفات المتناظرة. المتغيرX{\displaystyle X}يجب أن تقع في المخروط (المحدب المغلق) للمصفوفات المتناظرة شبه المحددة الموجبةS+ن{\displaystyle \mathbb {S} _{+}^{n}}يُعرَّف الضرب الداخلي لمصفوفتين على النحو التالي:

⟨أ،ب⟩Sن=تر(أتيب)=∑أنا=1،ج=1نأأناجبأناج.{\displaystyle \langle A,B\rangle _{\mathbb {S} ^{n}}={\rm {tr}}(A^{T}B)=\sum _{i=1,j=1}^{n}A_{ij}B_{ij}.}

قد تتضمن المسألة قيودًا إضافية (مُعطاة كمدخلات)، وعادةً ما تُصاغ أيضًا على شكل جداءات داخلية. كل قيد يُجبر على حساب الجداء الداخلي للمصفوفات.أك{\displaystyle A_{k}}(معطى كمدخل) مع متغير التحسينX{\displaystyle X}أن يكون أصغر من قيمة محددةبك{\displaystyle b_{k}}(معطى كمدخل). وأخيرًا، يمكن كتابة مسألة البرمجة شبه المحددة على النحو التالي:

مينX∈Sن⟨ج،X⟩Sنرهناً بـ⟨أك،X⟩Sن≤بك،ك=1،...،مX⪰0{\displaystyle {\begin{array}{rl}{\displaystyle \min _{X\in \mathbb {S} ^{n}}}&\langle C,X\rangle _{\mathbb {S} ^{n}}\\{\text{subject to}}&\langle A_{k},X\rangle _{\mathbb {S} ^{n}}\leq b_{k},\quad k=1,\ldots ,m\\&X\succeq 0\end{array}}}

لا يُعرف أن أفضل خوارزمية كلاسيكية تعمل بشكل مطلق في وقت متعدد الحدود . ومن المعروف أن مسألة الجدوى المقابلة تقع إما خارج اتحاد فئتي التعقيد NP و co-NP، أو في تقاطع NP و co-NP. [ 4 ]

الخوارزمية الكمومية

مدخلات الخوارزمية هيأ1...أم،ج،ب1...بم{\displaystyle A_{1}...A_{m},C,b_{1}...b_{m}}والمعلمات المتعلقة بأثر الحل ودقته وقيمته المثلى (قيمة دالة الهدف عند النقطة المثلى).

تتألف الخوارزمية الكمومية [ 5 ] من عدة تكرارات. في كل تكرار، تحل الخوارزمية مسألة جدوى ، أي تجد أي حل يحقق الشروط التالية (مع تحديد عتبة).ت{\displaystyle t}):

⟨ج،X⟩Sن≤ت⟨أك،X⟩Sن≤بك،ك=1،...،مX⪰0{\displaystyle {\begin{array}{lr}\langle C,X\rangle _{\mathbb {S} ^{n}}\leq t\\\langle A_{k},X\rangle _{\mathbb {S} ^{n}}\leq b_{k},\quad k=1,\ldots ,m\\X\succeq 0\end{array}}}

في كل تكرار، عتبة مختلفةت{\displaystyle t}يتم اختيارها، وتُخرج الخوارزمية إما حلاًX{\displaystyle X}بحيث⟨ج،X⟩Sن≤ت{\displaystyle \langle C,X\rangle _{\mathbb {S} ^{n}}\leq t}(وتُستوفى الشروط الأخرى أيضًا) أو إشارة إلى عدم وجود حل من هذا القبيل. تُجري الخوارزمية بحثًا ثنائيًا للعثور على الحد الأدنى.ت{\displaystyle t}والتي لها حلX{\displaystyle X}لا يزال هذا موجودًا: وهذا يعطي الحل الأدنى لمشكلة البرمجة شبه المحددة.

توفر الخوارزمية الكمومية تحسينًا تربيعيًا على أفضل خوارزمية كلاسيكية في الحالة العامة، وتحسينًا أسيًا عندما تكون مصفوفات الإدخال منخفضة الرتبة .

