النسب الإلهية: من حساب المثلثات العقلاني إلى الهندسة الكونية

كتاب " النسب الإلهية: من حساب المثلثات العقلاني إلى الهندسة الكونية" (2005) من تأليف عالم الرياضيات نورمان ج. وايلدبرغر، يقدم منهجًا بديلًا للهندسة الإقليدية وحساب المثلثات ، يُعرف باسم حساب المثلثات العقلاني . يدعو الكتاب إلى استبدال الكميات الأساسية المعتادة في حساب المثلثات، وهي المسافة الإقليدية وقياس الزاوية ، بمربع المسافة ومربع جيب الزاوية ، على التوالي. وهذا يُكافئ منطقيًا التطور القياسي (إذ يمكن التعبير عن الكميات البديلة بدلالة الكميات القياسية والعكس صحيح). ويدّعي المؤلف أن منهجه يتميز ببعض المزايا، مثل تجنب الحاجة إلى الأعداد غير النسبية .

نُشر الكتاب "بشكل أساسي ذاتيًا" ^{[ 1 ]} من قِبل وايلدبيرغر عبر دار النشر الخاصة به "وايلد إيغ". تُعتبر الصيغ والنظريات الواردة في الكتاب صحيحة رياضيًا، لكن الادعاءات المتعلقة بتفوقه العملي أو التربوي تُروج لها وايلدبيرغر نفسه في المقام الأول، وقد لاقت آراءً متباينة.

تتمثل الفكرة الرئيسية للنسب الإلهية في استبدال المسافات بمربع المسافة الإقليدية ، والتي يسميها ويلدبرغر الربع ، واستبدال قياسات الزوايا بمربعات جيوبها، والتي يسميها ويلدبرغر المسافة بين خطين. تُعرّف النسب الإلهية هذين المفهومين مباشرةً من الإحداثيات الديكارتية للنقاط التي تحدد قطعة مستقيمة أو زوجًا من الخطوط المتقاطعة. وبهذا التعريف، تُصبح النسب الإلهية دوالًا كسرية لتلك الإحداثيات، ويمكن حسابها مباشرةً دون الحاجة إلى حساب الجذور التربيعية أو الدوال المثلثية العكسية المطلوبة عند حساب المسافات أو قياسات الزوايا. ^{[ 1 ]}

يرى ويلدبرغر، وهو من أنصار نظرية المحدودية ، أن هذا الاستبدال يتميز بميزةٍ مزعومة، وهي تجنب مفاهيم النهايات واللانهاية الفعلية المستخدمة في تعريف الأعداد الحقيقية ، والتي يدّعي ويلدبرغر أنها لا أساس لها من الصحة. ^{[ 2 ] [ 1 ]} كما يسمح هذا الاستبدال بتوسيع مفاهيم مماثلة مباشرةً من الأعداد النسبية إلى أنظمة عددية أخرى، مثل الحقول المنتهية، باستخدام الصيغ نفسها لحساب الربع والانتشار. ^{[ 1 ]} إضافةً إلى ذلك، تتجنب هذه الطريقة غموض الزاويتين المتكاملتين اللتين يشكلهما زوج من الخطوط، حيث أن لكلتا الزاويتين الانتشار نفسه. ويُزعم أن هذا النظام أكثر سهولةً في الفهم، وأسهل في التوسع من بعدين إلى ثلاثة أبعاد. ^{[ 3 ]} مع ذلك، في مقابل هذه المزايا، تُفقد خاصية جمع المسافات والزوايا: على سبيل المثال، إذا قُسِّمَت قطعة مستقيمة إلى قسمين، فإن طولها يساوي مجموع طولي الجزأين، لكن جمع أرباع هذين القسمين أكثر تعقيدًا ويتطلب استخدام الجذور التربيعية. ^{[ 1 ]}

