اللانهاية الفعلية والمحتملة

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

في فلسفة الرياضيات ، يتضمن مفهوم اللانهاية الفعلية ، أو اللانهاية المكتملة ، [ 1 ] كيانات لا نهائية كأشياء معطاة وفعلية ومكتملة. وتُقابل اللانهاية الفعلية باللانهاية الكامنة ، حيث تُنتج عملية لا نهائية (مثل "إضافة 1 إلى العدد السابق") متتاليةً بدون عنصر أخير، وتكون كل نتيجة فردية فيها محدودة وتُحقق في عدد محدود من الخطوات. يظهر هذا النوع من العمليات في الرياضيات، على سبيل المثال، في الصياغات الرسمية القياسية لمفاهيم الاستقراء الرياضي ، والمتسلسلات اللانهائية ، والمنتجات اللانهائية ، والنهايات . [ 2 ]

أُدخل مفهوم اللانهاية الفعلية إلى الرياضيات في أواخر القرن التاسع عشر على يد جورج كانتور من خلال نظريته عن المجموعات اللانهائية ، ثم جرى صياغته لاحقًا في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات . هذه النظرية، التي تُعتبر اليوم أساسًا رياضيًا مُعتمدًا، تتضمن بديهية اللانهاية ، والتي تعني أن الأعداد الطبيعية تُشكّل مجموعة (لانهائية بالضرورة). ومن أهم اكتشافات كانتور أنه إذا ما قُبلت المجموعات اللانهائية، فإن لها أحجامًا ( أعدادًا أصلية ) مختلفة، وعلى وجه الخصوص، فإن العدد الأصلي لمجموعة الأعداد الحقيقية أكبر من العدد الأصلي للأعداد الطبيعية.

أناكسيماندر

كان المصطلح اليوناني القديم للدلالة على اللانهائي المحتمل أو غير المحدد هو "أبيرون" (غير محدود أو غير محدد)، وذلك في مقابل اللانهائي الفعلي أو المحدد "أفوريسمنون" . [ 3 ] يُقابل "أبيرون" ما له حد (بيراس). ويُشار إلى هذين المفهومين اليوم بمصطلحي "اللانهائي المحتمل" و "اللانهائي الفعلي" ، على التوالي.

اعتقد أناكسيماندر (610-546  قبل الميلاد) أن الأبيرون هو المبدأ أو العنصر الأساسي الذي يُكوّن كل الأشياء. من الواضح أن "الأبيرون" كان نوعًا من المادة الأساسية. أما مفهوم أفلاطون للأبيرون فهو أكثر تجريدًا، إذ يتعلق بالتغير غير المحدد. ومن أهم الحوارات التي ناقش فيها أفلاطون "الأبيرون" حوارا بارمنيدس وفيليبوس المتأخران .

أرسطو

يلخص أرسطو آراء أسلافه حول اللانهاية على النحو التالي:

«وحدهم الفيثاغوريون يضعون اللانهائي بين موضوعات الحواس (فهم لا يعتبرون العدد منفصلاً عنها)، ويؤكدون أن ما هو خارج السماء لانهائي. أما أفلاطون، من جهة أخرى، فيرى أنه لا يوجد جسم خارج السماء (فالمُثُل ليست خارج السماء لأنها لا مكان لها)، ومع ذلك فإن اللانهائي حاضر ليس فقط في موضوعات الحواس، بل في المُثُل أيضاً.» (أرسطو) [ 4 ]

وقد تم طرح هذا الموضوع من خلال دراسة أرسطو لمفهوم "الأبيرون" - في سياق الرياضيات والفيزياء (دراسة الطبيعة):

"اتضح أن اللانهاية هي عكس ما يقوله الناس عنها. ليس ما هو "الذي لا يوجد شيء وراءه" هو اللانهاية، بل ما هو "الذي يوجد فيه دائمًا شيء وراءه". (أرسطو) [ 5 ]

ينبع الإيمان بوجود اللانهائي بشكل رئيسي من خمسة اعتبارات: [ 6 ]

  1. من طبيعة الزمن - لأنه لا نهائي.
  2. من قسمة المقادير - يستخدم علماء الرياضيات أيضًا مفهوم اللانهاية.
  3. إذا لم يتوقف الوجود والفناء، فذلك فقط لأن ما تنشأ منه الأشياء لا نهائي.
  4. لأن المحدود يجد دائماً حده في شيء ما، لذلك لا بد من عدم وجود حد، إذا كان كل شيء محدوداً دائماً بشيء مختلف عنه.
  5. والأهم من ذلك كله، سبب مناسب بشكل خاص ويطرح الصعوبة التي يشعر بها الجميع - ليس فقط العدد، بل أيضاً المقادير الرياضية وما هو خارج السماء يُفترض أن يكون لانهائياً لأنه لا ينضب في فكرنا. (أرسطو)

