جاذب روسلر

الموسوعة الحرة
جاذب روسلر
جاذب روسلر كصورة مجسمة معأ=0.2{\displaystyle a=0.2}،ب=0.2{\displaystyle b=0.2}،ج=14{\displaystyle c=14}
طي قطعة مستقيمة تحت تأثير ديناميكيات روسلر في المستوى (r, log(z))، مما يُظهر سلوك التمدد والطي الفوضوي.أ=0.1{\displaystyle a=0.1}،ب=0.1{\displaystyle b=0.1}،ج=18{\displaystyle c=18}

جاذب روسلر ( يُلفظ / ˈrɒslər / ) هو جاذب نظام روسلر ، وهو نظام من ثلاث معادلات تفاضلية عادية غير خطية درسها أوتو روسلر في سبعينيات القرن العشرين. [ 1 ] [ 2 ] تُعرّف هذه المعادلات التفاضلية نظامًا ديناميكيًا مستمرًا زمنيًا يُظهر ديناميكيات فوضوية مرتبطة بالخصائص الكسورية للجاذب . [ 3 ] فسّر روسلر ذلك على أنه صياغة رياضية لآلة سحب الحلوى المطاطية . [ 4 ]

يمكن استنتاج بعض خصائص نظام روسلر باستخدام طرق خطية مثل المتجهات الذاتية ، لكن السمات الرئيسية للنظام تتطلب طرقًا غير خطية مثل خرائط بوانكاريه ومخططات التشعب . تنص ورقة روسلر الأصلية على أن جاذب روسلر كان يهدف إلى أن يتصرف بشكل مشابه لجاذب لورنز ، ولكن مع تسهيل تحليله نوعيًا. [ 1 ] يتبع المدار داخل الجاذب مسارًا حلزونيًا خارجيًا قريبًا منx،y{\displaystyle x,y}يتحرك الرسم البياني حول نقطة ثابتة غير مستقرة. بمجرد أن يتمدد الرسم البياني بشكل حلزوني كافٍ، تؤثر نقطة ثابتة ثانية على الرسم البياني، مما يتسبب في ارتفاع والتواء فيه.z{\displaystyle z}في المجال الزمني، يتضح أنه على الرغم من تذبذب كل متغير ضمن نطاق محدد من القيم، إلا أن هذه التذبذبات فوضوية. يتشابه هذا الجاذب مع جاذب لورنز، ولكنه أبسط وله سطح واحد فقط . صمم أوتو روسلر جاذب روسلر عام ١٩٧٦، [ ١ ] ولكن تبين لاحقًا أن المعادلات النظرية الأصلية مفيدة في نمذجة التوازن في التفاعلات الكيميائية.

تعريف

المعادلات المحددة لنظام روسلر هي: [ 3 ]

{دxدت=-y-zدyدت=x+أyدzدت=ب+z(x-ج){\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=-y-z\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\\{\frac {dz}{dt}}=b+z(x-c)\end{cases}}}

درس روسلر الجاذب الفوضوي معأ=0.2{\displaystyle a=0.2}،ب=0.2{\displaystyle b=0.2}، وج=5.7{\displaystyle c=5.7}، على الرغم من خصائصأ=0.1{\displaystyle a=0.1}،ب=0.1{\displaystyle b=0.1}، وج=14{\displaystyle c=14}وقد شاع استخدامها منذ ذلك الحين. تم بحث خط آخر من فضاء المعلمات باستخدام التحليل الطوبولوجي. وهو يتوافق معب=2{\displaystyle b=2}،ج=4{\displaystyle c=4}، وأ{\displaystyle a}تم اختيارها كمعامل تشعب. [ 5 ] وقد بحث ليتيليه وميساجيه في كيفية اكتشاف روسلر لهذه المجموعة من المعادلات. [ 6 ]

تحليل الاستقرار

x،y{\displaystyle x,y}مستوى جاذب روسلر معأ=0.2{\displaystyle a=0.2}،ب=0.2{\displaystyle b=0.2}،ج=5.7{\displaystyle c=5.7}

