مجموع رامانوجان

هذه الصيغ مستمدة من تعريف صيغة أويلر${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$والمتطابقات المثلثية الأساسية.

${\displaystyle {\begin{align}c_{1}(n)&=1\\c_{2}(n)&=\cos n\pi \\c_{3}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{3}}n\pi \\c_{4}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{2}}n\pi \\c_{5}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{5}}n\pi \\c_{6}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{3}}n\pi \\c_{7}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {6}{7}}n\pi \\c_{8}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{4}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{4}}n\pi \\c_{9}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {8}{9}}n\pi \\c_{10}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{5}}n\pi \\\end{aligned}}}$

وهكذا ( OEIS : A000012  ، OEIS : A033999  ، OEIS : A099837  ، OEIS : A176742  ،..، OEIS : A100051  ،...). c _q ( n ) هو دائمًا عدد صحيح.

يترك${\displaystyle \zeta _{q}=e^{\frac {2\pi i}{q}}.}$إذن، _ζq هو جذر للمعادلة xq − 1 = 0. كل قوة من قوى هذه المعادلة ^،

${\displaystyle \zeta _{q},\zeta _{q}^{2},\ldots ,\zeta _{q}^{q-1},\zeta _{q}^{q}=\zeta _{q}^{0}=1}$

وهو أيضًا جذر. لذلك، بما أن عددها q ، فهي جميعها جذور. الأعداد${\displaystyle \zeta _{q}^{n}}$حيث 1 ≤ n ≤ q تُسمى الجذور من الرتبة q للوحدة . يُطلق على ζ _q اسم الجذر الأولي من الرتبة q للوحدة لأن أصغر قيمة لـ n تجعل${\displaystyle \zeta _{q}^{n}=1}$هو q . الجذور الأولية الأخرى للوحدة من الرتبة q هي الأعداد${\displaystyle \zeta _{q}^{a}}$حيث ( a , q ) = 1. لذلك، هناك φ( q ) جذور أولية من الرتبة q للوحدة.

وبالتالي، فإن مجموع رامانوجان c _q ( n ) هو مجموع القوى n للجذور الأولية q للوحدة.

من الحقائق ^{[ 3 ]} أن قوى ζ _q هي بالضبط الجذور الأولية لجميع قواسم q .

مثال: لنفترض أن q = 12. إذن

${\displaystyle \zeta _{12},\zeta _{12}^{5},\zeta _{12}^{7},}$و${\displaystyle \zeta _{12}^{11}}$هي الجذور الاثني عشر البدائية للوحدة،

${\displaystyle \zeta _{12}^{2}}$و${\displaystyle \zeta _{12}^{10}}$هي الجذور السادسة البدائية للوحدة،

${\displaystyle \zeta _{12}^{3}=i}$و${\displaystyle \zeta _{12}^{9}=-i}$هي الجذور الرابعة البدائية للوحدة،

${\displaystyle \zeta _{12}^{4}}$و${\displaystyle \zeta _{12}^{8}}$هي الجذور الثالثة البدائية للوحدة،

${\displaystyle \zeta _{12}^{6}=-1}$هو الجذر الثاني البدائي للوحدة، و

${\displaystyle \zeta _{12}^{12}=1}$هو الجذر الأول البدائي للوحدة.

لذلك، إذا

${\displaystyle \eta _{q}(n)=\sum _{k=1}^{q}\zeta _{q}^{kn}}$

هو مجموع القوى النونية لجميع الجذور، الأولية وغير الأولية،

${\displaystyle \eta _{q}(n)=\sum _{d\mid q}c_{d}(n),}$

وبواسطة انعكاس موبيوس ،

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{d\mid q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)\eta _{d}(n).}$

يستنتج من المتطابقة x ^q − 1 = ( x − 1)( x ^{q −1} + x ^{q −2} + ... + x + 1) أن

${\displaystyle \eta _{q}(n)={\begin{cases}0&q\nmid n\\q&q\mid n\\\end{cases}}}$

وهذا يؤدي إلى الصيغة

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{d\mid (q,n)}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d,}$