التحسين التوافقي الكمي

تهدف مسألة التحسين التوافقي إلى إيجاد عنصر أمثل من بين مجموعة محدودة من العناصر. ويمكن صياغة المسألة على أنها تعظيم لدالة هدف هي مجموع دوال منطقية . كل دالة منطقيةجα:{0،1}ن→{0،1}{\displaystyle \,C_{\alpha }\colon \lbrace {0,1\rbrace }^{n}\rightarrow \lbrace {0,1}\rbrace }يتم الحصول على المدخلات التاليةن{\displaystyle n}سلسلة بتz=z1z2...zن{\displaystyle z=z_{1}z_{2}\ldots z_{n}}ويُخرج بتًا واحدًا (0 أو 1). مسألة التحسين التوافقي لـن{\displaystyle n}قطع وم{\displaystyle m}إيجاد بنودن{\displaystyle n}سلسلة بتz{\displaystyle z}الذي يزيد من قيمة الدالة

ج(z)=∑α=1مجα(z){\displaystyle C(z)=\sum _{\alpha =1}^{m}C_{\alpha }(z)}

التحسين التقريبي هو طريقة لإيجاد حل تقريبي لمسألة تحسين، والتي غالبًا ما تكون من المسائل الصعبة حسابيًا (NP-hard ). الحل التقريبي لمسألة التحسين التوافقي هو سلسلة نصية.z{\displaystyle z}هذا يقترب من تحقيق أقصى قدر منج(z){\displaystyle C(z)}.

خوارزمية التحسين التقريبي الكمومي

في مجال التحسين التوافقي، تفوقت خوارزمية التحسين التقريبي الكمومي (QAOA) [ 6 ] لفترة وجيزة على أي خوارزمية كلاسيكية معروفة ذات زمن متعدد الحدود (لمسألة معينة) [ 7 ] إلى أن تم اقتراح خوارزمية كلاسيكية أكثر فعالية [ 8 ] . ولا يزال التسارع النسبي للخوارزمية الكمومية موضوعًا مفتوحًا للبحث.

تتكون عملية ضمان الجودة والتحسين المستمر من الخطوات التالية:

  1. تعريف هاميلتوني التكلفةحج{\displaystyle H_{C}}بحيث تشفر حالتها الأرضية حل مشكلة التحسين.
  2. تعريف هاميلتونيان الخلاطحم{\displaystyle H_{M}}.
  3. تعريف العرافينيوج(γ)=خبرة⁡(-أناγحج){\displaystyle U_{C}(\gamma )=\exp(-\imath \gamma H_{C})}ويوم(α)=خبرة⁡(-أناαحم){\displaystyle U_{M}(\alpha )=\exp(-\imath \alpha H_{M})}، مع المعلماتγ{\displaystyle \gamma }و α.
  4. التطبيق المتكرر للأوراكليوج{\displaystyle U_{C}}ويوم{\displaystyle U_{M}}، بالترتيب التالي:يو(γ،α)=∐أنا=1شمال(يوج(γأنا)يوم(αأنا)){\displaystyle U({\boldsymbol {\gamma }},{\boldsymbol {\alpha }})=\coprod _{i=1}^{N}(U_{C}(\gamma _{i})U_{M}(\alpha _{i}))}
  5. إعداد حالة ابتدائية، أي تراكب لجميع الحالات الممكنة وتطبيقهايو(γ،α){\displaystyle U({\boldsymbol {\gamma }},{\boldsymbol {\alpha }})}إلى الدولة.
  6. استخدام الأساليب الكلاسيكية لتحسين المعلماتγ،α{\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }},{\boldsymbol {\alpha }}}ويتم قياس حالة خرج الدائرة المُحسَّنة للحصول على الحل الأمثل التقريبي لهاملتونيان التكلفة. الحل الأمثل هو الحل الذي يُعظِّم القيمة المتوقعة لهاملتونيان التكلفة.حج{\displaystyle H_{C}}.
نموذج QAOA ansatz لدائرة ثلاثية الكيوبت

