رسم بياني لرامانوجان

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 57 صور
الموسوعة الحرة

في مجال نظرية المخططات الطيفية ، يُعرف مخطط رامانوجان بأنه مخطط منتظم تكون فيه الفجوة الطيفية كبيرة قدر الإمكان (انظر نظرية المخططات المتطرفة ). تُعدّ هذه المخططات موسعات طيفية ممتازة . وكما تشير ورقة مورتي البحثية [ 1 ] ، فإن مخططات رامانوجان "تدمج فروعًا متنوعة من الرياضيات البحتة، وهي: نظرية الأعداد ، ونظرية التمثيل ، والهندسة الجبرية ". سُميت هذه المخططات بشكل غير مباشر نسبةً إلى سرينيفاسا رامانوجان ؛ إذ يُستمد اسمها من حدسية رامانوجان-بيترسون ، التي استُخدمت في بناء بعض هذه المخططات.

تعريف

يتركجي{\displaystyle G}كن متصلاًد{\displaystyle d}- رسم بياني منتظم معن{\displaystyle n}الرؤوس، ولتكنλ1≥λ2≥⋯≥λن{\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}}لتكن القيم الذاتية لمصفوفة التجاور لـجي{\displaystyle G}( أو طيفجي{\displaystyle G}). لأنجي{\displaystyle G}متصل ود{\displaystyle d}منتظمة، وقيمها الذاتية تحققد=λ1>λ2{\displaystyle d=\lambda _{1}>\lambda _{2}}≥⋯≥λن≥-د{\displaystyle \geq \cdots \geq \lambda _{n}\geq -d}.

يُعرِّفλ(جي)=الأعلىأنا≠1|λأنا|=الأعلى(|λ2|،...،|λن|){\displaystyle \lambda (G)=\max _{i\neq 1}|\lambda _{i}|=\max(|\lambda _{2}|,\ldots ,|\lambda _{n}|)}متصلد{\displaystyle d}-رسم بياني منتظمجي{\displaystyle G}يُعتبر رسمًا بيانيًا من نوع رامانوجان إذاλ(جي)≤2د-1{\displaystyle \lambda (G)\leq 2{\sqrt {d-1}}}.

تستخدم العديد من المصادر تعريفًا بديلاًλ′(جي)=الأعلى|λأنا|<د|λأنا|{\displaystyle \lambda '(G)=\max _{|\lambda _{i}|<d}|\lambda _{i}|}(كلما وُجد)λأنا{\displaystyle \lambda _{i}}مع|λأنا|<د{\displaystyle |\lambda _{i}|<d}) لتعريف رسوم رامانوجان البيانية. [ 2 ] بعبارة أخرى، نسمح-د{\displaystyle -d}بالإضافة إلى القيم الذاتية "الصغيرة". بما أنλن=-د{\displaystyle \lambda _{n}=-d}إذا وفقط إذا كان الرسم البياني ثنائي الأجزاء ، فسنشير إلى الرسوم البيانية التي تحقق هذا التعريف البديل ولكن لا تحقق التعريف الأول باسم رسوم رامانوجان ثنائية الأجزاء .جي{\displaystyle G}إذا كان رسمًا بيانيًا من نوع رامانوجان،جي×ك2{\displaystyle G\times K_{2}}هو رسم بياني ثنائي الأجزاء من نوع رامانوجان، لذا فإن وجود رسوم بيانية من نوع رامانوجان أقوى.

كما لاحظ توشيكازو سونادا ، فإن الرسم البياني المنتظم يكون رامانوجان إذا وفقط إذا كانت دالة زيتا إيهارا الخاصة به تحقق نظيرًا لفرضية ريمان . [ 3 ]