نُشر بواسطة كلوفر في عام 1906. ^{[ 4 ]}

هذا يُظهر أن c _q ( n ) هو دائمًا عدد صحيح. قارن ذلك بالصيغة

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{d\mid q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d.}$

يمكن إثبات بسهولة من التعريف أن c _q ( n ) دالة ضربية عند اعتبارها دالة لـ q لقيمة ثابتة لـ n : ^{[ 5 ]} أي

$إذا كان (q,r)=1، فإن c_q(n)c_r(n)=c_qr(n).$

من التعريف (أو صيغة كلوفر) ​​من السهل إثبات أنه إذا كان p عددًا أوليًا،

${\displaystyle c_{p}(n)={\begin{cases}-1&{\mbox{ if }}p\nmid n\\\phi (p)&{\mbox{ if }}p\mid n\\\end{cases}},}$

وإذا كان p k ^قوة عدد أولي حيث k > 1،

${\displaystyle c_{p^{k}}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}p^{k-1}\nmid n\\-p^{k-1}&{\mbox{ if }}p^{k-1}\mid n{\mbox{ and }}p^{k}\nmid n\\\phi (p^{k})&{\mbox{ if }}p^{k}\mid n\\\end{cases}}.}$

يمكن استخدام هذه النتيجة والخاصية الضربية لإثبات

${\displaystyle c_{q}(n)=\mu \left({\frac {q}{(q,n)}}\right){\frac {\phi (q)}{\phi \left({\frac {q}{(q,n)}}\right)}}.}$

تُسمى هذه الدالة دالة فون ستيرنيك الحسابية. ^{[ 6 ]} ويعود تكافؤها مع مجموع رامانوجان إلى هولدر. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

لكل الأعداد الصحيحة الموجبة q ،

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(q)&=1\\c_{q}(1)&=\mu (q)\\c_{q}(q)&=\phi (q)\\c_{q}(m)&=c_{q}(n)&&{\text{for }}m\equiv n{\pmod {q}}\\\end{aligned}}}$

بالنسبة لقيمة ثابتة لـ q، فإن القيمة المطلقة للمتتالية${\displaystyle \{c_{q}(1),c_{q}(2),\ldots \}}$محدودة بـ φ( q )، وبالنسبة لقيمة ثابتة لـ n، فإن القيمة المطلقة للمتتالية${\displaystyle \{c_{1}(n),c_{2}(n),\ldots \}}$محصورة بـ n .

إذا كانت قيمة q أكبر من 1

${\displaystyle \sum _{n=a}^{a+q-1}c_{q}(n)=0.}$

ليكن m1 _و m2 > 0، _و m = lcm ( m1 _, m2 ₎ . عندئذٍ ^{[ 9 ]} تحقق مجاميع رامانوجان خاصية التعامد :

${\displaystyle {\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{m_{1}}(k)c_{m_{2}}(k)={\begin{cases}\phi (m)&m_{1}=m_{2}=m,\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

لنفترض أن n و k > 0. إذن ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \sum _{\stackrel {d\mid n}{\gcd(d,k)=1}}d\;{\frac {\mu ({\tfrac {n}{d}})}{\phi (d)}}={\frac {\mu (n)c_{n}(k)}{\phi (n)}},}$

تُعرف باسم هوية براور - رادماخر .

إذا كان n > 0 و a أي عدد صحيح، فلدينا أيضًا ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}c_{n}(k-a)=\mu (n)c_{n}(a),}$

بسبب كوهين.

الدوال المولدة لمجاميع رامانوجان هي متسلسلات ديريشليه :

${\displaystyle \zeta (s)\sum _{\delta \,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta ^{1-s}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{n^{s}}}}$

هي دالة مولدة للمتتالية c _q (1) ، c _q (2) ، ... حيث q ثابتة، و

${\displaystyle {\frac {\sigma _{r-1}(n)}{n^{r-1}\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}}}}$

هي دالة توليد للمتتالية c ₁ ( n ) ، c ₂ ( n ) ، ... حيث يتم الحفاظ على n ثابتًا.

