نسبة البلاستيك

في الرياضيات، النسبة البلاستيكية هي نسبة هندسية ، تُعطى بالحل الحقيقي الوحيد للمعادلة x³ = ^x + 1. ويبدأ تمثيلها العشري بـ1.324 717 957 244 746 ... (التسلسل A060006 في OEIS ) .وهو أصغر رقم بيزو.

لا تشير الصفة البلاستيكية إلى المادة الاصطناعية ، بل إلى الصفات التكوينية والنحتية لهذه النسبة، كما هو الحال في الفنون التشكيلية .

تكون ثلاث كميات a > b > c > 0 في النسبة البلاستيكية إذا$${\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {a}{b}}={\frac {b+c}{a}}}$$ يُشار إلى هذه النسبة عادةً بالرمز ⁠${\displaystyle \rho }$( rho ).

الاستبدال${\displaystyle b=\rho c\,}$و${\displaystyle a=\rho b=\rho ^{2}c\,}$في الجزء الأخير، $${\displaystyle \rho ={\frac {c(\rho +1)}{\rho ^{2}c}}.}$$ويترتب على ذلك أن النسبة البلاستيكية هي الحل الحقيقي الوحيد للمعادلة التكعيبية${\displaystyle \rho ^{3}-\rho -1=0.}$

الحل باستخدام صيغة كاردانو ، $${\displaystyle {\begin{aligned}w_{1,2}&={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}\right)\\\rho &={\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}}\end{aligned}}}$$ أو باستخدام جيب التمام الزائدي ، ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \rho ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cosh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)\right).}$$

⁠${\displaystyle \rho }$⁠ هي النقطة الثابتة فائقة الاستقرار للتكرار${\displaystyle x\gets (2x^{3}+1)/(3x^{2}-1),}$وهي خطوة التحديث في طريقة نيوتن المطبقة على${\displaystyle x^{3}-x-1=0.}$⁠

التكرار${\displaystyle x\gets {\sqrt {1+{\tfrac {1}{x}}}}}$ينتج عنه الجذر التربيعي المقلوب المستمر $${\displaystyle \rho ={\sqrt {1+{\cfrac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}$$

تقسيم الثلاثية الحدودية المحددة${\displaystyle x^{3}-x-1}$بواسطة​${\displaystyle x-\rho }$يحصل المرء${\displaystyle x^{2}+\rho x+1/\rho ,}$والعناصر المترافقة لـ​${\displaystyle \rho }$هي​ $${\displaystyle x_{1,2}={\frac {1}{2}}\left(-\rho \pm i{\sqrt {3\rho ^{2}-4}}\right),}$$ مع${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-\rho \;}$و${\displaystyle \;x_{1}x_{2}=1/\rho .}$

نسبة البلاستيك${\displaystyle \rho }$والنسبة الذهبية​​${\displaystyle \varphi }$الأعداد المورفية الوحيدة هي: الأعداد الحقيقية x > 1 التي يوجد لها عددان طبيعيان m و n بحيث${\displaystyle x+1=x^{m}}$و​​${\displaystyle \;x-1=x^{-n}.}$يمكن أن تكون الأعداد المورفية أساسًا لنظام قياس. ^{[ 3 ]}

خصائص ⁠${\displaystyle \rho }$( m=3 و n=4) مرتبطة بتلك الخاصة بـ${\displaystyle \varphi }$( m=2 و n=1). على سبيل المثال، تحقق النسبة البلاستيكية الجذر المستمر$${\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{{\phantom {|}}1+\cdots }}}}}},}$$ بينما تحقق النسبة الذهبية ما هو مماثل $${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {{\phantom {|}}1+\cdots }}}}}}}$$

