نظرية ريمان-روخ للأسطح

في الرياضيات، تصف نظرية ريمان-روخ للأسطح بُعد الأنظمة الخطية على سطح جبري . وقد صاغ كاستلنوفو ( 1896 ، 1897 ) صيغتها الكلاسيكية لأول مرة ، بعد أن توصل ماكس نوثر ( 1886 ) وإنريكيس ( 1894 ) إلى نسخ أولية منها . أما الصيغة المتعلقة بنظرية الحزم، فتعود إلى هيرزبروش .   

تنص إحدى صيغ نظرية ريمان - روخ على أنه إذا${\displaystyle D}$إذا كان قاسمًا على سطح إسقاطي غير منفرد،

${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+{\tfrac {1}{2}}D.(DK)\,}$

أين${\displaystyle \chi }$هي خاصية أويلر الهولومورفية ، النقطة${\displaystyle .}$هو رقم التقاطع ، و${\displaystyle K}$هو القاسم الأساسي. الثابت${\displaystyle \chi (0)}$هي خاصية أويلر الهولومورفية للحزمة التافهة، وتساوي${\displaystyle 1+p_{a}}$، أين${\displaystyle p_{a}}$هو الجنس الحسابي للسطح. وللمقارنة، تنص نظرية ريمان - روخ للمنحنى على أن${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+\operatorname {deg} (D)}$.

تنص صيغة نوثر على أن

${\displaystyle \chi ={\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}={\frac {(KK)+e}{12}}}$

حيث χ = χ ₍ ⁰ ) هي خاصية أويلر الهولومورفية، _{و c₁²} = ( K.K ) هو عدد تشيرن وعدد التقاطع الذاتي للفئة الكنسية K ، و e = c₂ هي خاصية أويلر الطوبولوجية. يمكن استخدامها لاستبدال الحد χ (0) في نظرية ريمان-روخ بحدود طوبولوجية؛ وهذا يُعطي نظرية هيرزبروش-ريمان-روخ للأسطح.   

بالنسبة للأسطح، تُعدّ نظرية هيرزبروش-ريمان-روخ في جوهرها نظرية ريمان-روخ للأسطح مُدمجةً مع صيغة نوثر. ولتوضيح ذلك، تذكّر أنه لكل قاسم D على سطح ما، توجد حزمة قابلة للعكس L = O( D ) بحيث يكون النظام الخطي لـ D تقريبًا فضاء مقاطع L. بالنسبة للأسطح، فإن فئة تود هي${\displaystyle 1+c_{1}(X)/2+(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X))/12}$وشخصية تشيرن للحزمة L هي فقط${\displaystyle 1+c_{1}(L)+c_{1}(L)^{2}/2}$لذا تنص نظرية هيرزبروش-ريمان-روخ على ما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (D)&=h^{0}(L)-h^{1}(L)+h^{2}(L)\\&={\frac {1}{2}}c_{1}(L)^{2}+{\frac {1}{2}}c_{1}(L)\,c_{1}(X)+{\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)\end{aligned}}}$

لحسن الحظ، يمكن كتابة ذلك بشكل أوضح كما يلي. أولاً، وضع D  =  0 يوضح أن

${\displaystyle \chi (0)={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)}$  (صيغة نوثر)

بالنسبة للحزم القابلة للعكس (حزم الخطوط)، تتلاشى فئة تشيرن الثانية. ويمكن تحديد نواتج فئات التماثل الثانية بأعداد التقاطع في زمرة بيكارد ، فنحصل على نسخة أكثر كلاسيكية من نظرية ريمان-روخ للأسطح.

${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+{\frac {1}{2}}(DD-DK)}$

إذا أردنا، يمكننا استخدام ازدواجية سير للتعبير عن h ² (O( D )) كـ h ⁰ (O( K − D ))، ولكن على عكس حالة المنحنيات، لا توجد بشكل عام طريقة سهلة لكتابة مصطلح h ¹ (O( D )) في شكل لا يتضمن علم التماثل الحزمي (على الرغم من أنه غالبًا ما يختفي في الممارسة العملية).  

كانت الصيغ الأولى لنظرية ريمان - روخ للأسطح تُصاغ غالبًا على شكل متباينة بدلًا من مساواة، لعدم وجود وصف هندسي مباشر لمجموعات التماثل الأولى. ويُقدّم زاريسكي (1995 ، ص 78) مثالًا نموذجيًا على ذلك، حيث ينص على أن 

${\displaystyle r\geq n-\pi +p_{a}+1-i}$

أين

• يمثل r بُعد النظام الخطي الكامل | D | لقاسم D (لذا فإن r  = h ⁰ (O( D )) − 1) 
• n هي الدرجة الافتراضية لـ D ، والتي يتم تحديدها بواسطة رقم التقاطع الذاتي ( D.D ) .
• π هو الجنس الافتراضي لـ D ، ويساوي 1 + (DD + KD)/2
• يمثل p _a الجنس الحسابي χ (O _F ) − 1 للسطح
• i هو مؤشر التخصص لـ D ، يساوي dim H ⁰ (O( K − D )) (والذي بحسب ازدواجية سير هو نفسه dim H ² (O(D))).  

يُطلق على الفرق بين طرفي هذه المتباينة اسم الوفرة الفائقة s للقاسم D. وبمقارنة هذه المتباينة مع الصيغة النظرية للحزم لنظرية ريمان- روخ، يتضح أن الوفرة الفائقة لـ D تُعطى بالعلاقة s  =  dim H ¹ (O( D )). يُسمى القاسم D منتظمًا إذا كان i  = s = 0 (أو بعبارة أخرى، إذا كانت جميع مجموعات التماثل الأعلى لـ O( D ) تتلاشى)، وفائضًا إذا كان s > 0.      

• الأساليب الطوبولوجية في الهندسة الجبرية، تأليف فريدريش هيرزبروش ، رقم ISBN 3-540-58663-6
• زاريسكي، أوسكار (1995)، الأسطح الجبرية ، سلسلة كلاسيكيات في الرياضيات، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، رقم ISBN 978-3-540-58658-6MR 1336146​ 
• سميث، روي. "حول تعميم ريمان وروخ الكلاسيكي وهيرزبروش" (ملف PDF) . قسم الرياضيات، مركز بويد للبحوث والتعليم، جامعة جورجيا .