ينقسم كتاب "النسب الإلهية" إلى أربعة أجزاء. يقدم الجزء الأول نظرة عامة على استخدام مفهومي التربيع والانتشار كبديل للمسافة والزاوية، ويوضح مزاياهما. أما الجزء الثاني فيُضفي طابعًا رسميًا على الادعاءات الواردة في الجزء الأول، ويُثبتها بدقة. ^{[ 1 ]} فبدلًا من تعريف الخطوط كمجموعات لانهائية من النقاط، تُعرَّف بإحداثياتها المتجانسة ، والتي يمكن استخدامها في صيغ اختبار تقاطع النقاط والخطوط. وكما هو الحال مع الجيب، يُستبدل جيب التمام والظل بمكافئات نسبية، تُسمى "التقاطع" و"الالتواء"، ويُطور كتاب "النسب الإلهية " نظائر مختلفة للمتطابقات المثلثية التي تتضمن هذه الكميات، ^{[ 3 ]} بما في ذلك صيغ نظرية فيثاغورس وقانون الجيب وقانون جيب التمام . ^{[ 4 ]}

يتناول الجزء الثالث هندسة المثلثات والقطوع المخروطية باستخدام الأدوات التي طُورت في الجزأين السابقين. ^{[ 1 ]} تُعاد صياغة نتائج معروفة، مثل صيغة هيرون لحساب مساحة المثلث من أطوال أضلاعه، أو نظرية الزاوية المحيطية التي تنص على أن الزوايا المحصورة بين وتر الدائرة ونقاط أخرى على الدائرة متساوية، بدلالة الربع والمدى، وبالتالي تُعمم على أي حقل عددي. ^{[ 3 ] [ 5 ]} أخيرًا، يتناول الجزء الرابع التطبيقات العملية في الفيزياء والمساحة، ويُطور امتدادات إلى الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد الأعلى وإلى الإحداثيات القطبية . ^{[ 1 ]}

لا يفترض كتاب "النسب الإلهية" معرفةً واسعةً بالرياضيات لدى قرائه، إلا أن كثرة صيغه المطولة، وتكرار تناوله للحقول المنتهية، وتأكيده (بعد الجزء الأول) على الدقة الرياضية، قد تشكل عائقًا أمام جمهور الرياضيات العام . لذا، فهو موجهٌ بالأساس لمعلمي الرياضيات والباحثين. مع ذلك، قد يكون مفيدًا أيضًا لطلاب الرياضيات، ويحتوي على تمارين تُتيح استخدامه كأساسٍ لدورةٍ في الرياضيات. ^{[ 1 ] [ 6 ]}

أكثر ما لاقى استحسان النقاد في الكتاب هو توسيعه لنتائج هندسة المسافة والزاوية لتشمل الحقول المنتهية. وقد وجدت الناقدة لورا ويسويل هذا العمل مثيرًا للإعجاب، وانبهرت بالنتيجة التي مفادها أن أصغر حقل منتهٍ يحتوي على خماسي منتظم هو${\displaystyle \mathbb {F} _{19}}$[ ^{1 ] يصف مايكل هينلي ،} في الجزء الثالث من الكتاب، توسيع هندسة المثلثات والقطوع المخروطية لتشمل الحقول المنتهية، بأنه "نظرية أنيقة ذات عمومية كبيرة". ^{[ 4 ]} كما أشاد ويليام باركر بهذا الجانب من الكتاب، واصفًا إياه بأنه "جديد بشكل خاص" وربما يفتح آفاقًا جديدة للبحث. ^{[ 6 ]}

يثير ويسويل تساؤلاً حول مدى حداثة النتائج التفصيلية المعروضة في هذا العمل دون إسناد. ^{[ 1 ]} وفي هذا السياق، يشير مايكل هينلي إلى أن استخدام المسافة الإقليدية التربيعية "كثيراً ما وُجد مناسباً في مواضع أخرى"؛ ^{[ 4 ]} فعلى سبيل المثال، تُستخدم في هندسة المسافة ، وإحصاءات المربعات الصغرى ، والتحسين المحدب . ويوضح جيمس فرانكلين أنه بالنسبة للفضاءات ذات الأبعاد الثلاثة أو أكثر، والتي تُنمذج تقليدياً باستخدام الجبر الخطي ، فإن استخدام الانتشار بالنسب الإلهية لا يختلف كثيراً عن الطرق القياسية التي تتضمن الضرب النقطي بدلاً من الدوال المثلثية. ^{[ 5 ]}