أمثلة وتركيبات

أمثلة صريحة

  • الرسم البياني الكاملكد+1{\displaystyle K_{d+1}}لديه طيفد،-1،-1،...،-1{\displaystyle d,-1,-1,\dots ,-1}وبالتاليλ(كد+1)=1{\displaystyle \lambda (K_{d+1})=1}والرسم البياني هو رسم بياني رامانوجان لكلد>1{\displaystyle d>1}الرسم البياني الثنائي الكاملكد،د{\displaystyle K_{d,d}}لديه طيفد،0،0،...،0،-د{\displaystyle d,0,0,\dots ,0,-d}وبالتالي، فإن الرسم البياني هو رسم بياني ثنائي الأجزاء من نوع رامانوجان لكلد{\displaystyle d}.
  • يحتوي مخطط بيترسن على طيف3،1،1،1،1،1،-2،-2،-2،-2{\displaystyle 3,1,1,1,1,1,-2,-2,-2,-2}لذا فهو رسم بياني منتظم من الدرجة الثالثة من نوع رامانوجان. أما الرسم البياني ذو العشرين وجهًا فهو رسم بياني منتظم من الدرجة الخامسة من نوع رامانوجان. [ 4 ]
  • رسم بياني بالي من الرتبةq{\displaystyle q}يكونq-12{\displaystyle {\frac {q-1}{2}}}- منتظم مع جميع القيم الذاتية الأخرى-1±q2{\displaystyle {\frac {-1\pm {\sqrt {q}}}{2}}}مما يجعل مخططات بالي عائلة لانهائية من مخططات رامانوجان.
  • وبشكل أعم، دعو(x){\displaystyle f(x)}ليكن متعدد حدود من الدرجة الثانية أو الثالثة علىFq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}. يتركS={و(x):x∈Fq}{\displaystyle S=\{f(x)\,:\,x\in \mathbb {F} _{q}\}}كن صورة لـو(x){\displaystyle f(x)}كمجموعة متعددة، ولنفترضS=-S{\displaystyle S=-S}ثم رسم كايلي البياني لـFq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}مع مولدات منS{\displaystyle S}هو رسم بياني لرامانوجان.

يهتم علماء الرياضيات غالبًا ببناء عائلات لانهائية مند{\displaystyle d}- رسوم بيانية منتظمة لرامانوجان لكل قيمة ثابتةد{\displaystyle d}تُعد هذه العائلات مفيدة في التطبيقات.

الإنشاءات الجبرية

تظهر العديد من الإنشاءات الصريحة لمخططات رامانوجان كمخططات كايلي، وهي ذات طبيعة جبرية. انظر دراسة ويني لي حول حدسية رامانوجان وجوانب أخرى من نظرية الأعداد ذات الصلة بهذه النتائج. [ 5 ]

أظهر كل من لوبوتزكي وفيليبس وسارناك [ 2 ] ، وبشكل مستقل مارغوليس [ 6 ] ، كيفية بناء عائلة لانهائية من(ص+1){\displaystyle (p+1)}- رسوم بيانية رامانوجان منتظمة، كلماص{\displaystyle p}هو عدد أولي وص≡1(تعديل4){\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}يستخدم كلا البرهانين حدسية رامانوجان ، التي أدت إلى تسمية مخططات رامانوجان. وإلى جانب كونها مخططات رامانوجان، فإن هذه الإنشاءات تحقق بعض الخصائص الأخرى، على سبيل المثال، محيطها هوΩ(سجلص⁡(ن)){\displaystyle \Omega (\log _{p}(n))}أينن{\displaystyle n}هو عدد العقد.

لنرسم مخطط لوبوتسكي-فيليبس-سارناك.q≡1تعديل4{\displaystyle q\equiv 1{\bmod {4}}}ليكن عددًا أوليًا لا يساويص{\displaystyle p}بحسب نظرية جاكوبي للمربعات الأربعة ، هناكص+1{\displaystyle p+1}حلول المعادلةص=أ02+أ12+أ22+أ32{\displaystyle p=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}أينأ0>0{\displaystyle a_{0}>0}غريب وأ1،أ2،أ3{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}}متساوية. لكل حل من هذه الحلول، اربط بـPGL⁡(2،Z/qZ){\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )}مصفوفةα~=(أ0+أناأ1أ2+أناأ3-أ2+أناأ3أ0-أناأ1)،أنا حل ثابت لـ أنا2=-1تعديلq.{\displaystyle {\tilde {\alpha }}={\begin{pmatrix}a_{0}+ia_{1}&a_{2}+ia_{3}\\-a_{2}+ia_{3}&a_{0}-ia_{1}\end{pmatrix}},\qquad i{\text{ a fixed solution to }}i^{2}=-1{\bmod {q}}.}لوص{\displaystyle p}ليس باقيًا تربيعيًا moduloq{\displaystyle q}يتركXص،q{\displaystyle X^{p,q}}ليكن الرسم البياني لكايلي لـPGL⁡(2،Z/qZ){\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )}مع هذهص+1{\displaystyle p+1}المولدات، وإلا، دعXص،q{\displaystyle X^{p,q}}ليكن الرسم البياني لكايلي لـدوري السوبر الباكستاني⁡(2،Z/qZ){\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )}باستخدام نفس المولدات. ثمXص،q{\displaystyle X^{p,q}}هو(ص+1){\displaystyle (p+1)}- رسم بياني منتظم علىن=q(q2-1){\displaystyle n=q(q^{2}-1)}أوq(q2-1)/2{\displaystyle q(q^{2}-1)/2}تعتمد الرؤوس على ما إذا كان ص{\displaystyle p}هو الباقي التربيعي moduloq{\displaystyle q}ثبت أنXص،q{\displaystyle X^{p,q}}هو رسم بياني لرامانوجان.