يستوحي تصميم الخوارزمية، أي استخدام التكلفة وهاملتونيان الخلط، من نظرية الكم الأديباتية ، التي تنص على أنه عند البدء بحالة أساسية لهاملتونيان متغير مع الزمن، إذا تطور الهاملتونيان ببطء كافٍ، فإن الحالة النهائية ستكون حالة أساسية للهاملتونيان النهائي. علاوة على ذلك، يمكن تعميم نظرية الأديباتية على أي حالة ذاتية أخرى طالما لا يوجد تداخل (انحلال) بين الحالات الذاتية المختلفة خلال عملية التطور. يتم تحديد الهاملتونيان الأولي باستخدامحم{\displaystyle H_{M}}والهاميلتوني النهائي معحج{\displaystyle H_{C}}يمكن تقريب مسألة التحسين، التي تشفر حالاتها الأرضية حل مسألة التحسين محل الاهتمام، على أنها تطور أديباتي للهاميلتوني من حالة ابتدائية إلى حالة نهائية، حيث تعطي حالتها الأرضية (الذاتية) الحل الأمثل. وبشكل عام، تعتمد خوارزمية التحسين شبه التكيفي (QAOA) على استخدام مؤثرات وحدوية تعتمد على2ص{\displaystyle 2p}الزوايا (المعلمات)، حيثص>1{\displaystyle p>1}هو عدد صحيح مُدخل، والذي يمكن من خلاله تحديد عدد طبقات أوراكليو(γ،α){\displaystyle U({\boldsymbol {\gamma }},{\boldsymbol {\alpha }})}تُطبَّق هذه المؤثرات بشكل تكراري على حالة تمثل تراكبًا كميًا متساوي الأوزان لجميع الحالات الممكنة في الأساس الحسابي. في كل تكرار، تُقاس الحالة في الأساس الحسابي والدالة المنطقية.ج(z){\displaystyle C(z)}يتم تقديرها. ثم يتم تحديث الزوايا بشكل كلاسيكي لزيادةج(z){\displaystyle C(z)}بعد تكرار هذه العملية عددًا كافيًا من المرات، تصبح قيمةج(z){\displaystyle C(z)}يكاد يكون مثاليًا، والحالة المقاسة قريبة من المثالية أيضًا. يوضح الشكل دارة نموذجية تُنفذ خوارزمية QAOA على حاسوب كمومي. يُسلط الضوء على هذه العملية باستخدام المثال التالي لإيجاد الحد الأدنى لتغطية رؤوس الرسم البياني. [ 9 ]

خوارزمية QAOA لإيجاد غطاء الرؤوس الأدنى للرسم البياني

الهدف هنا هو إيجاد غطاء رؤوس أدنى للرسم البياني: مجموعة من الرؤوس بحيث يحتوي كل ضلع في الرسم البياني على رأس واحد على الأقل من الرؤوس الموجودة في الغطاء. وبالتالي، تُغطي هذه الرؤوس جميع الأضلاع. نسعى لإيجاد غطاء رؤوس بأقل عدد ممكن من الرؤوس. يمكن تمثيل أغطية الرؤوس بسلسلة بتات، حيث يشير كل بت إلى ما إذا كان الرأس المقابل موجودًا في الغطاء أم لا. على سبيل المثال، تمثل سلسلة البتات 0101 غطاءً يتكون من الرأسين الثاني والرابع في رسم بياني بأربعة رؤوس.

رسم بياني نموذجي لتوضيح مشكلة تغطية الرؤوس الدنيا.