من مزايا أساليب ويلدبرغر، كما أشار هينلي، أنها، لاعتمادها على الجبر البسيط فقط، تجعل البراهين سهلة الفهم والتحقق الحاسوبي. مع ذلك، يرى هينلي أن ادعاءات الكتاب بتبسيط نظريته العامة تستند إلى مقارنة خاطئة، حيث لا تُقارن الأرباع والانتشار بالمفاهيم الكلاسيكية المقابلة للمسافات والزوايا والجيوب، بل بمجموعة أدوات أوسع بكثير من علم المثلثات الكلاسيكي. ويشير أيضًا إلى أن الصيغ التي تتجنب الجذور التربيعية والدوال المثلثية لا تُمثل مشكلة للطالب الذي يستخدم آلة حاسبة علمية، ^{[ 4 ]} ويضيف باركر أن الصيغ الجديدة غالبًا ما تتضمن عددًا أكبر من خطوات الحساب الفردية. ^{[ 6 ]} ورغم أن العديد من المراجعين رأوا أن تقليل الوقت اللازم لتدريس علم المثلثات سيكون أمرًا مرحبًا به للغاية، ^{[ 3 ] [ 5 ] [ 7 ]} إلا أن بول كامبل يشكك في قدرة هذه الأساليب على تسريع عملية التعلم. ^{[ 7 ]} يبدي جيري ليفرشا انفتاحاً على الأفكار الجديدة، حيث كتب قائلاً: "سيكون من المثير للاهتمام رؤية بعض الكتب المدرسية الموجهة لتلاميذ المدارس [التي وعد ويلدبرجر] بإنتاجها، و... التجارب المضبوطة التي تشمل طلاباً كفئران تجارب." ^{[ 3 ]} ومع ذلك، لم يتم نشر هذه الكتب المدرسية والتجارب.

لا يقتنع ويسويل بالادعاء القائل بأن الهندسة التقليدية تعاني من عيوب جوهرية تتجنبها هذه الأساليب. ^{[ 1 ]} وبينما يتفق باركر مع ويسويل، فإنه يشير إلى أنه قد يكون هناك رياضيون آخرون يشاركون ويلدبرغر شكوكه الفلسفية حول اللانهاية، وأن هذا العمل سيكون ذا أهمية كبيرة بالنسبة لهم. ^{[ 6 ]}

أثار العديد من المراجعين مسألةً أخيرة تتعلق بالجمود الفكري: فإذا افترضنا جدلاً أن هذه الأساليب أفضل، يتساءلون عما إذا كانت أفضل بما يكفي لتبرير الجهد الفردي الكبير المبذول لإعادة تعلم الهندسة وعلم المثلثات بهذه المصطلحات، والجهد المؤسسي لإعادة صياغة المناهج الدراسية لاستخدامها بدلاً من الهندسة وعلم المثلثات الكلاسيكيين. ويخلص هينلي وباركر وليفرشا إلى أن الكتاب لم يُقدّم حجته في هذا الشأن، ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 6 ]} بينما ترى ساندرا أرلينغهاوس في هذا العمل فرصةً لمجالاتٍ مثل الجغرافيا الرياضية التي تُدرّسها، "والتي لم تستثمر كثيراً في الجمود المؤسسي التقليدي"، لإثبات جدوى هذا الاستبدال. ^{[ 8 ]}

• تكوين بيرلز ، مجموعة محدودة من النقاط والخطوط في المستوى الإقليدي لا يمكن تمثيلها بإحداثيات نسبية