نمذجة الدوال متعددة الحدود والدوال الكسرية

تحظى هذه الطرازات بشعبية كبيرة للأسباب التالية.

1. تتميز النماذج متعددة الحدود بشكلها البسيط.
2. تتمتع النماذج متعددة الحدود بخصائص معروفة ومفهومة جيداً.
3. تتمتع النماذج متعددة الحدود بمرونة معتدلة في الأشكال.
4. تُعدّ النماذج متعددة الحدود عائلةً مغلقة. وتؤدي التغييرات في الموقع والمقياس في البيانات الأولية إلى تحويل نموذج متعدد الحدود إلى نموذج متعدد الحدود آخر. أي أن النماذج متعددة الحدود لا تعتمد على المقياس الأساسي .
5. تتميز النماذج متعددة الحدود بسهولة استخدامها من الناحية الحسابية.

ومع ذلك، فإن النماذج متعددة الحدود لها أيضًا القيود التالية.

1. تتميز النماذج متعددة الحدود بخصائص استيفاء ضعيفة . وتشتهر كثيرات الحدود ذات الدرجة العالية بتذبذباتها بين القيم المطابقة تمامًا .
2. تتميز النماذج متعددة الحدود بضعف خصائص الاستقراء . قد توفر هذه النماذج تطابقًا جيدًا ضمن نطاق البيانات، لكنها غالبًا ما تتدهور بسرعة خارج هذا النطاق.
3. تتميز النماذج متعددة الحدود بخصائص تقارب ضعيفة . بطبيعتها، يكون استجابة كثيرات الحدود محدودة لقيم x المحدودة ، وتكون استجابتها غير محدودة فقط إذا كانت قيمة x غير محدودة. لذا، قد لا تُجيد كثيرات الحدود تمثيل الظواهر التقاربية.
4. مع أن جميع الإجراءات لا تخلو من مفاضلة التحيز والتباين ، فإن النماذج متعددة الحدود تُظهر مفاضلة سيئة للغاية بين الشكل والدرجة. فلكي تُنمذج البيانات ذات البنية المعقدة، يجب أن تكون درجة النموذج عالية، مما يعني أن عدد المعلمات المطلوب تقديرها سيكون مرتفعًا أيضًا. وهذا قد يؤدي إلى نماذج غير مستقرة للغاية.

عندما يكون النمذجة باستخدام الدوال متعددة الحدود غير كافية بسبب أي من القيود المذكورة أعلاه، فإن استخدام الدوال الكسرية للنمذجة قد يعطي ملاءمة أفضل.

تتمتع نماذج الدوال الكسرية بالمزايا التالية:

1. تتميز نماذج الدوال الكسرية بشكل بسيط إلى حد ما.
2. تُعدّ نماذج الدوال الكسرية عائلة مغلقة. وكما هو الحال مع نماذج كثيرات الحدود، فإن هذا يعني أن نماذج الدوال الكسرية لا تعتمد على المقياس الأساسي.
3. يمكن أن تتخذ نماذج الدوال الكسرية مجموعة واسعة للغاية من الأشكال، مما يسمح باستيعاب نطاق أوسع بكثير من الأشكال مقارنة بعائلة كثيرات الحدود.
4. تتمتع نماذج الدوال الكسرية بخصائص استيفاء أفضل من نماذج كثيرات الحدود. وعادةً ما تكون الدوال الكسرية أكثر سلاسة وأقل تذبذبًا من نماذج كثيرات الحدود.
5. تتمتع الدوال الكسرية بقدرات استقراء ممتازة. ويمكن عادةً تصميم الدوال الكسرية لنمذجة الدالة ليس فقط ضمن نطاق البيانات، بل أيضاً بحيث تتوافق مع السلوك النظري/التقاربي خارج نطاق الاهتمام.
6. تتمتع نماذج الدوال الكسرية بخصائص تقارب ممتازة. يمكن أن تكون الدوال الكسرية إما محدودة أو غير محدودة للقيم المحدودة، أو محدودة أو غير محدودة لقيم x غير المحدودة . وبالتالي، يمكن دمج الدوال الكسرية بسهولة في نموذج الدوال الكسرية.
7. يمكن استخدام نماذج الدوال الكسرية غالبًا لنمذجة البنى المعقدة ذات الدرجة المنخفضة نسبيًا في كل من البسط والمقام. وهذا بدوره يعني الحاجة إلى عدد أقل من المعاملات مقارنةً بنموذج كثير الحدود.
8. تُعدّ نماذج الدوال الكسرية سهلة الحساب إلى حدٍّ ما. ورغم أنها نماذج غير خطية ، إلا أنها تُعتبر من أسهل النماذج غير الخطية ملاءمةً.
9. تتمثل إحدى الصعوبات الشائعة في ملاءمة النماذج غير الخطية في إيجاد قيم ابتدائية مناسبة. وتتمثل إحدى المزايا الرئيسية لنماذج الدوال الكسرية في القدرة على حساب القيم الابتدائية باستخدام طريقة المربعات الصغرى الخطية . وللقيام بذلك، يتم اختيار p نقطة من مجموعة البيانات، حيث يرمز p إلى عدد المعاملات في النموذج الكسري. على سبيل المثال، بالنظر إلى النموذج الخطي/التربيعي