انظر إلى الرسم البياني الموضح في الشكل. يحتوي هذا الرسم على أربعة رؤوس، وله غطاءان رأسيان أدنى: الرأسان 0 و2، والرأسان 1 و2. يمكن تمثيل هذين الغطاءين على التوالي بسلسلتي البتات 1010 و0110. يهدف الخوارزمية إلى أخذ عينات من هاتين السلسلتين باحتمالية عالية. في هذه الحالة، يمتلك هاميلتوني التكلفة حالتين أساسيتين، |1010⟩ و|0110⟩، تتطابقان مع حلول المسألة. هاميلتوني الخلاط هو مجموع بسيط غير تبادلي لعمليات باولي-إكس على كل عقدة من الرسم البياني، ويُعطى بالصيغة التالية:

حج=-0.25Z3+0.5Z0+0.5Z1+1.25Z2+0.75(Z0Z1+Z0Z2+Z2Z3+Z1Z2){\displaystyle H_{C}=-0.25Z_{3}+0.5Z_{0}+0.5Z_{1}+1.25Z_{2}+0.75(Z_{0}Z_{1}+Z_{0}Z_{2}+Z_{2}Z_{3}+Z_{1}Z_{2})}

حم=X0+X1+X2+X3{\displaystyle H_{M}=X_{0}+X_{1}+X_{2}+X_{3}}

مخرجات تطبيق QAOA في Qiskit لمسألة تغطية الرؤوس الدنيا. لاحظ أن سلسلة البتات |1010> معكوسة لتصبح |0101> لأن Qiskit يستخدم ترتيب البتات العكسي.
تطبيق Qiskit لخوارزمية QAOA لحل مشكلة تغطية الرؤوس الدنيا.

يؤدي تطبيق خوارزمية QAOA على هذه الدائرة الرباعية الكيوبتية ذات الطبقتين في مكتبة Qiskit (انظر الشكل) وتحسينها إلى توزيع احتمالي للحالات الموضحة في الشكل. يُظهر هذا أن الحالتين |0110⟩ و |1010⟩ لهما أعلى احتمالات للقياس، كما هو متوقع.

تعميم خوارزمية QAOA لتحسين التوافقيات المقيدة

من حيث المبدأ، القيمة المثلى لـج(z){\displaystyle C(z)}يمكن الوصول إلى دقة عالية جدًا، وهذا ما يضمنه قانون أديباتيك [ 10 ] [ 11 ] أو بديلًا عنه، من خلال عمومية وحدات QAOA [ 12 ] . ومع ذلك، يبقى السؤال مطروحًا حول إمكانية تحقيق ذلك بطريقة عملية. على سبيل المثال، تبين أن QAOA يعتمد بشكل كبير على نسبة قيود المسألة إلى متغيراتها (كثافة المسألة)، مما يفرض قيدًا على قدرة الخوارزمية على تقليل دالة الهدف المقابلة [ 13 ] .

سرعان ما تبيّن أن تعميم عملية QAOA هو في جوهره تطبيق متناوب لعملية المشي الكمومي المستمر على رسم بياني أساسي، متبوعًا بإزاحة طور تعتمد على الجودة تُطبّق على كل حالة حل. وقد أُطلق على خوارزمية QAOA المعممة هذه اسم QWOA (خوارزمية التحسين القائمة على المشي الكمومي). [ 14 ]

في الورقة البحثية بعنوان "كم عدد الكيوبتات اللازمة للتفوق الحسابي الكمي" المقدمة إلى arXiv، [ 15 ] يخلص المؤلفون إلى أن دائرة QAOA التي تحتوي على 420 كيوبت و500 قيد ستتطلب قرنًا واحدًا على الأقل لمحاكاتها باستخدام خوارزمية محاكاة كلاسيكية تعمل على أجهزة الكمبيوتر العملاقة الحديثة، بحيث يكون ذلك كافيًا للتفوق الحسابي الكمي .

يمكن للمقارنة الدقيقة بين خوارزمية QAOA والخوارزميات الكلاسيكية أن تعطي تقديرات للعمقص{\displaystyle p}وعدد الكيوبتات اللازمة لتحقيق ميزة كمومية. تُظهر دراسة خوارزمية QAOA وخوارزمية MaxCut أنص>11{\displaystyle p>11}[ 16 ] وهو أمر ضروري لتحقيق ميزة قابلة للتوسع.

