الضرب التبادلي

في الرياضيات ، وتحديداً في الحساب الابتدائي والجبر الابتدائي ، عند إعطاء معادلة بين كسرين أو تعبيرين نسبيين ، يمكن للمرء أن يضرب طرفي المعادلة في اتجاهين متعاكسين لتبسيط المعادلة أو تحديد قيمة متغير.

تُعرف هذه الطريقة أحيانًا باسم طريقة "وضع علامة على القلب" لأنه يمكن رسم خطوط تشبه شكل القلب لتذكر الأشياء التي يجب ضربها معًا.

بفرض معادلة مثل

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

حيث لا يساوي b و d صفرًا، يمكن للمرء أن يضرب الطرفين في الوسطين للحصول على

${\displaystyle ad=bc\quad {\text{or}}\quad a={\frac {bc}{d}}.}$

في الهندسة الإقليدية، يمكن تحقيق نفس الحساب من خلال اعتبار النسب كما هي نسب المثلثات المتشابهة .

عملياً، تعني طريقة الضرب التبادلي أننا نضرب بسط كل طرف (أو طرف واحد) في مقام الطرف الآخر، مما يؤدي فعلياً إلى تبادل الحدود:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\nwarrow {\frac {c}{d}},\quad {\frac {a}{b}}\nearrow {\frac {c}{d}}.}$

يستند التبرير الرياضي لهذه الطريقة إلى الإجراء الرياضي المطول التالي. إذا بدأنا بالمعادلة الأساسية

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

يمكننا ضرب الحدود في كلا الطرفين بنفس العدد، وستبقى الحدود متساوية. لذلك، إذا ضربنا الكسر في كلا الطرفين في حاصل ضرب مقامَي الطرفين - bd - فسنحصل على

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times bd={\frac {c}{d}}\times bd.}$

يمكننا اختزال الكسور إلى أبسط صورة بملاحظة أن ظهورَي b في الطرف الأيسر يُلغيان بعضهما، وكذلك ظهورَي d في الطرف الأيمن، ليتبقى

${\displaystyle ad=bc,}$

ويمكننا قسمة طرفي المعادلة على أي من العناصر - في هذه الحالة سنستخدم d - لنحصل على

${\displaystyle a={\frac {bc}{d}}.}$

ثمة تبرير آخر للضرب التبادلي وهو كما يلي. بدءًا من المعادلة المعطاة

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

اضرب في d / d = 1 من اليسار وفي b / b = 1 من اليمين، لتحصل على

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{d}}={\frac {c}{d}}\times {\frac {b}{b}},}$

وهكذا

${\displaystyle {\frac {ad}{bd}}={\frac {cb}{db}}.}$

احذف المقام المشترك bd = db ، ليتبقى

${\displaystyle ad=cb.}$

تعتمد كل خطوة في هذه الإجراءات على خاصية أساسية واحدة للمعادلات . الضرب التبادلي هو اختصار، وإجراء سهل الفهم يمكن تعليمه للطلاب.

هذا إجراء شائع في الرياضيات، يُستخدم لتبسيط الكسور أو لحساب قيمة لمتغير معين في كسر. إذا كان لدينا معادلة

${\displaystyle {\frac {x}{b}}={\frac {c}{d}},}$

حيث x هو متغير نرغب في إيجاد قيمته، يمكننا استخدام الضرب التبادلي لتحديد ذلك.

${\displaystyle x={\frac {bc}{d}}.}$

على سبيل المثال، لنفترض أننا نريد معرفة المسافة التي ستقطعها سيارة في 7  ساعات، إذا علمنا أن سرعتها ثابتة وأنها قطعت بالفعل 90  ميلاً في الساعات الثلاث الماضية  . بتحويل المسألة اللفظية إلى نسب، نحصل على

${\displaystyle {\frac {x}{7\ {\text{hours}}}}={\frac {90\ {\text{miles}}}{3\ {\text{hours}}}}.}$

ينتج عن الضرب التبادلي

${\displaystyle x={\frac {7\ {\text{hours}}\times 90\ {\text{miles}}}{3\ {\text{hours}}}},}$

وهكذا

${\displaystyle x=210\ {\text{miles}}.}$

حل بديل

٩٠ ميلاً / ٣ ساعات = ٣٠ ميلاً في الساعة

إذن، 30 ميلاً في الساعة × 7 ساعات = 210 أميال.