افترض أرسطو أن اللانهاية الحقيقية مستحيلة، لأنه لو كانت ممكنة، لكان شيء ما قد بلغ مقدارًا لانهائيًا، ولكان "أكبر من السماوات". ومع ذلك، قال إن الرياضيات المتعلقة باللانهاية لا تفقد قابليتها للتطبيق بسبب هذه الاستحالة، لأن علماء الرياضيات لا يحتاجون إلى اللانهاية لنظرياتهم، بل إلى مقدار محدود وكبير كيفما شاءوا. [ 7 ]

التمييز بين الإمكانات والواقع عند أرسطو

تناول أرسطو موضوع اللانهاية في كتابيه "الطبيعة" و "الميتافيزيقا" . وميّز بين اللانهاية الفعلية واللانهاية الكامنة . اللانهاية الفعلية مكتملة ومحددة، وتتألف من عدد لا نهائي من العناصر. أما اللانهاية الكامنة فهي غير مكتملة أبدًا: يمكن دائمًا إضافة عناصر إليها، ولكن ليس إلى عدد لا نهائي. وكان أفلاطون قد افترض سابقًا وجود اللانهاية الكبرى واللانهاية الصغرى. استخدم أرسطو مثالَي الجمع والقسمة؛ فقد تبدأ سلسلة لا نهائية محتملة من عمليات الجمع أو القسمة، لكن لا يمكن إكمال هذه العمليات أو استنفادها. وهذا يعني أنها "موجودة كامنةً، ولكن ليس أن اللانهاية موجودة بشكل منفصل". كما جادل أرسطو بأن علماء الرياضيات اليونانيين كانوا على دراية بالفرق، لكنهم لم يكونوا بحاجة إلى اللانهاية الفعلية أو يستخدمونها. [ 8 ]

مفكرو العصر المدرسي وعصر النهضة وعصر التنوير

التزمت الغالبية العظمى من الفلاسفة المدرسيين بشعار " لا يُفرض اللانهاية الفعلية" . وهذا يعني وجود لانهاية كامنة (ناشئة، غير محددة، "متعددة التصنيفات") ، وليس لانهاية فعلية (ثابتة، محددة، "محددة") . مع ذلك، كانت هناك استثناءات، كما في إنجلترا. كتب جورج كانتور: "من المعروف أن جميع الفلاسفة المدرسيين في العصور الوسطى كانوا يدافعون عن مبدأ أرسطو "لا يُفرض اللانهاية الفعلية" كمبدأ لا جدال فيه". [ 9 ] وكتب جون بيكونثورب أن اللانهاية الفعلية موجودة "في العدد والزمان والكمية".

خلال عصر النهضة وبداية العصر الحديث، كانت الأصوات المؤيدة لفكرة اللانهاية الفعلية نادرة، على الرغم من أن غوتفريد فيلهلم لايبنتز أبدى تأييده لها. كتب غاليليو غاليلي أن "المتصل يتكون في الواقع من عدد لا نهائي من الأجزاء غير القابلة للتجزئة". ومع ذلك، اتفق غالبية مفكري ما قبل العصر الحديث مع مقولة غاوس الشهيرة:

أعترض على استخدام مفهوم المقدار اللانهائي كشيء مكتمل، وهو أمر غير جائز في الرياضيات. اللانهاية مجرد تعبير مجازي، أما معناها الحقيقي فهو حدٌّ تقترب منه نسب معينة إلى ما لا نهاية، بينما يُسمح لنسب أخرى بالتزايد بلا قيود. [ 10 ] ( سي إف غاوس [في رسالة إلى شوماخر ، 12 يوليو 1831])

العصر الحديث

أصبح مفهوم اللانهاية الحقيقية مقبولاً على نطاق واسع في الرياضيات. وقد بدأ هذا التغيير الجذري على يد بولزانو وكانتور في القرن التاسع عشر، وكان أحد أصول الأزمة التأسيسية للرياضيات .

