نصف قطر الانحناء

إذا تم إعطاء المنحنى في الإحداثيات الديكارتية على أنه y ( x ) ، أي كرسم بياني لدالة ، فإن نصف قطر الانحناء هو (بافتراض أن المنحنى قابل للتفاضل حتى الرتبة 2)

$${\displaystyle R=\left|{\frac {\left(1+y'^{\,2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}}\right|\,,}$$

أين${\textstyle y'={\frac {dy}{dx}}\,,}$${\textstyle y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}$و | z | تشير إلى القيمة المطلقة لـ z .

إذا تم إعطاء المنحنى بشكل وسيطي بواسطة الدالتين x ( t ) و y ( t ) ، فإن نصف قطر الانحناء هو

$${\displaystyle R=\left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|=\left|{\frac {\left({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|}$$

أين${\textstyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}},}$${\textstyle {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},}$${\textstyle {\dot {y}}={\frac {dy}{dt}},}$و${\textstyle {\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}.}$

ويمكن تفسير هذه النتيجة بشكل استدلالي على النحو التالي ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle R={\frac {\left|\mathbf {v} \right|^{3}}{\left|\mathbf {v} \times \mathbf {\dot {v}} \right|}}\,,}$$

أين

$${\displaystyle \left|\mathbf {v} \right|={\big |}({\dot {x}},{\dot {y}}){\big |}=R{\frac {d\varphi }{dt}}\,.}$$

إذا كان γ : ℝ → ℝ ⁿ منحنى مُعامل في ℝ ⁿ فإن نصف قطر الانحناء عند كل نقطة من المنحنى، ρ : ℝ → ℝ ، يُعطى بواسطة ^{[ 3 ]}  

$${\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.}$$

كحالة خاصة، إذا كانت f ( t ) دالة من ℝ إلى ℝ ، فإن نصف قطر انحناء رسمها البياني ، γ ( t ) = ( t , f ( t )) ، هو

$${\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|1+f'^{\,2}(t)\right|^{\frac {3}{2}}}{\left|f''(t)\right|}}.}$$

لنفترض أن γ كما سبق، ولنثبت t . نريد إيجاد نصف قطر ρ لدائرة مُعَلمة تُطابق γ في مشتقاتها الصفرية والأولى والثانية عند t . من الواضح أن نصف القطر لا يعتمد على الموضع γ ( t ) ، وإنما على السرعة γ ′( t ) والتسارع γ ″( t ) فقط . لا يوجد سوى ثلاثة كميات قياسية مستقلة يمكن الحصول عليها من متجهين v و w ، وهي v · v و v · w و w · w . بالتالي، يجب أن يكون نصف قطر الانحناء دالةً للكميات القياسية الثلاثة | γ ′( t ) | ^² و | γ ″( t ) | ^² و γ ′( t ) · γ ″( t ) . ^{[ 3 ]}

المعادلة العامة لدائرة ذات معلمات في ℝ ⁿ هي

$${\displaystyle \mathbf {g} (u)=\mathbf {a} \cos(h(u))+\mathbf {b} \sin(h(u))+\mathbf {c} }$$

حيث c ∈ ℝ ⁿ هو مركز الدائرة (غير ذي صلة لأنه يختفي في المشتقات)، a و b ∈ ℝ ⁿ متجهان متعامدان بطول ρ (أي أن a · a = b · b = ρ ² و a · b = 0 )، و h  : ℝ → ℝ دالة اختيارية قابلة للتفاضل مرتين عند t .