يعود جزء من أناقة جاذب روسلر إلى كون اثنتين من معادلاته خطيتين؛ بوضعz=0{\displaystyle z=0}، مما يسمح بفحص السلوك علىx،y{\displaystyle x,y}طائرة

{دxدت=-yدyدت=x+أy{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=-y\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\end{cases}}}

الاستقرار فيx،y{\displaystyle x,y}ويمكن بعد ذلك إيجاد المستوى عن طريق حساب القيم الذاتية لمصفوفة جاكوبي(0-11أ){\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&a\\\end{pmatrix}}}، وهي(أ±أ2-4)/2{\displaystyle (a\pm {\sqrt {a^{2}-4}})/2}ومن هذا، يمكننا أن نرى أنه عندما0<أ<2{\displaystyle 0<a<2}، القيم الذاتية مركبة ولكل منهما مكون حقيقي موجب، مما يجعل نقطة الأصل غير مستقرة مع وجود حلزون خارجي علىx،y{\displaystyle x,y}الطائرة. والآن، لننظر إلىz{\displaystyle z}سلوك الطائرة ضمن سياق هذا النطاق لـأ{\displaystyle a}طالماx{\displaystyle x}أصغر منج{\displaystyle c}، الج{\displaystyle c}سيحافظ هذا المصطلح على المدار قريبًا منx،y{\displaystyle x,y}الطائرة. مع اقتراب المدارx{\displaystyle x}أكبر منج{\displaystyle c}، الz{\displaystyle z}تبدأ القيم بالارتفاع.z{\displaystyle z}لكنّ التسلقات-z{\displaystyle -z}في معادلة لـدx/دت{\displaystyle dx/dt}يوقف النمو فيx{\displaystyle x}.

النقاط الثابتة

لإيجاد النقاط الثابتة، تُساوي معادلات روسلر الثلاث بالصفر و (x{\displaystyle x}،y{\displaystyle y}،z{\displaystyle z}تم تحديد إحداثيات كل نقطة ثابتة عن طريق حل المعادلات الناتجة. وهذا ينتج عنه المعادلات العامة لكل إحداثية من إحداثيات النقاط الثابتة: [ 7 ]

{x=ج±ج2-4أب2y=-(ج±ج2-4أب2أ)z=ج±ج2-4أب2أ{\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}}\\y=-\left({\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)\\z={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\end{cases}}}

والتي بدورها يمكن استخدامها لإظهار النقاط الثابتة الفعلية لمجموعة معينة من قيم المعلمات:

(ج+ج2-4أب2،-ج-ج2-4أب2أ،ج+ج2-4أب2أ){\displaystyle \left({\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)}
(ج-ج2-4أب2،-ج+ج2-4أب2أ،ج-ج2-4أب2أ){\displaystyle \left({\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)}

كما هو موضح في المخططات العامة لجاذب روسلر أعلاه، تقع إحدى هذه النقاط الثابتة في مركز حلقة الجاذب والأخرى تقع بعيدًا نسبيًا عن الجاذب.

القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

يمكن تحليل استقرار كل نقطة من هذه النقاط الثابتة عن طريق تحديد قيمها الذاتية ومتجهاتها الذاتية. بدءًا من مصفوفة جاكوبي:

(0-1-11أ0z0x-ج){\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1&-1\\1&a&0\\z&0&x-c\\\end{pmatrix}}}

يمكن تحديد القيم الذاتية عن طريق حل المعادلة التكعيبية التالية:

-λ3+λ2(أ+x-ج)+λ(أج-أx-1-z)+x-ج+أz=0{\displaystyle -\lambda ^{3}+\lambda ^{2}(a+x-c)+\lambda (ac-ax-1-z)+x-c+az=0\,}

بالنسبة للنقطة الثابتة الموجودة في المركز، فإن قيم معلمات روسلر الأصلية a=0.2 و b=0.2 و c=5.7 تعطي القيم الذاتية التالية:

λ1=0.0971028+0.995786أنا{\displaystyle \lambda _{1}=0.0971028+0.995786i\,}
λ2=0.0971028-0.995786أنا{\displaystyle \lambda _{2}=0.0971028-0.995786i\,}
λ3=-5.68718{\displaystyle \lambda _{3}=-5.68718\,}

تُحدد قيمة القيمة الذاتية السالبة مستوى التجاذب على طول المتجه الذاتي المقابل. وبالمثل، تُحدد قيمة القيمة الذاتية الموجبة مستوى التنافر على طول المتجه الذاتي المقابل.

المتجهات الذاتية المقابلة لهذه القيم الذاتية هي:

v1=(0.7073-0.07278-0.7032أنا0.0042-0.0007أنا){\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}0.7073\\-0.07278-0.7032i\\0.0042-0.0007i\\\end{pmatrix}}}
v2=(0.70730.07278+0.7032أنا0.0042+0.0007أنا){\displaystyle v_{2}={\begin{pmatrix}0.7073\\0.07278+0.7032i\\0.0042+0.0007i\\\end{pmatrix}}}
v3=(0.1682-0.02860.9853){\displaystyle v_{3}={\begin{pmatrix}0.1682\\-0.0286\\0.9853\\\end{pmatrix}}}
فحص متجهات القيم الذاتية للنقطة الثابتة المركزية: يتوافق الخط الأزرق مع جاذب روسلر القياسي المُولّد بواسطةأ=0.2{\displaystyle a=0.2}،ب=0.2{\displaystyle b=0.2}، وج=5.7{\displaystyle c=5.7}.
جاذب روسلر معأ=0.2{\displaystyle a=0.2}،ب=0.2{\displaystyle b=0.2}،ج=5.7{\displaystyle c=5.7}

لهذه المتجهات الذاتية عدة دلالات مثيرة للاهتمام. أولاً، زوجا القيم الذاتية/المتجهات الذاتية (v1{\displaystyle v_{1}}وv2{\displaystyle v_{2}}تُعدّ هذه القيم الذاتية مسؤولة عن الانزلاق الخارجي المنتظم الذي يحدث في القرص الرئيسي للمُستقطِب. يجذب الزوج الأخير من القيم الذاتية/المتجهات الذاتية على طول محور يمر عبر مركز المتشعب، وهو المسؤول عن الحركة في الاتجاه z التي تحدث داخل المُستقطِب. يوضح الشكل أدناه هذا التأثير بشكل تقريبي.

يُظهر الشكل متجهات القيم الذاتية للنقطة الثابتة المركزية. الخط الأزرق يُمثل جاذب روسلر القياسي المُولّد باستخدامأ=0.2{\displaystyle a=0.2}،ب=0.2{\displaystyle b=0.2}، وج=5.7{\displaystyle c=5.7}النقطة الحمراء في مركز هذا الجاذب هيFP1{\displaystyle FP_{1}}الخط الأحمر الذي يتقاطع مع تلك النقطة الثابتة هو توضيح للمستوى التنافري الناتج عنv1{\displaystyle v_{1}}وv2{\displaystyle v_{2}}الخط الأخضر هو توضيح للجاذبيةv3{\displaystyle v_{3}}يتم توليد الخط الأرجواني عن طريق الرجوع بالزمن من نقطة على المتجه الذاتي الجاذب أعلى قليلاً منFP1{\displaystyle FP_{1}}– يوضح هذا سلوك النقاط التي يهيمن عليها هذا المتجه تمامًا. لاحظ أن الخط الأرجواني يكاد يلامس مستوى الجاذب قبل أن يُسحب لأعلى نحو النقطة الثابتة؛ وهذا يشير إلى أن المظهر العام وسلوك جاذب روسلر هما نتاج تفاعل بين قوى الجذبv3{\displaystyle v_{3}}والتنافرv1{\displaystyle v_{1}}وv2{\displaystyle v_{2}}المستوى. وعلى وجه التحديد، يشير ذلك إلى أن سلسلة مُولَّدة من معادلات روسلر ستبدأ في الالتفاف حولFP1{\displaystyle FP_{1}}، تبدأ في الانجذاب للأعلى إلىv3{\displaystyle v_{3}}المتجه، مما يخلق الذراع الصاعد لمنحنى ينحني قليلاً إلى الداخل باتجاه المتجه قبل أن يتم دفعه للخارج مرة أخرى أثناء سحبه للخلف باتجاه المستوى المتنافر.