عارض برنارد بولزانو ، الذي قدم مفهوم المجموعة (بالألمانية: Menge )، وجورج كانتور، الذي قدم نظرية المجموعات ، الموقف العام. وميز كانتور ثلاثة عوالم من اللانهاية: (1) لانهاية الله (التي سماها "المطلق")، (2) لانهاية الواقع (التي سماها "الطبيعة")، و(3) الأعداد والمجموعات المتسامية في الرياضيات.

سأسمي الحشد الذي يزيد عن أي حشد منتهٍ، أي الحشد الذي تكون فيه كل مجموعة منتهية [من عناصر النوع المعني] جزءًا منه فقط، حشدًا لانهائيًا. (ب. بولزانو [2، ص.  6])

وبناءً على ذلك، أميز بين اللانهاية الأزلية غير المخلوقة، أو المطلقة، وهي منسوبة إلى الله وصفاته، واللانهاية المخلوقة، أو المتسامية، التي يجب استخدامها حيثما يُراد ملاحظة لانهاية فعلية في الطبيعة المخلوقة، على سبيل المثال، فيما يتعلق، وفقًا لقناعتي الراسخة، بالعدد اللانهائي من الكائنات المخلوقة، في الكون وعلى كوكبنا الأرض، وربما حتى في كل رقعة صغيرة ممتدة من الفضاء. (جورج كانتور) [ 11 ] (ج. كانتور [8، ص  252])

الأرقام هي نتاج حر للعقل البشري. ( ر. ديديكيند [3أ، ص.  3])

يستند أحد الأدلة إلى مفهوم الله. أولًا، من كمال الله الأسمى، نستنتج إمكانية خلق المتعالي، ثم من نعمته المطلقة وجلاله، نستنتج ضرورة حدوث خلق المتعالي بالفعل. (ج. كانتور [3، ص  400])

ميّز كانتور نوعين من اللانهاية الفعلية، وهما اللانهاية المتسامية واللانهاية المطلقة، وقد أكد بشأنهما ما يلي:

يجب التمييز بدقة بين هذه المفاهيم، بقدر ما يكون الأول، بالتأكيد، لانهائيًا ، ولكنه قابل للزيادة ، في حين أن الأخير غير قادر على الزيادة ، وبالتالي فهو غير قابل للتحديد كمفهوم رياضي. وهذا الخطأ نجده، على سبيل المثال، في وحدة الوجود . (جي. كانتور، Über verschiedene Standpunkte in bezug auf das Aktuelle Unendliche ، in Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts ، ص 375، 378) [ 12 ]

الممارسة الرياضية الحالية

أصبح مفهوم اللانهاية الحقيقية مقبولاً على نطاق واسع في الرياضيات تحت مسمى " المجموعات اللانهائية ". في الواقع، تمّت صياغة نظرية المجموعات بشكل رسمي، على سبيل المثال، من خلال نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (ZF). إحدى بديهيات ZF هي بديهية اللانهاية ، التي تنصّ أساساً على أن الأعداد الطبيعية تُشكّل مجموعة.

أُعيدت صياغة جميع فروع الرياضيات باستخدام نظرية ZF. وعلى وجه الخصوص، تُعرَّف الخطوط والمنحنيات وجميع أنواع الفضاءات عادةً على أنها مجموعات نقاطها. وتُعدّ المجموعات غير المنتهية شائعةً لدرجة أنه عند دراسة المجموعات المنتهية، يُذكر ذلك صراحةً، كما هو الحال في الهندسة المنتهية أو الحقول المنتهية .

نظرية فيرما الأخيرة هي نظرية صيغت بلغة الحساب الابتدائي ، وتم إثباتها بعد أكثر من 350 عامًا. لم يقتصر برهان وايلز الأصلي لنظرية فيرما الأخيرة على استخدام كامل قوة ZF مع بديهية الاختيار فحسب ، بل استخدم ضمنيًا بديهية أخرى تستلزم وجود مجموعات كبيرة جدًا. تم التخلي لاحقًا عن شرط هذه البديهية الإضافية، لكن المجموعات اللانهائية لا تزال تُستخدم بشكل أساسي. لم يكن هذا عائقًا أمام اعتراف مجتمع الرياضيين بصحة البرهان.

تستخدم بعض الأعمال الحديثة حول اللانهاية المحتملة مفهوم " الواحد الإجمالي"، والذي يمكن أن يمثل القيمة "الإجمالية" للانهاية المحتملة ويسمح للمرء بإجراء بعض العمليات الحسابية عليه.