تنوعات QAOA

تم اقتراح العديد من التعديلات على البنية الأساسية لخوارزمية QAOA، [ 17 ] والتي تشمل تعديلات على فرضية الخوارزمية الأساسية. يعتمد اختيار الفرضية عادةً على نوع المسألة، مثل المسائل التوافقية المُمثلة بالرسوم البيانية، أو المسائل التي تتأثر بشدة بتصميم الأجهزة. مع ذلك، يجب أن يوازن تصميم الفرضية بين الخصوصية والعمومية لتجنب التخصيص الزائد والحفاظ على قابليتها للتطبيق على نطاق واسع من المسائل. لهذا السبب، يُعد تصميم الفرضية المثلى لخوارزمية QAOA موضوعًا خضع لبحوث مكثفة ودراسات واسعة النطاق. من بين التعديلات المقترحة:

  1. QAOA متعدد الزوايا [ 18 ]
  2. التعبير QAOA (XQAOA) [ 19 ]
  3. QAOA+ [ 20 ]
  4. خوارزمية QAOA الرقمية المضادة للتيار [ 21 ]
  5. فرضية عامل التناوب الكمي [ 22 ] ، والتي تسمح بوضع قيود على مشكلة التحسين وما إلى ذلك.

يركز نوع آخر من QAOA على تقنيات تحسين المعلمات، والتي تهدف إلى اختيار المجموعة المثلى من المعلمات الأولية لمشكلة معينة وتجنب الهضاب القاحلة، والتي تمثل المعلمات التي تؤدي إلى حالات ذاتية تتوافق مع الهضاب في مشهد الطاقة لهاملتوني التكلفة.

أخيرًا، حظي استخدام أجهزة محددة لتحسين أداء خوارزمية QAOA عبر منصات متنوعة، مثل الأيونات المحصورة، والذرات المتعادلة، والكيوبتات فائقة التوصيل، والحواسيب الكمومية الضوئية، باهتمام بحثي كبير. تشمل أهداف هذه المناهج التغلب على قيود اتصال الأجهزة وتخفيف المشكلات المتعلقة بالضوضاء لتوسيع نطاق تطبيق خوارزمية QAOA على مجموعة واسعة من مسائل التحسين التوافقي.