بالنسبة للنقطة الثابتة الشاذة، فإن قيم معلمات روسلر الأصلية هيأ=0.2{\displaystyle a=0.2}،ب=0.2{\displaystyle b=0.2}، وج=5.7{\displaystyle c=5.7}ينتج عنه القيم الذاتية لـ:

λ1=-0.0000046+5.4280259أنا{\displaystyle \lambda _{1}=-0.0000046+5.4280259i}
λ2=-0.0000046-5.4280259أنا{\displaystyle \lambda _{2}=-0.0000046-5.4280259i}
λ3=0.1929830{\displaystyle \lambda _{3}=0.1929830}

المتجهات الذاتية المقابلة لهذه القيم الذاتية هي:

v1=(0.0002422+0.1872055أنا0.0344403-0.0013136أنا0.9817159){\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}0.0002422+0.1872055i\\0.0344403-0.0013136i\\0.9817159\\\end{pmatrix}}}
v2=(0.0002422-0.1872055أنا0.0344403+0.0013136أنا0.9817159){\displaystyle v_{2}={\begin{pmatrix}0.0002422-0.1872055i\\0.0344403+0.0013136i\\0.9817159\\\end{pmatrix}}}
v3=(0.0049651-0.70757700.7066188){\displaystyle v_{3}={\begin{pmatrix}0.0049651\\-0.7075770\\0.7066188\\\end{pmatrix}}}

على الرغم من وجود هذه القيم الذاتية والمتجهات الذاتية في جاذب روسلر، إلا أن تأثيرها يقتصر على تكرارات نظام روسلر التي تقع شروطها الابتدائية في الجوار العام لهذه النقطة الثابتة الشاذة. باستثناء الحالات التي تقع فيها الشروط الابتدائية على مستوى الجذب الناتج عنλ1{\displaystyle \lambda _{1}}وλ2{\displaystyle \lambda _{2}}يتمثل هذا التأثير فعلياً في دفع النظام الناتج نحو جاذب روسلر العام. ومع اقتراب المتتالية الناتجة من النقطة الثابتة المركزية والجاذب نفسه، سيتضاءل تأثير هذه النقطة الثابتة البعيدة (ومتجهاتها الذاتية).

خريطة بوانكاريه

خريطة بوانكاريه لجاذب روسلر معأ=0.1{\displaystyle a=0.1}،ب=0.1{\displaystyle b=0.1}،ج=14{\displaystyle c=14}

تُنشأ خريطة بوانكاريه برسم قيمة الدالة في كل مرة تمر فيها عبر مستوى محدد في اتجاه معين. مثال على ذلك هو رسم...y،z{\displaystyle y,z}القيمة في كل مرة تمر بهاx=0{\displaystyle x=0}الطائرة أينx{\displaystyle x}يتغير من سالب إلى موجب، وهو أمر شائع عند دراسة جاذب لورنز. أما في حالة جاذب روسلر، فإنx=0{\displaystyle x=0}الطائرة غير مثيرة للاهتمام، لأن الخريطة تعبر دائمًاx=0{\displaystyle x=0}طائرة فيz=0{\displaystyle z=0}بسبب طبيعة معادلات روسلر. فيx=0.1{\displaystyle x=0.1}طائرة لـأ=0.1{\displaystyle a=0.1}،ب=0.1{\displaystyle b=0.1}،ج=14{\displaystyle c=14}تُظهر خريطة بوانكاريه الارتفاع فيz{\displaystyle z}القيم كـx{\displaystyle x}يزداد العدد، كما هو متوقع نظرًا لجزء الصعود والالتواء في مخطط روسلر. عدد النقاط في مخطط بوانكاريه المحدد هذا لا نهائي، ولكن عندما يكون مختلفًاج{\displaystyle c}عند استخدام القيمة، يمكن أن يختلف عدد النقاط. على سبيل المثال، معج{\displaystyle c}إذا كانت قيمة الدالة 4، فلا توجد سوى نقطة واحدة على خريطة بوانكاريه، لأن الدالة تُنتج مدارًا دوريًا بفترة زمنية تساوي واحدًا، أو إذا كانتج{\displaystyle c}إذا تم ضبط القيمة على 12.8، فسيكون هناك ست نقاط تتوافق مع مدار ذي فترة ستة.