${\displaystyle y={\frac {A_{0}+A_{1}x}{1+B_{1}x+B_{2}x^{2}}},}$

سيحتاج المرء إلى اختيار أربع نقاط تمثيلية، وإجراء عملية ملاءمة خطية على النموذج.

${\displaystyle y=A_{0}+A_{1}x-B_{1}xy-B_{2}x^{2}y,}$

وهي مشتقة من المعادلة السابقة بتفريغ المقام. هنا، يمثل x و y مجموعة فرعية من النقاط، وليس مجموعة البيانات الكاملة. تُستخدم المعاملات المقدرة من هذا التوافق الخطي كقيم ابتدائية لتوفيق النموذج غير الخطي مع مجموعة البيانات الكاملة.

يُستخدم هذا النوع من المطابقة، حيث يظهر المتغير التابع على جانبي الدالة، فقط للحصول على القيم الأولية للمطابقة غير الخطية. ولا تزال الخصائص الإحصائية لمثل هذه المطابقات غير مفهومة بشكل كامل.

ينبغي اختيار مجموعة فرعية من النقاط ضمن نطاق البيانات. ليس من الضروري تحديد النقاط المختارة، ولكن يجب تجنب القيم الشاذة الواضحة.

تتسم نماذج الدوال الكسرية بالعيوب التالية:

1. لا تحظى خصائص عائلة الدوال الكسرية بنفس القدر من المعرفة لدى المهندسين والعلماء كما هو الحال مع عائلة الدوال متعددة الحدود. كما أن المراجع العلمية المتعلقة بعائلة الدوال الكسرية محدودة. ونظرًا لعدم فهم خصائص هذه العائلة فهمًا دقيقًا في كثير من الأحيان، قد يصعب الإجابة على سؤال النمذجة التالي: بافتراض أن البيانات لها شكل معين، ما هي القيم التي ينبغي اختيارها لدرجة البسط ودرجة المقام؟
2. قد يؤدي تركيب الدوال الكسرية غير المقيدة أحيانًا إلى ظهور خطوط تقارب رأسية غير مرغوب فيها نتيجةً لجذور كثيرة الحدود في المقام. قد يكون نطاق قيم x المتأثرة بتضخم الدالة ضيقًا جدًا، ولكن هذه الخطوط التقاربية، عند ظهورها، تُشكل عائقًا أمام الاستيفاء المحلي في جوار نقطة التقارب. يسهل اكتشاف هذه الخطوط التقاربية من خلال رسم بياني بسيط للدالة المُركبة على نطاق البيانات. تظهر هذه الخطوط التقاربية المزعجة بشكل متقطع وغير متوقع، لكن يرى المختصون أن زيادة مرونة الأشكال تستحق احتمال ظهورها، وأن هذه الخطوط التقاربية لا ينبغي أن تثني عن اختيار نماذج الدوال الكسرية للنمذجة التجريبية.

• جيرجون، دينار (1815). "تطبيق طريقة التنقيب عن الأجنحة". حوليات الرياضيات البحتة والتطبيقات . 6 : 242 – 252.
• جيرجون، جيه دي (1974) [1815]. "تطبيق طريقة المربعات الصغرى على استيفاء المتتاليات" . هيستوريا ماثيماتيكا . 1 (4) (ترجمة رالف سانت جون وإس إم ستيجلر من  الطبعة الفرنسية لعام 1815): 439-447 . doi : 10.1016/0315-0860(74)90034-2 .
• ستيجلر، ستيفن م. (1974). "ورقة جيرجون لعام 1815 حول تصميم وتحليل تجارب الانحدار متعدد الحدود" . هيستوريا ماثيماتيكا . 1 (4): 431-439 . doi : 10.1016/0315-0860(74)90033-0 .
• سميث، كريستين (1918). "حول الانحرافات المعيارية للقيم المعدلة والمُستكملة لدالة متعددة الحدود المرصودة وثوابتها، وما تقدمه من توجيهات لاختيار التوزيع الأمثل للملاحظات". Biometrika . 12 (1/2): 1–85 . doi : 10.1093/biomet/12.1-2.1 . JSTOR 2331929 .