معارضة من المدرسة الحدسية

إن المعنى الرياضي لمصطلح "فعلي" في اللانهاية الفعلية مرادف لمصطلحات " محدد " أو " مكتمل " أو "ممتد" أو "وجودي " [ 13 ]، ولكن لا ينبغي الخلط بينه وبين الوجود المادي . وبالتالي، فإن مسألة ما إذا كانت الأعداد الطبيعية أو الحقيقية تُشكّل مجموعات محددة مستقلة عن مسألة ما إذا كانت الأشياء اللانهائية موجودة ماديًا في الطبيعة .

يرفض أنصار المذهب الحدسي ، بدءًا من كرونكر ، الادعاء بوجود عدد لا نهائي من الكائنات أو المجموعات الرياضية. ونتيجةً لذلك، يعيدون بناء أسس الرياضيات بطريقة لا تفترض وجود لانهائيات فعلية. في المقابل، يقبل التحليل البنائي وجود اللانهائية الكاملة للأعداد الصحيحة.

بالنسبة لأصحاب الحدس، يُوصف اللانهاية بأنها كامنة ؛ ومن المصطلحات المرادفة لهذا المفهوم: الصيرورة أو البناء . [ 13 ] على سبيل المثال، يصف ستيفن كلين مفهوم شريط آلة تورينج بأنه "شريط خطي، لانهائي (محتملًا) في كلا الاتجاهين". [ 14 ] للوصول إلى الذاكرة على الشريط، تُحرك آلة تورينج رأس القراءة على طوله في عدد محدود من الخطوات: وبالتالي، فإن الشريط "لانهائي" "محتملًا" فقط، لأنه - على الرغم من وجود القدرة دائمًا على اتخاذ خطوة أخرى - لا يتم الوصول إلى اللانهاية نفسها أبدًا. [ 15 ]

يقبل علماء الرياضيات عمومًا مفهوم اللانهايات الفعلية. [ 16 ] يُعدّ جورج كانتور أبرز علماء الرياضيات الذين دافعوا عن مفهوم اللانهايات الفعلية. فقد قرر أنه من الممكن أن تكون الأعداد الطبيعية والحقيقية مجموعات محددة، وأنه إذا رفض المرء بديهية التناهي الإقليدي (التي تنص على أن اللانهايات، منفردة ومجتمعة، هي بالضرورة منتهية)، فإنه لا يقع في أي تناقض .