توجد أيضًا سلسلة ديريشليه المزدوجة

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (r+s-1)}{\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}n^{s}}}.}$

يمكن التعبير عن متعددة الحدود التي تحتوي على مجموع رامانوجان كمعاملات باستخدام متعددة الحدود الدائرية ^{[ 17 ].}

${\displaystyle \sum _{n=1}^{q}c_{q}(n)x^{n-1}=(x^{q}-1){\frac {\Phi _{q}'(x)}{\Phi _{q}(x)}}=\Phi _{q}'(x)\prod _{\begin{array}{c}d\mid q\\[-4pt]d\neq q\end{array}}\Phi _{d}(x)}$

σ _k ( n ) هي دالة القواسم (أي مجموع القوى k لقواسم n ، بما في ذلك 1 و n ). σ ₀ ( n ) ، عدد قواسم n ، يُكتب عادةً d ( n )، و σ ₁ ( n ) ، مجموع قواسم n ، يُكتب عادةً σ( n ) .

إذا كانت قيمة s أكبر من الصفر ،

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{s}(n)&=n^{s}\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\cdots \right)\\\sigma _{-s}(n)&=\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

يؤدي ضبط s = 1 إلى

${\displaystyle \sigma (n)={\frac {\pi ^{2}}{6}}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{2}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}+\cdots \right).}$

إذا كانت فرضية ريمان صحيحة، و${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}<s<{\tfrac {1}{2}},}$

${\displaystyle \sigma _{s}(n)=\zeta (1-s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1-s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1-s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1-s}}}+\cdots \right)=n^{s}\zeta (1+s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1+s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1+s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1+s}}}+\cdots \right).}$

d ( n ) = σ ₀ ( n ) هو عدد قواسم n ، بما في ذلك 1 و n نفسه.

${\displaystyle {\begin{aligned}-d(n)&={\frac {\log 1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log 2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log 3}{3}}c_{3}(n)+\cdots \\-d(n)(2\gamma +\log n)&={\frac {\log ^{2}1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log ^{2}2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log ^{2}3}{3}}c_{3}(n)+\cdots \end{aligned}}}$

حيث γ = 0.5772... هو ثابت أويلر-ماسكيروني .

دالة أويلر φ( n ) هي عدد الأعداد الصحيحة الموجبة الأقل من n والأعداد الأولية النسبية مع n . وقد عرّف رامانوجان تعميمًا لها، إذا

${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}\cdots }$

هو التحليل الأولي للعدد n ، و s عدد مركب ، ليكن

${\displaystyle \varphi _{s}(n)=n^{s}(1-p_{1}^{-s})(1-p_{2}^{-s})(1-p_{3}^{-s})\cdots ,}$

بحيث تكون φ ₁ ( n ) = φ ( n ) دالة أويلر. ^{[ 18 ]}

يثبت ذلك

${\displaystyle {\frac {\mu (n)n^{s}}{\varphi _{s}(n)\zeta (s)}}=\sum _{\nu =1}^{\infty }{\frac {\mu (n\nu )}{\nu ^{s}}}}$

ويستخدم هذا لإثبات أن

${\displaystyle {\frac {\varphi _{s}(n)\zeta (s+1)}{n^{s}}}={\frac {\mu (1)c_{1}(n)}{\varphi _{s+1}(1)}}+{\frac {\mu (2)c_{2}(n)}{\varphi _{s+1}(2)}}+{\frac {\mu (3)c_{3}(n)}{\varphi _{s+1}(3)}}+\cdots .}$

بفرض أن s = 1 ،

${\displaystyle \varphi (n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}n\left(c_{1}(n)-{\frac {c_{2}(n)}{2^{2}-1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{2}-1}}-{\frac {c_{5}(n)}{5^{2}-1}}+{\frac {c_{6}(n)}{(2^{2}-1)(3^{2}-1)}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{2}-1}}+{\frac {c_{10}(n)}{(2^{2}-1)(5^{2}-1)}}-\cdots \right).}$

لاحظ أن الثابت هو معكوس ^{[ 19 ]} للثابت الموجود في صيغة σ( n ) .