خريطة لورينز

خريطة لورنز هي العلاقة بين القيم العظمى المتتالية لإحداثية في مسار. لنفترض مسارًا على الجاذب، ولتكنxمأx(ن){\displaystyle x_{max}(n)}ليكن الحد الأقصى النوني لإحداثيه السيني. إذنxمأx(ن){\displaystyle x_{max}(n)}-xمأx(ن+1){\displaystyle x_{max}(n+1)}مخطط التشتت هو تقريبًا منحنى، مما يعني أن معرفةxمأx(ن){\displaystyle x_{max}(n)}يمكن للمرء أن يتنبأ بدقة تقريبًاxمأx(ن+1){\displaystyle x_{max}(n+1)}[ 8 ]​

خريطة لورنز لجاذب روسلر مع a = 0.2، b = 0.2، c = 5.

رسم خرائط القيم القصوى المحلية

Zن{\displaystyle Z_{n}}مقابلZن+1{\displaystyle Z_{n+1}}

في الورقة البحثية الأصلية حول جاذب لورنز، [ 9 ] قام إدوارد لورنز بتحليل القيم القصوى المحلية لـz{\displaystyle z}مقابل القيم العظمى المحلية السابقة مباشرة. عند تمثيلها بيانيًا، يشبه الرسم البياني خريطة الخيمة ، مما يعني أنه يمكن استخدام تحليل مماثل بين الخريطة والمُجتذب. بالنسبة لمُجتذب روسلر، عندماzن{\displaystyle z_{n}}يتم رسم القيمة القصوى المحلية مقابل القيمة القصوى المحلية التاليةz{\displaystyle z}أقصى حد،zن+1{\displaystyle z_{n+1}}، الرسم البياني الناتج (الموضح هنا لـأ=0.2{\displaystyle a=0.2}،ب=0.2{\displaystyle b=0.2}،ج=5.7{\displaystyle c=5.7}() أحادي النمط، يشبه خريطة هينون المائلة . وبما أن جاذب روسلر يُمكن استخدامه لإنشاء خريطة أحادية البعد زائفة، فإنه يُمكن استخدام أساليب تحليل مماثلة. يُعد مخطط التشعب أسلوب تحليل مفيدًا للغاية.

تغير المعلمات

يعتمد سلوك جاذب روسلر إلى حد كبير على قيم معاملاته الثابتةأ{\displaystyle a}،ب{\displaystyle b}، وج{\displaystyle c}بشكل عام، يُحدث تغيير كل مُعامل تأثيرًا مُماثلًا، حيث يدفع النظام نحو التقارب باتجاه مدار دوري، أو نقطة ثابتة، أو نحو اللانهاية، إلا أن النطاقات والسلوكيات المُحددة الناتجة تختلف اختلافًا كبيرًا لكل مُعامل. تُعرَّف المدارات الدورية، أو "دورات الوحدة"، لنظام روسلر بعدد الحلقات حول النقطة المركزية التي تحدث قبل أن تبدأ سلسلة الحلقات في التكرار.