قام مورغنسترن [ 7 ] لاحقًا بتوسيع بناء لوبوتزكي وفيليبس وسارناك. ويبقى بناؤه الموسع صحيحًا كلماص{\displaystyle p}هي قوة رئيسية .

أثبت أرنولد بيزر أن مخططات التماثل الفائق هي مخططات رامانوجان، على الرغم من أنها تميل إلى أن تكون ذات محيط أصغر من مخططات لوبوتسكي وفيليبس وسارناك. [ 8 ] ومثل مخططات لوبوتسكي وفيليبس وسارناك، فإن درجات هذه المخططات هي دائمًا عدد أولي زائد واحد.

أمثلة احتمالية

أثبت آدم ماركوس ودانيال سبيلمان ونيخيل سريفاستافا [ 9 ] وجود عدد لا نهائي مند{\displaystyle d}- رسوم بيانية منتظمة ثنائية الأجزاء لرامانوجان لأيد≥3{\displaystyle d\geq 3}وفي وقت لاحق [ 10 ] أثبتوا وجود رسوم بيانية ثنائية الأجزاء من نوع رامانوجان لكل درجة ولكل عدد من الرؤوس. وقد بيّن مايكل ب. كوهين [ 11 ] كيفية إنشاء هذه الرسوم البيانية في وقت متعدد الحدود.

اتبع العمل الأولي نهج بيلو ولينيال . لقد درسوا عملية تسمى الرفع المزدوج والتي تتطلبد{\displaystyle d}-رسم بياني منتظمجي{\displaystyle G}معن{\displaystyle n}رؤوس وإشارة على كل حافة، وينتج جديدًاد{\displaystyle d}-رسم بياني منتظمجي′{\displaystyle G'}على2ن{\displaystyle 2n}الرؤوس. افترض بيلو ولينيال أنه يوجد دائمًا إشارة بحيث تكون كل قيمة ذاتية جديدة لـجي′{\displaystyle G'}له حجم في أقصى حد2د-1{\displaystyle 2{\sqrt {d-1}}}تضمن هذه الفرضية وجود رسوم بيانية رامانوجان من الدرجةد{\displaystyle d}و2ك(د+1){\displaystyle 2^{k}(d+1)}رؤوس لأيك{\displaystyle k}ابدأ ببساطة بالرسم البياني الكاملكد+1{\displaystyle K_{d+1}}، ثم يتم تكرار استخدام المصعدين اللذين يحتفظان بخاصية رامانوجان.

باستخدام طريقة تداخل كثيرات الحدود، أثبت ماركوس وسبيل مان وسريفاستافا [ 9 ] صحة حدسية بيلو ولينيال عندماجي{\displaystyle G}هو بالفعل رسم بياني رامانوجان ثنائي الأجزاء، وهو ما يكفي لاستنتاج نتيجة الوجود. وقد أثبت الجزء التالي [ 10 ] العبارة الأقوى القائلة بأن مجموعد{\displaystyle d}تُعتبر المطابقات الثنائية العشوائية من نوع رامانوجان باحتمالية غير معدومة. وقد قام كل من هول، وبودر، وساوين [ 12 ] بتوسيع العمل الأصلي لماركوس، وسبيل مان، وسريفاستافا ليشمل عمليات الرفع من الرتبة r .