لاحظ أن حتى المعادلات البسيطة مثل

${\displaystyle a={\frac {x}{d}}}$

يتم حلها باستخدام الضرب التبادلي، لأن الحد b المفقود يساوي ضمنيًا 1:

${\displaystyle {\frac {a}{1}}={\frac {x}{d}}.}$

يمكن تبسيط أي معادلة تحتوي على كسور أو عبارات نسبية بضرب طرفيها في المضاعف المشترك الأصغر . وتُسمى هذه الخطوة بتخليص الكسر .

كانت قاعدة الثلاثة ^{[ 1 ]} اختصارًا تاريخيًا لشكل معين من الضرب التبادلي، وكان من الممكن تعليمه للطلاب عن طريق الحفظ. واعتُبرت ذروة تعليم الرياضيات في الحقبة الاستعمارية ^{[ 2 ]} ، ولا تزال تُدرّس في المناهج الوطنية الفرنسية للتعليم الثانوي ^{[ 3 ]} ، وفي مناهج التعليم الابتدائي في إسبانيا ^{[ 4 ] .}

لمعادلة من الشكل

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{x}},}$

عندما يكون المتغير المراد تقييمه في المقام الأيمن، تنص قاعدة الثلاثة على أن

${\displaystyle x={\frac {bc}{a}}.}$

في هذا السياق، يُشار إلى a على أنه الطرف المتطرف للنسبة، ويُطلق على b و c اسم الوسطين .

كانت هذه القاعدة معروفة بالفعل لعلماء الرياضيات الصينيين قبل القرن الثاني الميلادي، ^{[ 5 ]} على الرغم من أنها لم تستخدم في أوروبا إلا في وقت لاحق.

يُقدّم كتاب "حساب كوكر" ، وهو الكتاب المدرسي الرئيسي في القرن السابع عشر، مناقشته لقاعدة الثلاثة ^{[ 6 ]} من خلال المسألة التالية: "إذا كان  سعر 4 ياردات من القماش 12  شلنًا، فكم سيكون سعر 6  ياردات بنفس السعر؟" تُعطي قاعدة الثلاثة إجابة مباشرة لهذه المسألة؛ بينما في الحساب الحديث، نحلّها بإدخال متغير x ليمثل سعر 6  ياردات من القماش، وكتابة المعادلة.

${\displaystyle {\frac {4\ {\text{yards}}}{12\ {\text{shillings}}}}={\frac {6\ {\text{yards}}}{x}}}$

ثم باستخدام الضرب التبادلي لحساب قيمة x :

${\displaystyle x={\frac {12\ {\text{shillings}}\times 6\ {\text{yards}}}{4\ {\text{yards}}}}=18\ {\text{shillings}}.}$

وجاء في مخطوطة مجهولة مؤرخة عام 1570 ^{[ 7 ]} : "الضرب أمر مزعج، / القسمة سيئة بنفس القدر؛ / قاعدة الثلاثة تحيرني، / والممارسة تجعلني مجنونًا".

يشير تشارلز داروين إلى استخدامه قاعدة الثلاثة في تقدير عدد الأنواع في جنس تم اكتشافه حديثًا. ^{[ 8 ]} في رسالة إلى ويليام داروين فوكس عام 1855، صرّح تشارلز داروين قائلًا: "لا أؤمن بأي شيء أقل من القياس الفعلي وقاعدة الثلاثة". ^{[ 9 ]} وقد اتخذ كارل بيرسون هذا التصريح شعارًا لمجلته التي أسسها حديثًا، Biometrika . ^{[ 10 ]}

• النسبة التبادلية
• نسبة الاحتمالات
• ترايراشيكا
• استدر (زاوية)
• الطريقة الوحدوية

• برايان بوريل: دليل ميريام-ويبستر للرياضيات اليومية: مرجع منزلي وتجاري . ميريام-ويبستر، 1998، رقم ISBN 9780877796213، الصفحات 85-101
• دكتور ماث، قاعدة الثلاثة
• دكتور ماث، أبراهام لينكولن، وقاعدة الثلاثة
• نظام بايك المختصر في الحساب: مصمم لتسهيل دراسة علم الأعداد، ويشمل أكثر القواعد وضوحًا ودقة، مع أمثلة مفيدة؛ بالإضافة إلى أسئلة مناسبة لاختبار الطلاب، ونظام مختصر للمحاسبة. ١٨٢٧ - نسخة طبق الأصل من القسم ذي الصلة
• قاعدة الثلاثة كما طبقها مايكل الرودسي في القرن الخامس عشر
• قاعدة الثلاثة في أغاني الأم غوس
• روديارد كيبلينج: يمكنك حلها بالكسور أو بقاعدة الثلاثة البسيطة، لكن طريقة تويدل دم ليست طريقة تويدل دي.

• الوسائط المتعلقة بالضرب التبادلي على ويكيميديا ​​كومنز