تُعدّ مخططات التشعب أداة شائعة لتحليل سلوك الأنظمة الديناميكية ، ومنها جاذب روسلر. تُنشأ هذه المخططات بتطبيق معادلات النظام، مع تثبيت جميع المتغيرات باستثناء متغير واحد، ثم تغيير المتغير الأخير. بعد ذلك، يُرسم بياني يوضح النقاط التي يمر بها المتغير المُغيّر عند قيمة معينة بعد تحييد العوامل العابرة. وتُشير المناطق المظللة في الرسم البياني إلى المناطق الفوضوية.

تغيير أ

هنا،ب{\displaystyle b}تم تثبيتها عند 0.2،ج{\displaystyle c}تم تثبيته عند 5.7 وأ{\displaystyle a}التغييرات. دراسة عددية لسلوك الجاذب مع تغيرأ{\displaystyle a}يشير ذلك إلى أن له تأثيرًا غير متناسب على سلوك الجاذب. نتائج التحليل هي:

  • أ≤0{\displaystyle a\leq 0}: يتقارب إلى النقطة الثابتة الموجودة في المركز
  • أ=0.1{\displaystyle a=0.1}دورة الوحدة ذات الفترة 1
  • أ=0.2{\displaystyle a=0.2}: قيمة المعامل القياسي التي اختارها روسلر، فوضوية
  • أ=0.3{\displaystyle a=0.3}: جاذب فوضوي، يشبه إلى حد كبير شريط موبيوس (يطوي على نفسه).
  • أ=0.35{\displaystyle a=0.35}: مشابه لـ .3، ولكنه يزداد فوضوية
  • أ=0.38{\displaystyle a=0.38}: مشابه لـ .35، ولكنه فوضوي بشكل متزايد.

متغير ب

مخطط التشعب لجاذب روسلر لقيم متغيرةب{\displaystyle b}

هنا،أ{\displaystyle a}تم تثبيتها عند 0.2،ج{\displaystyle c}تم تثبيته عند 5.7 وب{\displaystyle b}التغييرات. كما هو موضح في الرسم البياني المرفق، كماب{\displaystyle b}عندما يقترب من الصفر، يقترب الجاذب من اللانهاية (لاحظ الارتفاع عند القيم الصغيرة جدًا لـب{\displaystyle b}). بالمقارنة مع المعايير الأخرى، المتغيرةب{\displaystyle b} يُنتج نطاقًا أوسع عند حدوث مدارات دورية من الدرجة الثالثة والسادسة. على عكسأ{\displaystyle a}وج{\displaystyle c}، قيم أعلى منب{\displaystyle b}تتقارب إلى دورة-1، وليس إلى حالة فوضوية.

ج المتغير

مخطط التشعب لجاذب روسلر لقيم متغيرةج{\displaystyle c}

هنا،أ=ب=0.1{\displaystyle a=b=0.1}وج{\displaystyle c}التغييرات. يكشف مخطط التشعب أن القيم المنخفضة لـج{\displaystyle c}تكون دورية، لكنها سرعان ما تصبح فوضوية معج{\displaystyle c}يزداد. ويتكرر هذا النمط معج{\displaystyle c}تزداد – هناك فترات من الدورية تتخللها فترات من الفوضى، والاتجاه نحو مدارات ذات فترات أطولج{\displaystyle c}تزداد. على سبيل المثال، لا تظهر الفترة المدارية الواحدة إلا لقيم معينة.ج{\displaystyle c}حوالي 4 ولا يُعثر عليها مرة أخرى في مخطط التشعب. وتُلاحظ الظاهرة نفسها مع الدورة الثالثة؛ حتىج=12{\displaystyle c=12}يمكن العثور على مدارات ذات فترة ثلاثة، ولكن بعد ذلك، لا تظهر.

رسم توضيحي بياني لتغير الجاذب على مدى نطاقج{\displaystyle c}توضح القيم السلوك العام الذي لوحظ في جميع تحليلات المعلمات هذه - التحولات المتكررة بين الدورية وعدم الدورية.