كانت مسألة ما إذا كان هناك عدد لا نهائي مند{\displaystyle d}رسوم بيانية رامانوجان منتظمة (غير ثنائية الأجزاء) لأيد≥3{\displaystyle d\geq 3}على سبيل المثال، كانت المشكلة مفتوحة لـد=7{\displaystyle d=7}أصغر حالة يكون فيهاد-1{\displaystyle d-1}ليست قوة أولية، وبالتالي لا يشملها بناء مورغنسترن. ومع ذلك، فقد ثبتت صحة هذا التخمين من خلال اكتشافٍ هام في عام 2024 [ 13 ] . على وجه الخصوص، ثبت أنه لأيد{\displaystyle d}وبالنسبة للكبير بما فيه الكفايةشمال{\displaystyle N}، ما يقرب من 69٪ مند{\displaystyle d}- رسوم بيانية منتظمة علىشمال{\displaystyle N}الرؤوس هي رامانوجان.

رسوم رامانوجان البيانية كرسوم بيانية موسعة

الثابت2د-1{\displaystyle 2{\sqrt {d-1}}}في تعريف رسوم رامانوجان، يكون التقارب حادًا. وبشكل أدق، ينص حد ألون-بوبانا على أنه لكلد{\displaystyle d}وϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}، يوجدن{\displaystyle n}بحيث يكون كلد{\displaystyle d}- رسوم بيانية منتظمةجي{\displaystyle G}مع على الأقلن{\displaystyle n}الرؤوس تحققλ(جي)>2د-1-ϵ{\displaystyle \lambda (G)>2{\sqrt {d-1}}-\epsilon }وهذا يعني أن رسوم رامانوجان البيانية هي في الأساس أفضل رسوم بيانية موسعة ممكنة .

نتيجة لتحقيق الحد الأدنى الضيقλ(جي){\displaystyle \lambda (G)}تُقدّم مبرهنة مزج الموسّع حدودًا ممتازة لانتظام توزيع الحواف في رسوم رامانوجان البيانية، كما أن أي مسار عشوائي على هذه الرسوم البيانية له زمن مزج لوغاريتمي (بدلالة عدد الرؤوس): بعبارة أخرى، يتقارب المسار العشوائي إلى التوزيع الثابت (المنتظم) بسرعة كبيرة. لذلك، فإن قطر رسوم رامانوجان البيانية محدود أيضًا لوغاريتميًا بدلالة عدد الرؤوس.

الرسوم البيانية العشوائية

أكد فريدمان [ 14 ] صحة تخمين ألون ، وأظهر أن العديد من عائلات الرسوم البيانية العشوائية هي رسوم بيانية رامانوجان ضعيفة . وهذا يعني أنه لكلد{\displaystyle d}وϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}وبالنسبة للكبير بما فيه الكفايةن{\displaystyle n}، عشوائيد{\displaystyle d}-عادين{\displaystyle n}الرسم البياني ذو الرؤوسجي{\displaystyle G}يرضيλ(جي)<2د-1+ϵ{\displaystyle \lambda (G)<2{\sqrt {d-1}}+\epsilon }باحتمالية عالية. في حين تُظهر هذه النتيجة أن الرسوم البيانية العشوائية قريبة من كونها رسومًا بيانية رامانوجان، إلا أنه لا يمكن استخدامها لإثبات وجود رسوم بيانية رامانوجان. ومع ذلك، يُفترض [ 15 ] أن الرسوم البيانية العشوائية هي رسوم بيانية رامانوجان باحتمالية كبيرة (حوالي 52%). بالإضافة إلى الأدلة العددية المباشرة، هناك بعض الدعم النظري لهذا الافتراض: الفجوة الطيفية لـد{\displaystyle d}يبدو أن الرسم البياني المنتظم يتصرف وفقًا لتوزيع تريسي-ويدوم من نظرية المصفوفات العشوائية، والذي من شأنه أن يتنبأ بنفس السلوك التقاربي.

في عام 2024، أثبتت دراسة أولية أجراها كل من جياويانغ هوانغ، وثيو ماكنزي، وهورنغ تزر ياو أنλ(جي)≤2د-1{\displaystyle \lambda (G)\leq 2{\sqrt {d-1}}}مع نسبة القيم الذاتية التي تصل إلى حد Alon-Boppana حوالي 69٪ من إثبات أن عالمية الحافة صحيحة، أي أنها تتبع توزيع Tracy-Widom المرتبط بمجموعة Gaussian Orthogonal Ensemble [ 16 ] [ 17 ]

تطبيقات رسوم رامانوجان البيانية

تُستخدم الرسوم البيانية الموسّعة في العديد من تطبيقات علوم الحاسوب، ونظرية الأعداد، ونظرية الزمر، كما هو موضح في دراسة لوبوتزكي حول تطبيقاتها في الرياضيات البحتة والتطبيقية، ودراسة هوري، ولينيال، وويغدرسون التي تركز على علوم الحاسوب. تُعتبر رسوم رامانوجان البيانية، من بعض النواحي، أفضل الرسوم الموسّعة، ولذا فهي مفيدة بشكل خاص في التطبيقات التي تتطلبها. ومن الجدير بالذكر أن رسوم لوبوتزكي، وفيليبس، وسارناك البيانية يمكن اجتيازها بسرعة فائقة عمليًا، مما يجعلها عملية للتطبيقات.