تنفيذ خوارزمية QAOA باستخدام Qiskit

دائرة الكم QAOA

الدائرة الكمومية الموضحة هنا هي مثال بسيط لكيفية تنفيذ خوارزمية QAOA في بايثون [ 23 ] باستخدام Qiskit ، وهو إطار عمل مفتوح المصدر لتطوير برامج الحوسبة الكمومية من IBM.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ مول، نيكولاي؛ باركوتسوس، بانايوتيس؛ بيشوب، ليف س.؛ تشاو، جيري م.؛ كروس، أندرو؛ إيغر، دانيال ج.؛ فيليب، ستيفان؛ فوهرر، أندرياس؛ غامبيتا، جاي م.؛ غانزهورن، مارك؛ كاندالا، أبهيناف؛ ميزاكابو، أنطونيو؛ مولر، بيتر؛ ريس، والتر؛ ساليس، جيان؛ سمولين، جون؛ تافيرنيلي، إيفانو؛ تيمي، كريستان (2018). "التحسين الكمي باستخدام الخوارزميات التباينية على الأجهزة الكمية القريبة المدى". علوم وتكنولوجيا الكم . 3 (3): r 030503. arXiv : 1710.01022 . Bibcode : 2018QS & T....3c0503M . doi : 10.1088/2058-9565/aab822 . S2CID 56376912 . 
  2. ↑ ويبي، ناثان؛ براون، دانيال؛ لويد، سيث (2 أغسطس 2012). "خوارزمية كمومية لملاءمة البيانات". رسائل المراجعة الفيزيائية . 109 (5) 050505. arXiv : 1204.5242 . Bibcode : 2012PhRvL.109e0505W . doi : 10.1103/PhysRevLett.109.050505 . PMID 23006156. S2CID 118439810 .  
  3. ↑ مونتانارو، آشلي (12 يناير 2016). "الخوارزميات الكمومية: نظرة عامة". npj Quantum Information . 2 (1) 15023. arXiv : 1511.04206 . Bibcode : 2016npjQI...215023M . doi : 10.1038/npjqi.2015.23 . S2CID 2992738 . 
  4. ↑ رامانا، موتاكوري ف. (1997). "نظرية الازدواجية الدقيقة للبرمجة شبه المحددة وآثارها على التعقيد". البرمجة الرياضية . 77 : 129-162 . doi : 10.1007/BF02614433 . S2CID 12886462 . 
  5. ↑ برانداو، فرناندو جي إس إل؛ سفور، كريستا (2016). "تسريعات الكم للبرمجة شبه المحددة". arXiv : 1609.05537 [ quant-ph ].
  6. ↑ فارهي، إدوارد؛ غولدستون، جيفري؛ غوتمان، سام (2014). "خوارزمية تحسين تقريبية كمومية". arXiv : 1411.4028 [ quant-ph ].
  7. ↑ فرحي، إدوارد؛ غولدستون، جيفري؛ غوتمان، سام (2014). "خوارزمية تحسين تقريبية كمومية مطبقة على مشكلة قيد حدوث محدود". arXiv : 1412.6062 [ quant-ph ].
  8. ^ باراك، بوعز؛ مويترا، أنكور؛ أودونيل, ريان ; راغافيندرا، براساد؛ ريغيف، عوديد؛ ستيورر، ديفيد؛ تريفيسان، لوكا؛ فيجاياراجافان، أرافيندان؛ ويتمر، ديفيد؛ رايت، جون (2015). “التغلب على التعيين العشوائي في مشاكل رضا القيد ذات الدرجة المحدودة”. أرخايف : 1505.03424 [ cs.CC ].
  9. ^ سيروني ، جاك (2020-11-18). "مقدمة إلى QAOA" . عروض PennyLane التجريبية .
  10. ↑ فارهي، إدوارد؛ غولدستون، جيفري؛ غوتمان، سام (2014). "خوارزمية تحسين تقريبية كمومية". arXiv : 1411.4028 [ quant-ph ].
  11. ^ بينكوفسكي ، لينارت. كوسمان، جيرون؛ زيجلر، تيمو. شونيك ، رينيه (2024). “الدليل الأولي على تقارب QAOA”. مجلة جديدة للفيزياء . 26 (7): 073001. أرخايف : 2302.04968 . بيب كود : 2024NJPh...26g3001B . دوى : 10.1088/1367-2630/ad59bb .
  12. ↑ موراليس، م. إي.؛ بيامونتي، ج. د.؛ زيمبوراس، ز. (2019-09-20). "حول عالمية خوارزمية التحسين التقريبي الكمومي". معالجة المعلومات الكمومية . 19 (9): 291. arXiv : 1909.03123 . doi : 10.1007/s11128-020-02748-9 .
