الفترة الغاوسية

في الرياضيات ، وتحديدًا في مجال نظرية الأعداد ، تُعرف الدورة الغاوسية بأنها نوع من مجموع جذور الوحدة . تسمح هذه الدورات بإجراء حسابات صريحة في الحقول الدائرية المرتبطة بنظرية غالوا والتحليل التوافقي . انظر تحويل فورييه المنفصل . تُعد هذه الدورات أساسية في النظرية الكلاسيكية المعروفة باسم علم الدوائر . يرتبط بها ارتباطًا وثيقًا مجموع غاوس ، وهو نوع من المجموع الأسي الذي يُمثل توليفة خطية من الدورات.

كما يوحي الاسم، فقد قدم غاوس الدورات ، وكانت أساس نظريته في إنشاء الأشكال باستخدام الفرجار والمسطرة . فعلى سبيل المثال، اعتمد إنشاء الشكل السباعي عشر (وهي صيغة ساهمت في تعزيز شهرته) على جبر هذه الدورات، والتي

${\displaystyle 2\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)=\zeta +\zeta ^{16}\,}$

وهو مثال يتضمن الجذر السابع عشر للوحدة

$\displaystyle \zeta =\exp \left({\frac {2\pi i}{17}}\right).}$

بفرض عدد صحيح n > 1، ليكن H أي زمرة جزئية من الزمرة الضربية

${\displaystyle G=(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$

من البقايا القابلة للعكس modulo n ، ولتكن

$\displaystyle \zeta =\exp \left({\frac {2\pi i}{n}}\right).}$

الدورة الغاوسية P هي مجموع الجذور الأولية للوحدة من الرتبة n${\displaystyle \zeta ^{a}}$، أين${\displaystyle a}$يمر عبر جميع العناصر في مجموعة مشاركة ثابتة من H في G.

يمكن أيضًا تعريف P بدلالة أثر المجال . لدينا

${\displaystyle P=\operatorname {Tr} _{\mathbb {Q} (\zeta )/L}(\zeta ^{j})}$

لبعض الحقول الجزئية L من Q ( ζ ) وبعض j أولي نسبيًا مع n . يتوافق هذا مع التعريف السابق بتحديد G و H مع زمر غالوا لـ Q ( ζ )/ Q و Q ( ζ )/ L ، على التوالي. يحدد اختيار j اختيار المجموعة المشاركة لـ H في G في التعريف السابق.

تكون الحالة أبسط ما يمكن عندما يكون n عددًا أوليًا p > 2. في هذه الحالة، تكون G دورية من الرتبة p − 1، ولها زمرة جزئية واحدة H من الرتبة d لكل عامل d من p − 1. على سبيل المثال، يمكننا اختيار H ذات الدليل 2. في هذه الحالة، تتكون H من البواقي التربيعية modulo p . ويقابل هذه H الدورة الغاوسية.

${\displaystyle P=\zeta +\zeta ^{4}+\zeta ^{9}+\cdots }$

تم جمعها على ( p − 1)/2 من البقايا التربيعية، والفترة الأخرى P* تم جمعها على ( p − 1)/2 من البقايا غير التربيعية. من السهل ملاحظة ذلك.

${\displaystyle P+P^{*}=-1}$

بما أن الطرف الأيسر يجمع جميع الجذور الأولية من الرتبة p للعدد 1، ونعلم أيضًا، من تعريف الأثر، أن النقطة P تقع في امتداد تربيعي للمنحنى Q. لذلك، وكما عرف غاوس، فإن P تحقق معادلة تربيعية بمعاملات صحيحة. يرتبط حساب مربع المجموع P بمسألة حساب عدد البواقي التربيعية بين 1 و p − 1 التي تليها بواقي تربيعية. الحل بسيط (كما نقول الآن، فهو يحسب دالة زيتا محلية لمنحنى مخروطي ) .

( P − P *) ² = p أو − p ، لـ p = 4m + 1 أو 4m + 3 على التوالي.

وبالتالي، يُعطينا هذا معلومات دقيقة حول أي حقل تربيعي يقع في Q (ζ). (يمكن استنتاج ذلك أيضًا من خلال حجج التفرع في نظرية الأعداد الجبرية ؛ انظر الحقل التربيعي ).