دالة فون مانجولد Λ( n ) = 0 إلا إذا كان n = p ^k قوة لعدد أولي، وفي هذه الحالة يكون اللوغاريتم الطبيعي log p .

${\displaystyle -\Lambda (m)=c_{m}(1)+{\frac {1}{2}}c_{m}(2)+{\frac {1}{3}}c_{m}(3)+\cdots }$

لكل n > 0 ،

${\displaystyle 0=c_{1}(n)+{\frac {1}{2}}c_{2}(n)+{\frac {1}{3}}c_{3}(n)+\cdots .}$

هذا يعادل نظرية الأعداد الأولية . ^{[ 20 ] [ 21 ]}

يمثل r _{2 s} ( n ) عدد طرق تمثيل n كمجموع 2 s مربع ، مع اعتبار الترتيبات والإشارات المختلفة مختلفة (على سبيل المثال، r ₂ (13) = 8 ، حيث 13 = (±2) ² + (±3) ² = (±3) ² + (±2) ² .)

_{يُعرّف رامانوجان} دالة δ²s ( n ) ويشير إلى ورقة بحثية _{[22] أثبت فيها أن r²s} ^{( n )} = δ²s ( n ₎ لقيم _{s =} 1 ، 2 ، 3، و4 . أما بالنسبة لقيم _s > 4 ، _{فيُبيّن} أن _δ²s ( n ) تُشكّل تقريبًا جيدًا _لـ r²s ( _n ) .

للحالة s = 1 صيغة خاصة:

${\displaystyle \delta _{2}(n)=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-\cdots \right).}$

في الصيغ التالية، تتكرر الإشارات بفترة 4.

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 0{\pmod {4}}\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 2{\pmod {4}}\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 1{\pmod {4}}{\text{ and }}s>1\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 3{\pmod {4}}\\\end{aligned}}}$

وبالتالي،

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{2}(n)&=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-{\frac {c_{7}(n)}{7}}+{\frac {c_{11}(n)}{11}}-{\frac {c_{13}(n)}{13}}+{\frac {c_{15}(n)}{15}}-{\frac {c_{17}(n)}{17}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{4}(n)&=\pi ^{2}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}-{\frac {c_{8}(n)}{16}}+{\frac {c_{5}(n)}{25}}-{\frac {c_{12}(n)}{36}}+{\frac {c_{7}(n)}{49}}-{\frac {c_{16}(n)}{64}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{6}(n)&={\frac {\pi ^{3}n^{2}}{2}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{8}}-{\frac {c_{3}(n)}{27}}-{\frac {c_{8}(n)}{64}}+{\frac {c_{5}(n)}{125}}-{\frac {c_{12}(n)}{216}}-{\frac {c_{7}(n)}{343}}-{\frac {c_{16}(n)}{512}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{8}(n)&={\frac {\pi ^{4}n^{3}}{6}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{4}(n)}{16}}+{\frac {c_{3}(n)}{81}}+{\frac {c_{8}(n)}{256}}+{\frac {c_{5}(n)}{625}}+{\frac {c_{12}(n)}{1296}}+{\frac {c_{7}(n)}{2401}}+{\frac {c_{16}(n)}{4096}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle r'_{2s}(n)}$يمثل عدد الطرق التي يمكن بها تمثيل n كمجموع 2 s من الأعداد المثلثية (أي الأعداد 1، 3 = 1 + 2، 6 = 1 + 2 + 3، 10 = 1 + 2 + 3 + 4، 15، ...؛ يتم إعطاء العدد المثلثي رقم n بالصيغة n ⁠ n + 1 / 2 ⁠ .)