تكون المشتقات ذات الصلة لـ g كما يلي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {g} '|^{2}&=\rho ^{2}(h')^{2}\\\mathbf {g} '\cdot \mathbf {g} ''&=\rho ^{2}h'h''\\|\mathbf {g} ''|^{2}&=\rho ^{2}\left((h')^{4}+(h'')^{2}\right)\end{aligned}}}$$

إذا قمنا الآن بمساواة مشتقات g هذه بالمشتقات المقابلة لـ γ عند t، فسنحصل على

$${\displaystyle {\begin{aligned}|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)|^{2}&=\rho ^{2}h'^{\,2}(t)\\{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t)&=\rho ^{2}h'(t)h''(t)\\|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)|^{2}&=\rho ^{2}\left(h'^{\,4}(t)+h''^{\,2}(t)\right)\end{aligned}}}$$

يمكن حل هذه المعادلات الثلاث بثلاثة مجاهيل ( ρ ، h ′( t ) و h ″( t ) ) لإيجاد قيمة ρ ، مما يعطي صيغة نصف قطر الانحناء:

$${\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)\right|^{2}-{\big (}{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t){\big )}^{2}}}}\,,}$$

أو، مع حذف المعامل t لتسهيل القراءة،

$${\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\;\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.}$$

لنصف دائرة نصف قطرها a في النصف العلوي من المستوى مع${\textstyle R=|-a|=a\,,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}y&={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\\y'&={\frac {-x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\\y''&={\frac {-a^{2}}{\left(a^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,.\end{aligned}}}$$

لنصف دائرة نصف قطرها a في النصف السفلي من المستوى $${\displaystyle y=-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,.}$$

الدائرة التي نصف قطرها a لها نصف قطر انحناء يساوي a .

في القطع الناقص ذي المحور الأكبر 2a والمحور الأصغر 2b ، تكون رؤوس المحور الأكبر هي ذات أصغر نصف قطر انحناء من بين جميع النقاط.${\textstyle R={b^{2} \over a}}$; والرؤوس الموجودة على المحور الأصغر لها أكبر نصف قطر انحناء من أي نقاط أخرى، R = ⁠ a ² / b ⁠ .

نصف قطر انحناء القطع الناقص كدالة للإحداثي الجيومركزي${\displaystyle t}$مع${\displaystyle \tan t={\frac {y}{x}}}$يكون$${\displaystyle R(t)={\frac {(b^{2}\cos ^{2}t+a^{2}\sin ^{2}t)^{3/2}}{ab}}.}$$يبلغ أدنى مستوياته عند${\displaystyle t=0}$و${\displaystyle t=180^{\circ }}$وقيمها القصوى عند${\displaystyle t=\pm 90^{\circ }}$.

ينتج الإجهاد في بنية أشباه الموصلات التي تتضمن أغشية رقيقة مُرَسَّبة بالتبخير عادةً عن التمدد الحراري (الإجهاد الحراري) أثناء عملية التصنيع. ويحدث الإجهاد الحراري لأن ترسيب الأغشية يتم عادةً عند درجة حرارة أعلى من درجة حرارة الغرفة. وعند التبريد من درجة حرارة الترسيب إلى درجة حرارة الغرفة، يتسبب اختلاف معاملات التمدد الحراري بين الركيزة والفيلم في حدوث الإجهاد الحراري. ^{[ 4 ]}

ينشأ الإجهاد الداخلي من البنية المجهرية المتكونة في الطبقة الرقيقة أثناء ترسب الذرات على الركيزة. أما إجهاد الشد فينشأ من الفراغات المجهرية (ثقوب صغيرة تُعتبر عيوبًا) في الطبقة الرقيقة، وذلك بسبب التجاذب بين الذرات عبر هذه الفراغات.

يؤدي الإجهاد في هياكل أشباه الموصلات ذات الأغشية الرقيقة إلى انبعاج الرقائق. يرتبط نصف قطر انحناء الهيكل المُجهد بموتر الإجهاد فيه، ويمكن وصفه بصيغة ستوني المُعدلة . ^{[ 5 ]} يمكن قياس تضاريس الهيكل المُجهد، بما في ذلك أنصاف أقطار الانحناء، باستخدام تقنيات المسح الضوئي. تتميز أدوات المسح الضوئي الحديثة بقدرتها على قياس التضاريس الكاملة للركيزة وقياس نصفي قطري الانحناء الرئيسيين، مع توفير دقة تصل إلى 0.1% لأنصاف أقطار انحناء تبلغ 90 مترًا فأكثر. ^{[ 6 ]}