كما أثبت غاوس لاحقًا، لحساب P − P *، فإن الجذر التربيعي الصحيح هو الجذر الموجب (أو i مضروبًا في عدد حقيقي موجب) في الحالتين. وبالتالي، تُعطى القيمة الصريحة للدورة P بالصيغة التالية:

${\displaystyle P={\begin{cases}{\frac {-1+{\sqrt {p}}}{2}},&{\text{إذا كان }}p=4m+1,\\[6pt]{\frac {-1+i{\sqrt {p}}}{2}},&{\text{إذا كان }}p=4m+3.\end{cases}}}$

كما سيتم توضيحه بمزيد من التفصيل لاحقًا، ترتبط الدورات الغاوسية ارتباطًا وثيقًا بفئة أخرى من مجاميع جذور الوحدة، والتي تُسمى عمومًا مجاميع غاوس (أو أحيانًا مجاميع غاوسية ). الكمية P − P * المذكورة أعلاه هي مجموع غاوس تربيعي modulo p ، وهو أبسط مثال غير تافه لمجموع غاوس. يُلاحظ أن P − P * يمكن كتابتها أيضًا على النحو التالي:

${\displaystyle \sum \chi (a)\zeta ^{a}}$

أين${\displaystyle \chi (a)}$يرمز هنا إلى رمز ليجندر ( a / p )، ويتم حساب المجموع على فئات البواقي بتردد p . وبشكل أعم، إذا كان لدينا محرف ديريشليه χ mod n ، فإن مجموع غاوس mod n المرتبط بـ χ هو

${\displaystyle G(k,\chi )=\sum _{m=1}^{n}\chi (m)\exp \left({\frac {2\pi imk}{n}}\right).}$

في الحالة الخاصة لـ${\displaystyle \chi =\chi _{1}}$الخاصية الرئيسية لـ Dirichlet ، يختزل مجموع Gauss إلى مجموع Ramanujan :

${\displaystyle G(k,\chi _{1})=c_{n}(k)=\sum _{m=1;(m,n)=1}^{n}\exp \left({\frac {2\pi imk}{n}}\right)=\sum _{d|(n,k)}d\mu \left({\frac {n}{d}}\right)}$

حيث μ هي دالة موبيوس .

مجاميع غاوس${\displaystyle G(k,\chi )}$تنتشر هذه الدوال في نظرية الأعداد؛ فعلى سبيل المثال، تظهر بشكل ملحوظ في المعادلات الوظيفية لدوال L. (تُعتبر مجاميع غاوس، بمعنى ما، نظائر دالة غاما في الحقول المنتهية ) .

ترتبط فترات غاوس بمجاميع غاوس.${\displaystyle G(1,\chi )}$والتي يكون فيها الحرف χ تافهاً على H. تأخذ هذه χ القيمة نفسها عند جميع العناصر a في مجموعة مشاركة ثابتة من H في G. على سبيل المثال، يأخذ الحرف التربيعي modulo p الموصوف أعلاه القيمة 1 عند كل باقي تربيعي، ويأخذ القيمة -1 عند كل ليس باقياً تربيعياً. مجموع غاوس${\displaystyle G(1,\chi )}$وبالتالي، يمكن كتابة ذلك كمزيج خطي من دورات غاوسية (بمعاملات χ ( a ))؛ والعكس صحيح أيضًا، كنتيجة لعلاقات التعامد للمجموعة ( Z / nZ ) ^× . بعبارة أخرى، الدورات الغاوسية ومجاميع غاوس هي تحويلات فورييه لبعضها البعض . تقع الدورات الغاوسية عمومًا في حقول أصغر، لأنه على سبيل المثال، عندما يكون n عددًا أوليًا p ، فإن قيم χ( a ) هي الجذور ( p - 1) للوحدة. من ناحية أخرى، تتمتع مجاميع غاوس بخصائص جبرية أفضل.

• هـ. دافنبورت ؛ هـ. ل. مونتغمري (2000). نظرية الأعداد الضربية . سبرينغر. ص  18. ISBN 0-387-95097-4.