ج المتغير
ج = 4
ج = 4، الدورة 1
ج = 6
ج = 6، الدورة 2
ج = 8.5
ج = 8.5، الدورة 4
ج = 8.7
ج = 8.7، الدورة 8
ج = 9
ج = 9، فوضوي
ج = 12
ج = 12، الدورة 3
ج = 12.6
ج = 12.6، الدورة 6
ج = 13
ج = 13، فوضوي
ج = 18
ج = 18، فوضوي
ج = 15.4
ج = 15.4، الدورة 5

توضح مجموعة الصور أعلاه التغيرات في نظام روسلر بعد المرحلة الانتقالية كماج{\displaystyle c}تتفاوت هذه القيم ضمن نطاق محدد. تم إنشاء هذه الصور باستخدامأ=ب=1{\displaystyle a=b=.1}.

  • ج=4{\displaystyle c=4}مدار دوري من الدرجة الأولى.
  • ج=6{\displaystyle c=6}، مدار ذو فترة زمنية 2.
  • ج=8.5{\displaystyle c=8.5}، مدار دوري من الدرجة الرابعة.
  • ج=8.7{\displaystyle c=8.7}مدار دوري من الدرجة الثامنة.
  • ج=9{\displaystyle c=9}، جاذب فوضوي متفرق.
  • ج=12{\displaystyle c=12}، مدار دوري من الدرجة الثالثة.
  • ج=12.6{\displaystyle c=12.6}مدار ذو فترة 6.
  • ج=13{\displaystyle c=13}، جاذب فوضوي متفرق.
  • ج=15.4{\displaystyle c=15.4}مدار دوري من الدرجة الخامسة.
  • ج=18{\displaystyle c=18}، جاذب فوضوي مملوء.

المدارات الدورية

يمتلئ الجاذب بكثافة بالمدارات الدورية : وهي الحلول التي توجد لها قيمة غير صفرية لـتي{\displaystyle T}بحيثx→(ت+تي)=x→(ت){\displaystyle {\vec {x}}(t+T)={\vec {x}}(t)}يمكن اشتقاق هذه الحلول الشيقة عدديًا باستخدام طريقة نيوتن . المدارات الدورية هي جذور الدالة.Φت-أناد{\displaystyle \Phi _{t}-Id}، أينΦت{\displaystyle \Phi _{t}}هو التطور عبر الزمنت{\displaystyle t}وأناد{\displaystyle Id}هي الهوية. وبما أن غالبية الديناميكيات تحدث في المستوى xy، فيمكن تصنيف المدارات الدورية حسب عدد لفاتها حول نقطة التوازن المركزية بعد الإسقاط.

جدول المدارات الدورية حسب رقم اللف k
k=1.
k = 1
ج = 2
k = 2
k = 3
k = 3
الزمن ليس متناسباً مع المقياس. تم استخدام المعاملات الأصلية (أ، ب، ج) = (0.2، 0.2، 5.7).

يبدو من التجارب العددية أن هناك مدارًا دوريًا فريدًا لجميع أعداد اللف الموجبة. ويرجع هذا النقص في الانحلال على الأرجح إلى افتقار المسألة إلى التناظر. ويمكن تقسيم الجاذب إلى متشعبات ثابتة يسهل فهمها : مدارات دورية أحادية البعد، ومتشعبات ثنائية الأبعاد مستقرة وغير مستقرة للمدارات الدورية. وتمثل هذه المتشعبات الثابتة هيكلًا طبيعيًا للجاذب، تمامًا كما تمثل الأعداد النسبية هيكلًا للأعداد الحقيقية .

لأغراض نظرية الأنظمة الديناميكية ، قد يكون المرء مهتمًا بالثوابت الطوبولوجية لهذه المتشعبات. المدارات الدورية هي نسخ منS1{\displaystyle S^{1}}مضمنة فيR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}لذا يمكن فهم خصائصها الطوبولوجية باستخدام نظرية العقد . تشكل المدارات الدورية ذات أرقام اللف 1 و2 رابط هوبف ، مما يدل على أنه لا يوجد تماثل تفاضلي يمكن أن يفصل هذه المدارات.