يمكن التعبير عن النسبة البلاستيكية بدلالة نفسها كمتسلسلة هندسية لانهائية$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{5}&=\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-n}\\\rho ^{3}&=\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-2n}\\\rho ^{2}&=\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-3n}\\{\frac {\rho ^{5}}{\rho ^{2}+1}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-4n}\\\rho &=\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-5n}\\{\frac {\rho ^{5}}{\rho +2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-6n}\\{\frac {\rho ^{3}}{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-7n},\end{aligned}}}$$ بالمقارنة مع سلسلة النسبة الذهبية $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{2}&=\sum _{n=0}^{\infty }\varphi ^{-n}\\\varphi &=\sum _{n=0}^{\infty }\varphi ^{-2n}\\{\frac {\varphi ^{2}}{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\varphi ^{-3n}.\end{aligned}}}$$ بالإضافة إلى ذلك،${\displaystyle \sum _{n=0}^{13}\rho ^{-n}=4,}$بينما${\displaystyle \sum _{n=0}^{2}\varphi ^{-n}=2.}$

لكل عدد صحيح${\displaystyle n}$يمتلك المرء$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{n}&=\rho ^{n-2}+\rho ^{n-3}\\&=\rho ^{n-1}+\rho ^{n-5}\\&=\rho ^{n-3}+\rho ^{n-4}+\rho ^{n-5}\end{aligned}}}$$ ومن هذا يمكن إيجاد عدد لا نهائي من العلاقات الأخرى.

يمكن كتابة الحل الجبري لمعادلة من الدرجة الخامسة المختزلة بدلالة الجذور التربيعية والجذور التكعيبية وجذر برينغ . إذا${\displaystyle y=x^{5}+x}$ثم${\displaystyle x=BR(y).}$منذ${\displaystyle \rho ^{-5}+\rho ^{-1}=1,\;\rho =1/BR(1).}$

شكل كسري من نوع راوزي مرتبط بنسبة البلاستيك المكعبة. البلاطة المركزية وبلاطاتها الفرعية الثلاث لها مساحات بنسب ρ ⁵  : ρ ²  : ρ  : 1.

شكل كسري من نوع راوزي مرتبط بـ Ⴔ، مربع النسبة البلاستيكية؛ بمساحات كما هو موضح أعلاه.

نمط الكسور المستمرة لعدد قليل من القوى المنخفضة $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{-1}&=[0;1,3,12,1,1,3,2,3,2,...]\approx 0.7549\;({\tfrac {25}{33}})\\\rho ^{0}&=[1]\\\rho ^{1}&=[1;3,12,1,1,3,2,3,2,4,...]\approx 1.3247\;({\tfrac {45}{34}})\\\rho ^{2}&=[1;1,3,12,1,1,3,2,3,2,...]\approx 1.7549\;({\tfrac {58}{33}})\\\rho ^{3}&=[2;3,12,1,1,3,2,3,2,4,...]\approx 2.3247\;({\tfrac {79}{34}})\\\rho ^{4}&=[3;12,1,1,3,2,3,2,4,2,...]\approx 3.0796\;({\tfrac {40}{13}})\\\rho ^{5}&=[4;12,1,1,3,2,3,2,4,2,...]\approx 4.0796\;({\tfrac {53}{13}})\,...\\\rho ^{7}&=[7;6,3,1,1,4,1,1,2,1,1,...]\approx 7.1592\;({\tfrac {93}{13}})\,...\\\rho ^{9}&=[12;1,1,3,2,3,2,4,2,141,...]\approx 12.5635\;({\tfrac {88}{7}})\end{aligned}}}$$

تُعتبر متقاربات توسيع الكسر المستمر للنسبة البلاستيكية تقريبات عقلانية جيدة: $${\displaystyle {\tfrac {4}{3}},{\tfrac {49}{37}},{\tfrac {53}{40}},{\tfrac {102}{77}},{\tfrac {257}{194}},{\tfrac {359}{271}},{\tfrac {820}{619}},{\tfrac {2819}{2128}},{\tfrac {6458}{4875}},{\tfrac {28651}{21628}},{\tfrac {63760}{48131}},\ldots }$$

النسبة البلاستيكية هي أصغر عدد بيزو . ^{[ 4 ]} وبحسب تعريف هذه الأعداد، فإن القيمة المطلقة${\displaystyle 1/{\sqrt {\rho }}}$عدد المرافقات الجبرية أصغر من 1، وبالتالي فإن قوى ⁠${\displaystyle \rho }$توليد أعداد صحيحة تقريبًا . على سبيل المثال:${\displaystyle \rho ^{29}=3480.0002874...\approx 3480+1/3479.}$بعد 29 خطوة دوران، تصبح أطوار الزوج المترافق الحلزوني الداخلي قريبة في البداية من ⁠${\displaystyle \pm 45\pi /58}$- تكاد تتماشى مع المحور الوهمي.