التفسير التقليدي الحالي للأعداد الترتيبية والأصلية ، وفقًا لنظرية المحدودية ، هو أنها تتكون من مجموعة من الرموز الخاصة، ولغة رسمية مرتبطة بها، يمكن من خلالها صياغة العبارات. جميع هذه العبارات محدودة الطول بالضرورة. وتستند صحة هذه العمليات فقط على المبادئ الأساسية للغة الرسمية: جبر الحدود ، وإعادة كتابة الحدود ، وما إلى ذلك. وبشكل أكثر تجريدًا، توفر كل من نظرية النموذج (المحدود) ونظرية البرهان الأدوات اللازمة للتعامل مع اللانهاية. لا يشترط الإيمان باللانهاية لكتابة تعابير صحيحة جبريًا باستخدام رموز اللانهاية.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ستروغاتز، ستيفن هـ. (2019). قوى لا متناهية: كيف يكشف حساب التفاضل والتكامل أسرار الكون . بوسطن: هوتون ميفلين هاركورت. ISBN 978-1-328-87998-1.
  2. ↑ فليتشر، بيتر (2006). "اللانهاية". فلسفة المنطق . دليل فلسفة العلوم. إلسيفير. ص 523-585 . doi : 10.1016/b978-044451541-4/50017-8 . ISBN  9780444515414.
  3. ↑ فينفس، بيتر ديفيد (2001). اللغة الآسرة: من لايبنتز إلى بنيامين . مطبعة جامعة ستانفورد. ص 331. ISBN  9780804739603.
  4. ↑ توماس، كينيث و.؛ توماس، توماس، أكويناس (1 يونيو 2003). تعليق على كتاب أرسطو في الطبيعة . دار نشر A&C Black. ص 163. ISBN  9781843715450.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  5. ↑ بادوفان، ريتشارد (11 سبتمبر 2002). النسبة: العلم، الفلسفة، العمارة . تايلور وفرانسيس. ص 123. ISBN  9781135811112.
  6. ↑ توماس، كينيث و.؛ توماس، توماس، أكويناس (1 يونيو 2003). تعليق على كتاب أرسطو في الطبيعة . دار نشر A&C Black. رقم ISBN 9781843715450.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  7. ↑ "مكتبة لوغوس الافتراضية: أرسطو: الطبيعة، الجزء الثالث، الفصل السابع" . logoslibrary.org . تاريخ الاسترجاع: 14 نوفمبر 2017 .
  8. ↑ ألين، ريجينالد إي. (1998). بارمنيدس لأفلاطون . حوارات أفلاطون. المجلد 4. نيو هيفن: مطبعة جامعة ييل. ص 256. ISBN   9780300138030. OCLC 47008500 . 
  9. ^ كانتور ، جورج (1966). زيرميلو، إرنست (محرر). Gesammelte abhandlungen: استنشاق رياضي وفلسفي . جورج أولمس دار نشر. ص. 174. 
  10. ↑ ستيفن كلين 1952 (طبعة 1971):48 ينسب الجملة الأولى من هذا الاقتباس إلى (Werke VIII ص. 216).
  11. ^ كانتور ، جورج (1966). زيرميلو، إرنست (محرر). Gesammelte abhandlungen: استنشاق رياضي وفلسفي . جورج أولمس دار نشر. ص. 399. 
  12. ↑ كوهانسكي، ألكسندر سيسيل (6 يونيو 2021). النمط اليوناني للفكر في الفلسفة الغربية . مطبعة جامعة فيرلي ديكنسون. ص 271. ISBN  9780838631393. OCLC 230508222 . 
  13. 1 2 كلين 1952/1971:48.
  14. ↑ Kleene 1952/1971:48 ص. 357؛ وأيضًا "الآلة ... مزودة بشريط طباعة (محتمل) لا نهائي ..." (ص. 363).
  15. ↑ أو قد يكون "الشريط" ثابتًا، بينما يتحرك "رأس" القراءة. يقترح روجر بنروز هذا لأنه: "أشعر شخصيًا ببعض القلق حيال قيام جهازنا المحدود بتحريك شريط قد يكون لانهائيًا ذهابًا وإيابًا. فمهما كانت مادة الشريط خفيفة، قد يصعب تحريك شريط لانهائي !". يُظهر رسم بنروز رأس شريط ثابتًا يحمل علامة "™" يقرأ شريطًا مرنًا من مربعات تمتد إلى نقطة التلاشي المرئية. (انظر الصفحة 36 في كتاب روجر بنروز، 1989، عقل الإمبراطور الجديد ، مطبعة جامعة أكسفورد، أكسفورد، المملكة المتحدة، ISBN 1). 0-19-851973-7). ويحل مؤلفون آخرون هذه المشكلة عن طريق إضافة المزيد من الشريط عندما توشك الآلة على النفاد.
  16. ↑ اللانهاية الفعلية تتبع، على سبيل المثال، قبول مفهوم الأعداد الصحيحة كمجموعة، انظر JJ O'Connor و EF Robertson، "اللانهاية" .

مصادر

  • أرسطو ، الفيزياء
  • برنارد بولزانو ، 1851، Paradoxien des Unendlichen ، ريكلام، لايبزيغ.
  • برنارد بولزانو 1837، Wissenchaftslehre ، سولزباخ.
  • جورج كانتور في E. Zermelo (محرر) 1966، Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts ، Olms، Hildesheim.
  • ريتشارد ديديكيند في عام 1960 هل كان مؤلمًا ومعذبًا يموت زحلة؟ , فيويغ, براونشفايغ.
  • أدولف أبراهام فرانكل 1923، Einleitung in die Mengenlehre ، Springer، Berlin.
  • أدولف أبراهام فرانكل، واي بار-هيلل، أ. ليفي 1984، أسس نظرية المجموعات ، الطبعة الثانية، نورث هولاند، أمستردام نيويورك.
  • ستيفن سي. كلين، 1952 (طبعة 1971، الطبعة العاشرة)، مقدمة في ما وراء الرياضيات ، دار نشر نورث هولاند، أمستردام، نيويورك. رقم ISBN 0-444-10088-1.
  • H. Meschkowski 1981، جورج كانتور: Leben، Werk und Wirkung (2. Aufl.)، BI، مانهايم.
  • H. Meschkowski، W. Nilson (Hrsg.) 1991، جورج كانتور – موجز ، سبرينغر، برلين.
  • أبراهام روبنسون 1979، أوراق مختارة ، المجلد 2، WAJ لوكسمبورغ، إس. كورنر (محرر)، شمال هولندا، أمستردام.