مخروط

بالنسبة لمخروط دائري نصف قطره${\displaystyle r}$والارتفاع${\displaystyle h}$، القاعدة عبارة عن دائرة مساحتها${\displaystyle \pi r^{2}}$وبالتالي فإن صيغة الحجم هي: ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}$$

الارتفاع المائل للمخروط الدائري القائم هو المسافة من أي نقطة على دائرة قاعدته إلى قمته عبر قطعة مستقيمة على سطح المخروط. ويُعطى بالعلاقة التالية:${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$، أين${\displaystyle r}$يمثل نصف قطر القاعدة و${\displaystyle h}$يمثل الارتفاع. ويمكن إثبات ذلك باستخدام نظرية فيثاغورس .

مساحة السطح الجانبي للمخروط الدائري القائم هي${\displaystyle LSA=\pi r\ell }$أين${\displaystyle r}$يمثل نصف قطر الدائرة في أسفل المخروط و${\displaystyle \ell }$يمثل الارتفاع المائل للمخروط. ^{[ 7 ]} { مساحة سطح الدائرة السفلية للمخروط هي نفسها مساحة سطح أي دائرة،${\displaystyle \pi r^{2}}$وبالتالي، يمكن التعبير عن المساحة السطحية الكلية للمخروط الدائري القائم بكل مما يلي:

• نصف القطر والارتفاع

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

(مساحة القاعدة بالإضافة إلى مساحة السطح الجانبي؛ المصطلح${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$(الارتفاع المائل)

${\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}$

أين${\displaystyle r}$هو نصف القطر و${\displaystyle h}$هو الارتفاع.

• نصف القطر والارتفاع المائل

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi r\ell }$

${\displaystyle \pi r(r+\ell )}$

أين${\displaystyle r}$هو نصف القطر و${\displaystyle \ell }$هو الارتفاع المائل.

• المحيط والارتفاع المائل

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{4\pi }}+{\frac {c\ell }{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {c}{2}}\right)\left({\frac {c}{2\pi }}+\ell \right)}$

أين${\displaystyle c}$هو المحيط و${\displaystyle \ell }$هو الارتفاع المائل.

• زاوية القمة وارتفاعها

${\displaystyle \pi h^{2}\tan {\frac {\theta }{2}}\left(\tan {\frac {\theta }{2}}+\sec {\frac {\theta }{2}}\right)}$

${\displaystyle -{\frac {\pi h^{2}\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta }{2}}-1}}}$

أين${\displaystyle \theta }$هي زاوية القمة و${\displaystyle h}$هو الارتفاع.

يتم الحصول على القطاع الدائري عن طريق فرد سطح إحدى طبقات المخروط:

• نصف القطر R

${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

• طول القوس L

${\displaystyle L=c=2\pi r}$

• الزاوية المركزية φ بالراديان

${\displaystyle \varphi ={\frac {L}{R}}={\frac {2\pi r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}}$

يمكن تمثيل سطح المخروط بالمعاملات التالية:

${\displaystyle f(\theta ,h)=(h\cos \theta ,h\sin \theta ,h),}$

أين${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$هي الزاوية "حول" المخروط، و${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$هو "الارتفاع" على طول المخروط.

مخروط دائري صلب قائم الارتفاع${\displaystyle h}$وفتحة العدسة ${\displaystyle 2\theta }$، الذي محوره هو${\displaystyle z}$يُوصف محور الإحداثيات الذي تقع قمته عند نقطة الأصل، بشكل بارامتري كما يلي:

${\displaystyle F(s,t,u)=\left(u\tan s\cos t,u\tan s\sin t,u\right)}$

أين${\displaystyle s,t,u}$نطاق واسع${\displaystyle [0,\theta )}$،${\displaystyle [0,2\pi )}$، و${\displaystyle [0,h]}$، على التوالى.

في الصيغة الضمنية ، يُعرَّف نفس المجسم بواسطة المتباينات.

${\displaystyle \{F(x,y,z)\leq 0,z\geq 0,z\leq h\},}$

أين

${\displaystyle F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2}.\,}$

وبشكل أعم، مخروط دائري قائم رأسه عند نقطة الأصل، ومحوره موازٍ للمتجه${\displaystyle d}$وفتحة العدسة${\displaystyle 2\theta }$، ويتم تحديدها بواسطة معادلة المتجهات الضمنية${\displaystyle F(u)=0}$أين

${\displaystyle F(u)=(u\cdot d)^{2}-(d\cdot d)(u\cdot u)(\cos \theta )^{2}}$

${\displaystyle F(u)=u\cdot d-|d||u|\cos \theta }$

أين${\displaystyle u=(x,y,z)}$، و${\displaystyle u\cdot d}$يشير إلى الضرب النقطي .