متعددة الحدود الدنيا للنسبة البلاستيكية${\displaystyle m(x)=x^{3}-x-1}$لديه تمييز${\displaystyle \Delta =-23.}$حقل فئة هيلبرت للحقل التربيعي التخيلي${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$يمكن تشكيلها عن طريق ضم ⁠${\displaystyle \rho }$. مع الحجة${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {\Delta }})/2\,}$مولد لحلقة الأعداد الصحيحة من${\displaystyle K}$⁠ ، يمتلك المرء القيمة الخاصةلمعامل ديديكيند إيتا ^{[ 5 ]} $${\displaystyle \rho ={\frac {e^{\pi i/24}\,\eta (\tau )}{{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}}.}$$

معبر عنها بدلالة ثابت فئة ويبر-رامانوجان G _n ^{[ a ]} $${\displaystyle \rho ={\frac {{\mathfrak {f}}({\sqrt {\Delta }})}{\sqrt {2}}}={\frac {G_{23}}{\sqrt[{4}]{2}}}.}$$

خصائص ثابت كلاين j المرتبط ⁠${\displaystyle j(\tau )}$ينتج عنه تطابق شبه تام${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {-\Delta }}}\approx \left({\sqrt {2}}\,\rho \right)^{24}-24.}$الفرق أقل من 1/12659 .

القيمة المفردة للتكامل الإهليلجي ^{[ 6 ]} ${\displaystyle k_{r}=\lambda ^{*}(r)}$لـ​${\displaystyle r=23}$له صيغة مغلقة $${\displaystyle \lambda ^{*}(23)=\sin(\arcsin \left(({\sqrt[{4}]{2}}\,\rho )^{-12}\right)/2)}$$ (وهو أقل من ثلث انحراف مدار كوكب الزهرة).

في سعيه لتحقيق وضوح ملموس، تساءل الراهب البندكتي الهولندي والمهندس المعماري دوم هانز فان دير لان (1904-1991) عن أقل فرق بين حجمين، حتى نتمكن من إدراكهما بوضوح على أنهما مختلفان. وتساءل أيضًا عن أعلى نسبة بين حجمين، حتى نتمكن من ربطهما وإدراك تقاربهما. ووفقًا لملاحظاته، كانت الإجابات 1/4 و 7/1 ، ضمن نطاق حجمي واحد . ^{[ 7 ]} وباعتبار التناسب شرطًا أساسيًا، أنشأ سلسلة هندسية من ثمانية مقاييس ( أنواع من الأحجام ) بنسبة مشتركة 2/(3/4 + 1/7 ⁾ ≈ ρ. وبصيغة نسبية، يُبنى هذا النظام المعماري للقياس من مجموعة فرعية من الأرقام التي تحمل اسمه.

ترتبط أعداد فان دير لان ارتباطًا وثيقًا بمتتاليات بيرين وبادوفان . في علم التوافيق، يُحسب عدد تركيبات العدد n إلى الجزأين 2 و3 باستخدام عدد فان دير لان رقم n .

تُعرَّف متتالية فان دير لان بعلاقة التكرار من الدرجة الثالثة$${\displaystyle V_{n}=V_{n-2}+V_{n-3}{\text{ for }}n>2,}$$ مع القيم الأولية $${\displaystyle V_{1}=0,V_{0}=V_{2}=1.}$$

الحدود القليلة الأولى هي 1، 0، 1، 1، 1، 2، 2، 3، 4، 5، 7، 9، 12، 16، 21، 28، 37، 49، 65، 86،... (المتتالية A182097 في OEIS ) . نسبة الحد بين الحدود المتتالية هي النسبة البلاستيكية.${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }V_{n+1}/V_{n}=\rho .}$