تتضمن بعض الأمثلة على التطبيقات ما يلي:

  • في تطبيق على الحلول السريعة لأنظمة لابلاس الخطية، اعتمد لي، بينغ، وسبيلمان [ 18 ] على وجود رسوم بيانية رامانوجان ثنائية الأجزاء من كل درجة من أجل تقريب الرسم البياني الكامل بسرعة.
  • أثبت لوبيتزكي وبيريز أن المشي العشوائي البسيط يُظهر ظاهرة القطع على جميع رسوم رامانوجان البيانية. [ 19 ] وهذا يعني أن المشي العشوائي يمر بانتقال طوري من حالة عدم الاختلاط التام إلى حالة الاختلاط التام في معيار التباين الكلي. وتعتمد هذه النتيجة بشكل كبير على كون الرسم البياني من نوع رامانوجان، وليس مجرد رسم بياني موسع - إذ من المعروف أن بعض الرسوم البيانية الموسعة الجيدة لا تُظهر ظاهرة القطع. [ 20 ]
  • تم اقتراح مخططات رامانوجان لبيزر كأساس لتشفير المنحنيات الإهليلجية ما بعد الكم . [ 21 ]
  • يمكن استخدام مخططات رامانوجان لإنشاء رموز التوسيع ، وهي رموز جيدة لتصحيح الأخطاء .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ورقة بحثية من إعداد م. رام مورتي
  2. 1 2 ألكسندر لوبوتزكي؛ رالف فيليبس؛ بيتر سارناك (1988). "مخططات رامانوجان". كومبيناتوريكا . 8 (3): 261-277 . doi : 10.1007/BF02126799 . S2CID 206812625 . 
  3. ↑ تيراس، أودري (2011)، دوال زيتا للرسوم البيانية: نزهة في الحديقة ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد 128، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN  978-0-521-11367-0MR 2768284​ 
  4. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "الرسم البياني ذو العشرين وجهًا" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-11-2019 .
  5. ↑ لي، ويني (2020). "فرضية رامانوجان وتطبيقاتها" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية أ . 378-2163 (2163). Bibcode : 2020RSPTA.37880441W . doi : 10.1098 / rsta.2018.0441 . PMC 6939229. PMID 31813366 .  
  6. ↑ مارغوليس ، جي إيه (1988). "الإنشاءات الصريحة لنظرية الزمر للمخططات التوافقية وتطبيقاتها في بناء الموسعات والمجمعات" . مشاكل بحوث المعلومات 24-1 : 51-60 .
  7. ↑ موشيه مورغنسترن (1994). "وجود وإنشاءات صريحة لمخططات رامانوجان المنتظمة من الرتبة q+1 لكل قوة أولية q" . مجلة نظرية التوافيق . السلسلة ب. 62 : 44-62 . doi : 10.1006/jctb.1994.1054 .
  8. ↑ بيزر، أرنولد ك. (1990)، "مخططات رامانوجان ومؤثرات هيك"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، السلسلة الجديدة، 23 (1): 127-137 ، doi : 10.1090/S0273-0979-1990-15918-X ، MR 1027904 
  9. 1 2 آدم ماركوس ؛ دانيال سبيل مان ؛ نيخيل سريفاستافا (2013). عائلات التداخل 1: رسوم بيانية رامانوجان ثنائية الأجزاء من جميع الدرجات (ملف PDF) . أسس علوم الحاسوب (FOCS)، الندوة السنوية الرابعة والخمسون لمعهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات (IEEE) لعام 2013.
  10. 1 2 آدم ماركوس ؛ دانيال سبيل مان ؛ نيخيل سريفاستافا (2015). عائلات التداخل IV: رسوم بيانية رامانوجان ثنائية الأجزاء بجميع الأحجام (ملف PDF) . أسس علوم الحاسوب (FOCS)، الندوة السنوية السادسة والخمسون لمعهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات (IEEE) لعام 2015.