يشبه التموج الواضح في جاذب روسلر مجموعة كانتور بعد تدويرها حول نقطة منتصفها. إضافةً إلى ذلك، فإن نصف الالتواء الذي يحدث في جاذب روسلر لا يؤثر إلا على جزء منه. وقد أثبت روسلر أن جاذبه هو في الواقع مزيج من "شريط عادي" وشريط موبيوس . [ 10 ]

مراجع

  1. 1 2 3 روسلر، أو إي (1976)، "معادلة للفوضى المستمرة"، رسائل الفيزياء ، 57أ (5): 397-398 ، رمز Bibcode : 1976PhLA...57..397R ، doi : 10.1016/0375-9601(76)90101-8.
  2. ↑ روسلر، أو إي (1979)، "معادلة للفوضى الفائقة"، رسائل الفيزياء ، 71أ (2، 3): 155-157 ، رمز Bibcode : 1979PhLA...71..155R ، doi : 10.1016/0375-9601(79)90150-6.
  3. 1 2 بيتغن, هاينز أوتو ; الأماكن القريبة : Saupe، Dietmar (2004)، “12.3 The Rössler Attractor”، الفوضى والفركتلات: حدود جديدة للعلوم ، سبرينغر، الصفحات من 636 إلى 646 .
  4. ^ روسلر ، أوتو إي. (01/07/1983). "التسلسل الهرمي الفوضوي" . Zeitschrift für Naturforschung A. 38 (7): 788–801 . دوى : 10.1515/zna-1983-0714 . ردمك 1865-7109 . 
  5. ↑ ليتيلير، سي.؛ بي. دوتيرتر؛ بي. ماهو (1995). "المدارات الدورية غير المستقرة وقوالب نظام روسلر: نحو توصيف طوبولوجي منهجي" . الفوضى . 5 (1): 272-281 . Bibcode : 1995Chaos...5..271L . doi : 10.1063/1.166076 . PMID 12780181 . 
  6. ↑ ليتيلير، سي.؛ في. ميساجيه (2010). "تأثيرات على أول ورقة بحثية لأوتو إي. روسلر حول الفوضى". المجلة الدولية للتفرع والفوضى . 20 (11): 3585-3616 . Bibcode : 2010IJBC...20.3585L . doi : 10.1142/s0218127410027854 .
  7. ↑ مارتينيس-أرانو، هـ.؛ غارسيا-بيريز، ب.إ.؛ فيداليس-هورتادو، م.أ.؛ تريجو-فالديز، م.؛ هيرنانديز-غوميز، ل.هـ.؛ توريس-توريس، س. (2019). "البصمات الفوضوية التي تُظهرها التأثيرات البلازمونية في جسيمات الذهب النانوية مع الخلايا" . مجلة الحساسات . 19 (21): 4728. Bibcode : 2019Senso..19.4728M . doi : 10.3390/s19214728 . PMC 6864870. PMID 31683534 .  {{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  8. ↑ أولسن، لارس فولك؛ ديجن، هانز (مايو 1985). "الفوضى في الأنظمة البيولوجية" . المراجعات الفصلية للفيزياء الحيوية . 18 (2): 165-225 . doi : 10.1017/S0033583500005175 . ISSN 1469-8994 . PMID 3912797 .  
  9. ↑ لورنز، إي إن (1963)، "التدفق غير الدوري الحتمي"، مجلة علوم الغلاف الجوي ، 20 (2): 130-141 ، Bibcode : 1963JAtS...20..130L ، doi : 10.1175/1520-0469(1963)020 < 0130:DNF > 2.0.CO ; 2.
  10. ^ روسلر، أوتو إي. (1976). "السلوك الفوضوي في نظام رد الفعل البسيط" . Zeitschrift für Naturforschung A. 31 ( 3– 4): 259– 264. بيب كود : 1976ZNatA..31..259R . دوى : 10.1515/zna-1976-3-408 .