رقم سالم

في الرياضيات ، عدد سالم هو عدد صحيح جبري حقيقي${\displaystyle \alpha >1}$الأعداد التي لها جذور مترافقة جميعها بقيمة مطلقة لا تتجاوز 1، ويكون لأحدها على الأقل قيمة مطلقة تساوي  1 بالضبط. تُعد أعداد سالم ذات أهمية في التقريب الديوفانتي والتحليل التوافقي . وقد سُميت نسبةً إلى رافائيل سالم .

بما أن جذرها يساوي 1، فإن أبسط متعددة حدود لعدد سالم يجب أن تكون متعددة حدود مقلوب . وهذا يعني أن${\displaystyle 1/\alpha }$وهو أيضًا جذر، وجميع الجذور الأخرى لها قيمة مطلقة تساوي واحدًا بالضبط. ونتيجة لذلك، يجب أن يكون α عنصرًا محايدًا في حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية، حيث أن معياره يساوي 1.

كل عدد من أعداد سالم هو عدد بيرون (عدد جبري حقيقي أكبر من واحد، وجميع مرافقاته لها قيمة مطلقة أصغر).

أصغر عدد سالم معروف هو أكبر جذر حقيقي لكثير الحدود ليمر (المسمى على اسم ديريك هنري ليمر ).

${\displaystyle P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1,}$

وهو ما يقارب${\displaystyle x=1.17628}$يُفترض أنه بالفعل أصغر عدد سالم، وأصغر مقياس ماهلر ممكن لكثير الحدود غير الدائري غير القابل للاختزال . ^{[ 1 ]}

تعد كثيرة حدود ليمر عاملاً لكثيرة الحدود الأقصر من الدرجة -12،

${\displaystyle Q(x)=x^{12}-x^{7}-x^{6}-x^{5}+1,}$

جميع الجذور الاثني عشر التي تحقق العلاقة ^{[ 2 ]}

${\displaystyle x^{630}-1={\frac {(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^{2}(x^{90}-1)(x^{3}-1)^{3}(x^{2}-1)^{5}(x-1)^{3}}{(x^{35}-1)(x^{15}-1)^{2}(x^{14}-1)^{2}(x^{5}-1)^{6}\,x^{68}}}}$

يمكن بناء أعداد سالم من أعداد بيزو-فيجاياراغافان . وللتذكير، فإن أصغر هذه الأعداد هو الجذر الحقيقي الوحيد لكثير الحدود التكعيبي .

${\displaystyle x^{3}-x-1,}$

تُعرف هذه النسبة بنسبة البلاستيك ، وتساوي تقريبًا 1.324718. ويمكن استخدامها لتوليد مجموعة من أعداد سالم، بما في ذلك أصغر عدد تم اكتشافه حتى الآن. ويتمثل النهج العام في اختيار الحد الأدنى لكثير الحدود.${\displaystyle P(x)}$من عدد بيسوت-فيجاياراجافان ومتعددة حدوده المتبادلة ،${\displaystyle P^{*}(x)}$وحل المعادلة،

${\displaystyle x^{n}P(x)=\pm P^{*}(x)}$

للأعداد الصحيحة${\displaystyle n}$أعلى من حدٍّ معين. بطرح أحد الطرفين من الآخر، ثم التحليل إلى عوامله، وإهمال العوامل التافهة، نحصل على متعددة الحدود الدنيا لأعداد سالم معينة. على سبيل المثال، باستخدام الحالة السالبة لما سبق،

${\displaystyle x^{n}(x^{3}-x-1)=-(x^{3}+x^{2}-1)}$

ثم لـ${\displaystyle n=8}$، وهذا عامل من العوامل التالية:

${\displaystyle (x-1)(x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1)=0}$

حيث يمثل الخط العشري متعدد حدود ليمر. باستخدام درجات أعلى${\displaystyle n}$سينتج عن ذلك عائلة ذات جذر يقترب من النسبة البلاستيكية. ويمكن فهم ذلك بشكل أفضل من خلال أخذ${\displaystyle n}$الجذور العشرية لكلا الجانبين،

${\displaystyle x(x^{3}-x-1)^{1/n}=\pm (x^{3}+x^{2}-1)^{1/n}}$

لذلك${\displaystyle n}$يرتفع أكثر،${\displaystyle x}$سوف نقترب من حل${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$إذا تم استخدام الحالة الإيجابية، فإن${\displaystyle x}$يقترب من نسبة اللدونة من الاتجاه المعاكس. باستخدام الحد الأدنى لكثير الحدود لأصغر عدد بيزو-فيجاياراغافان التالي، نحصل على

${\displaystyle x^{n}(x^{4}-x^{3}-1)=-(x^{4}+x-1),}$

والذي من أجل${\displaystyle n=7}$العوامل كـ

${\displaystyle (x-1)(x^{10}-x^{6}-x^{5}-x^{4}+1)=0,}$

عدد عشري لم يتم إنشاؤه في السابق وله الجذر${\displaystyle x=1.216391\ldots }$وهو خامس أصغر عدد معروف في سالم.${\displaystyle n\to \infty }$، وتميل هذه العائلة بدورها نحو الجذر الحقيقي الأكبر لـ${\displaystyle x^{4}-x^{3}-1=0}$.

• بورواين، بيتر (2002). رحلات حسابية في التحليل ونظرية الأعداد . كتب الجمعية الرياضية المركزية في الرياضيات. سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 0-387-95444-9. Zbl 1020.12001 . الفصل 3.
• بويد، ديفيد (2001) [1994]، "عدد سالم" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• إم جيه موسينغهوف. "أرقام سالم الصغيرة" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 9 مايو 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 7 يناير 2016 .
• سالم، ر. (1963). الأعداد الجبرية وتحليل فورييه . سلسلة هيث للرياضيات. بوسطن، ماساتشوستس: شركة دي سي هيث . Zbl 0126.07802 .