يشبه التحليل هنا تحليل المربعات. ويشير رامانوجان إلى نفس الورقة البحثية التي استخدمها في تحليل المربعات، حيث أثبت وجود دالة.${\displaystyle \delta '_{2s}(n)}$بحيث${\displaystyle r'_{2s}(n)=\delta '_{2s}(n)}$بالنسبة لـ s = 1، 2، 3، و 4 ، وبالنسبة لـ s > 4 ،${\displaystyle \delta '_{2s}(n)}$يُعد تقريبًا جيدًا لـ${\displaystyle r'_{2s}(n).}$

مرة أخرى، يتطلب s = 1 صيغة خاصة:

${\displaystyle \delta '_{2}(n)={\frac {\pi }{4}}\left({\frac {c_{1}(4n+1)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+1)}{3}}+{\frac {c_{5}(4n+1)}{5}}-{\frac {c_{7}(4n+1)}{7}}+\cdots \right).}$

إذا كان s من مضاعفات العدد 4،

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(n+{\frac {s}{4}})}{1^{s}}}+{\frac {c_{3}(n+{\frac {s}{4}})}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(n+{\frac {s}{4}})}{5^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 0{\pmod {4}}\\[6pt]\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(2n+{\frac {s}{2}})}{1^{s}}}+{\frac {c_{3}(2n+{\frac {s}{2}})}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(2n+{\frac {s}{2}})}{5^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 2{\pmod {4}}\\[6pt]\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(4n+s)}{1^{s}}}-{\frac {c_{3}(4n+s)}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(4n+s)}{5^{s}}}-\cdots \right)&&s\equiv 1{\pmod {2}}{\text{ and }}s>1\end{aligned}}}$

لذلك،

${\displaystyle {\begin{aligned}r'_{2}(n)&={\frac {\pi }{4}}\left({\frac {c_{1}(4n+1)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+1)}{3}}+{\frac {c_{5}(4n+1)}{5}}-{\frac {c_{7}(4n+1)}{7}}+\cdots \right)\\[6pt]r'_{4}(n)&=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {c_{1}(2n+1)}{1}}+{\frac {c_{3}(2n+1)}{9}}+{\frac {c_{5}(2n+1)}{25}}+\cdots \right)\\[6pt]r'_{6}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{3}}{2}}\left(n+{\frac {3}{4}}\right)^{2}\left({\frac {c_{1}(4n+3)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+3)}{27}}+{\frac {c_{5}(4n+3)}{125}}-\cdots \right)\\[6pt]r'_{8}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{4}}{6}}(n+1)^{3}\left({\frac {c_{1}(n+1)}{1}}+{\frac {c_{3}(n+1)}{81}}+{\frac {c_{5}(n+1)}{625}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

يترك

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{q}(n)&=c_{q}(1)+c_{q}(2)+\cdots +c_{q}(n)\\U_{q}(n)&=T_{q}(n)+{\tfrac {1}{2}}\phi (q)\end{aligned}}}$

ثم بالنسبة لـ s > 1 ،

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{-s}(1)+\cdots +\sigma _{-s}(n)&=\zeta (s+1)\left(n+{\frac {T_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {T_{3}(n)}{3^{s+1}}}+{\frac {T_{4}(n)}{4^{s+1}}}+\cdots \right)\\&=\zeta (s+1)\left(n+{\tfrac {1}{2}}+{\frac {U_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {U_{3}(n)}{3^{s+1}}}+{\frac {U_{4}(n)}{4^{s+1}}}+\cdots \right)-{\tfrac {1}{2}}\zeta (s)\\d(1)+\cdots +d(n)&=-{\frac {T_{2}(n)\log 2}{2}}-{\frac {T_{3}(n)\log 3}{3}}-{\frac {T_{4}(n)\log 4}{4}}-\cdots \\d(1)\log 1+\cdots +d(n)\log n&=-{\frac {T_{2}(n)(2\gamma \log 2-\log ^{2}2)}{2}}-{\frac {T_{3}(n)(2\gamma \log 3-\log ^{2}3)}{3}}-{\frac {T_{4}(n)(2\gamma \log 4-\log ^{2}4)}{4}}-\cdots \\r_{2}(1)+\cdots +r_{2}(n)&=\pi \left(n-{\frac {T_{3}(n)}{3}}+{\frac {T_{5}(n)}{5}}-{\frac {T_{7}(n)}{7}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$