  13. ↑ أكشاي، ف.؛ فيلاثونغ، هـ.؛ موراليس، م. إ. س.؛ بيامونتي، ج. د. (2020-03-05). "نقص إمكانية الوصول في التحسين التقريبي الكمي". رسائل المراجعة الفيزيائية . 124 (9) 090504. arXiv : 1906.11259 . Bibcode : 2020PhRvL.124i0504A . doi : 10.1103/PhysRevLett.124.090504 . PMID 32202873. S2CID 195699685 .  
  14. ↑ مارش، س.؛ وانغ، ج. ب. (2020-06-08). "التحسين التوافقي عبر مسارات كمومية عالية الكفاءة". مجلة Physical Review Research . 2 (2) 023302. arXiv : 1912.07353 . Bibcode : 2020PhRvR...2b3302M . doi : 10.1103/PhysRevResearch.2.023302 . S2CID 216080740 . 
  15. ↑ دالزيل، ألكسندر م.؛ هارو، آرام و.؛ كوه، داكس إنشان؛ لا بلاكا، رولاندو ل. (2020-05-11). "كم عدد الكيوبتات اللازمة لتحقيق التفوق الحسابي الكمومي؟" . مجلة Quantum . 4 264. arXiv : 1805.05224 . Bibcode : 2020Quant...4..264D . doi : 10.22331/q-2020-05-11-264 . ISSN 2521-327X . 
  16. ↑ ليكوف، دانيلو؛ وورتز، جوناثان؛ بول، كودي؛ سافمان، مارك ؛ نويل، توم؛ أليكسييف، يوري (2023). "عتبات تردد أخذ العينات للميزة الكمومية لخوارزمية التحسين التقريبي الكمومي". npj Quantum Information . 9 (1) 73. arXiv : 2206.03579 . Bibcode : 2023npjQI...9...73L . doi : 10.1038/s41534-023-00718-4 .
  17. ↑ بليكوس، كوستاس؛ براند، دين؛ سيشيني، أندريا؛ تشو، تشياو-هوي؛ لي، روي-هاو؛ بانديا، كومال؛ سمر، أليساندرو (يونيو 2024). "مراجعة لخوارزمية التحسين التقريبي الكمومي ومتغيراتها". تقارير الفيزياء . 1068 : 1-66 . arXiv : 2306.09198 . Bibcode : 2024PhR..1068....1B . doi : 10.1016/j.physrep.2024.03.002 .
  18. ↑ هيرمان، ريبيكا؛ لوتشو، فيليب سي؛ أوستروفسكي، جيمس؛ همبل، ترافيس إس؛ سيوبسيس، جورج (2022-04-26). "خوارزمية التحسين التقريبي الكمومي متعدد الزوايا" . التقارير العلمية . 12 (1): 6781. arXiv : 2109.11455 . Bibcode : 2022NatSR..12.6781H . doi : 10.1038/ s41598-022-10555-8 . ISSN 2045-2322 . PMC 9043219. PMID 35474081 .   
  19. ↑ فيجندران، ف؛ داس، أريترا؛ كوه، داكس إنشان؛ أسعد، سيد م؛ لام، بينغ كوي (2024-04-01). "فرضية معبرة للتحسين التقريبي الكمي منخفض العمق" . علوم وتكنولوجيا الكم . 9 (2): 025010. arXiv : 2302.04479 . Bibcode : 2024QS & T....9b5010V . doi : 10.1088/2058-9565/ad200a . ISSN 2058-9565 . 
  20. ↑ تشالوبنيك، ميشيل؛ ميلو، هانز؛ أليكسييف، يوري؛ غالدا، أليكسي (سبتمبر 2022). "تعزيز فرضية QAOA بطبقة متعددة المعاملات مستقلة عن المشكلة". المؤتمر الدولي IEEE للحوسبة الكمومية والهندسة (QCE) لعام 2022. IEEE. الصفحات 97-103 . arXiv : 2205.01192 . doi : 10.1109/QCE53715.2022.00028 . ISBN  978-1-6654-9113-6.
  21. ↑ تشاندارانا، ب.؛ هيغادي، ن.ن.؛ بول، ك.؛ ألبيران-أرياغادا، ف.؛ سولانو، إ.؛ ديل كامبو، أ.؛ تشين، شي (22-02-2022). "خوارزمية التحسين التقريبي الكمي الرقمي المضاد للتيار" . مجلة Physical Review Research . 4 (1) 013141. arXiv : 2107.02789 . Bibcode : 2022PhRvR...4a3141C . doi : 10.1103/PhysRevResearch.4.013141 . ISSN 2643-1564 . 
  22. ↑ هادفيلد، ستيوارت؛ وانغ، زيهوي؛ أوغورمان، برايان؛ ريفيل، إليانور؛ فينتوريلي، دافيد؛ بيسواس، روباك (12 فبراير 2019). "من خوارزمية التحسين التقريبي الكمومي إلى فرضية عامل التناوب الكمومي" . الخوارزميات . 12 (2): 34. arXiv : 1709.03489 . doi : 10.3390/a12020034 . ISSN 1999-4893 . 
  23. ↑ "حل مسائل التحسين الكمي على نطاق المرافق" . تم الاسترجاع في 24-02-2025 .