  11. ↑ مايكل ب. كوهين (2016). رسوم بيانية رامانوجان في وقت متعدد الحدود . أسس علوم الحاسوب (FOCS)، الندوة السنوية السابعة والخمسون لمعهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات (IEEE) لعام 2016. arXiv : 1604.03544 . doi : 10.1109/FOCS.2016.37 .
  12. ↑ هول، كريس؛ بودر، دورون؛ ساوين، ويليام ف. (2018). "أغطية رامانوجان للرسوم البيانية". التقدم في الرياضيات . 323 : 367-410 . arXiv : 1506.02335 . doi : 10.1016/j.aim.2017.10.042 .
  13. ↑ هوانغ، جياويانغ؛ ماكنزي، ثيو؛ ياو، هورنغ-تزر (2024). "خاصية رامانوجان وشمولية الحواف للرسوم البيانية المنتظمة العشوائية". arXiv : 2412.20263 [ math.PR ].
  14. ↑ فريدمان، جويل (2003). "الموسعات النسبية أو رسوم رامانوجان النسبية الضعيفة". مجلة ديوك الرياضية . 118 (1): 19-35 . doi : 10.1215/S0012-7094-03-11812-8 . MR 1978881 . 
  15. ↑ ميلر، ستيفن جيه؛ نوفيكوف، تيم؛ سابيلي، أنتوني (2008). "توزيع أكبر القيم الذاتية غير التافهة في عائلات الرسوم البيانية المنتظمة العشوائية" . الرياضيات التجريبية . 17 (2): 231-244 . arXiv : math/0611649 . doi : 10.1080/10586458.2008.10129029 .
  16. ↑ هوانغ، جياويانغ؛ ماكنزي، ثيو؛ ياو، هورنغ-تزر (2024). "خاصية رامانوجان وشمولية الحواف للرسوم البيانية المنتظمة العشوائية". arXiv : 2412.20263 [ math.PR ].
  17. ↑ سلومان، ليلى (18 أبريل 2025). "دليل جديد يحسم رهانًا عمره عقود حول الشبكات المتصلة" . مجلة كوانتا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 مايو 2025 .
  18. ↑ لي، ين تات؛ بينغ، ريتشارد؛ سبيلمان، دانيال أ. (2015-08-13). "حلول تشوليسكي المخففة للأنظمة الخطية SDD". arXiv : 1506.08204 [ cs.DS ].
  19. ↑ لوبيتزكي، إيال؛ بيريز، يوفال (2016-07-01). "القطع على جميع رسوم رامانوجان البيانية" . التحليل الهندسي والوظيفي . 26 (4): 1190-1216 . arXiv : 1507.04725 . doi : 10.1007/s00039-016-0382-7 . ISSN 1420-8970 . S2CID 13803649 .  
  20. ↑ لوبيتزكي، إيال؛ سلاي، آلان (2011-01-01). "الموسعات الصريحة مع ظواهر القطع" . المجلة الإلكترونية للاحتمالات . 16 (بدون رقم مرجعي). arXiv : 1003.3515 . doi : 10.1214/EJP.v16-869 . ISSN 1083-6489 . S2CID 9121682 .  
  21. ↑ إيزنتراغر، كيرستن ؛ هالغرين، شون؛ لاوتر، كريستين ؛ موريسون، ترافيس؛ بيتي، كريستوف (2018)، "مخططات التماثل الفائق وحلقات التشكل الداخلي: الاختزالات والحلول" (PDF) ، في نيلسن، جيسبر بوس؛ ريجمن، فنسنت (محرران)، التقدم في علم التشفير - يورو كريبت 2018: المؤتمر الدولي السنوي السابع والثلاثون حول نظرية وتطبيقات تقنيات التشفير، تل أبيب، إسرائيل، 29 أبريل - 3 مايو 2018، وقائع، الجزء الثالث (PDF) ، سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب، المجلد. 10822، شام: سبرينغر، الصفحات من 329 إلى 368، دوى : 10.1007/978-3-319-78372-7_11 ، hdl : 2013/ULB-DIPOT:oai:dipot.ulb.ac.be:2013/321916 ، ISBN   978-3-319-78371-0، MR 3794837 ، S2CID 4850644  

للمزيد من القراءة