جدول مقاييس فان دير لان الثمانية

ك	ن - م	⁠${\displaystyle V_{n}/V_{m}}$⁠	خطأ​${\displaystyle (\rho ^{k})}$⁠	فاصلة
0	3 − 3	1 /1	0	عنصر ثانوي
1	8 - 7	4 /3	1/116	عنصر رئيسي
2	10 − 8	7 /4	-1/205	قطعة صغيرة
3	10 − 7	7 /3	1/116	قطعة رئيسية
4	7 − 3	3 /1	-1/12	جزء صغير
5	8 - 3	4 /1	-1/12	الجزء الرئيسي
6	13 - 7	16 /3	-1/14	كل صغير
7	10 − 3	7 /1	-1/6	الكل الرئيسي

أول 14 مؤشرًا n التي تحقق ⁠${\displaystyle V_{n}}$الأعداد الأولية هي n = 5، 6، 7، 9، 10، 16، 21، 32، 39، 86، 130، 471، 668، 1264 (المتتالية A112882 في OEIS ) . ^{[ ب ]} العدد الأخير يتكون من 154 رقمًا عشريًا.

يمكن توسيع المتتالية لتشمل المؤشرات السالبة باستخدام $${\displaystyle V_{n}=V_{n+3}-V_{n+1}.}$$

يمكن كتابة قوى النسبة البلاستيكية باستخدام أرقام فان دير لان كمعاملات تربيعية.$${\displaystyle \rho ^{n}=\rho ^{2}V_{n-2}+\rho V_{n-1}+V_{n-3},}$$وهو ما تم إثباته بالاستقراء الرياضي على${\displaystyle n.}$تنطبق هذه العلاقة أيضاً على${\displaystyle n<0.}$يتوافق ترتيب المعاملات مع الصف السفلي من المصفوفة .${\displaystyle Q}$أدناه .

الدالة المولدة لمتتالية فان دير لان معطاة بواسطة ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}-x^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }V_{n}x^{n}{\text{ لـ }}x<{\tfrac {1}{\rho }}}$$

ترتبط المتتالية بمجاميع معاملات ذات الحدين بواسطة ^{[ 9 ]}$${\displaystyle V_{n}=\sum _{k=\lfloor (n+2)/3\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }{k \choose n-2k}}$$

المعادلة المميزة للتكرار هي${\displaystyle x^{3}-x-1=0.}$إذا كانت الحلول الثلاثة جذورًا حقيقية${\displaystyle \rho }$والزوج المترافق​${\displaystyle \beta }$و​​${\displaystyle \gamma }$، يتم إعطاء أرقام فان دير لان بواسطة صيغة بينيه ^{[ 9 ]}$${\displaystyle V_{n-1}=a\rho ^{n}+b\beta ^{n}+c\gamma ^{n},}$$ حقيقي​${\displaystyle a}$والمقترنات​​${\displaystyle b}$و​​${\displaystyle c}$جذور​${\displaystyle 23x^{3}+x-1=0.}$

منذ${\displaystyle \left\vert b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}\right\vert <\rho ^{-n/2}}$، الرقم${\displaystyle V_{n}}$هو أقرب عدد صحيح إلى${\displaystyle \,a\,\rho ^{n+1}}$، مع​${\displaystyle n>1}$والمعامل​${\displaystyle a=\rho ^{2}/(\rho ^{3}+\rho +2)=}$0.31062 88296 40467 07776 19027...

المعاملات${\displaystyle a=b=c=1}$ينتج عن ذلك صيغة بينيه للمتتالية ذات الصلة${\displaystyle P_{n}=2V_{n}+V_{n-3}.}$

الحدود القليلة الأولى هي 3، 0، 2، 3، 2، 5، 5، 7، 10، 12، 17، 22، 29، 39، 51، 68، 90، 119،... (التسلسل A001608 في OEIS ) .

تتمتع متتالية بيرين هذه بخاصية فيرما : إذا كان p عددًا أوليًا،${\displaystyle P_{p}\equiv P_{1}{\bmod {p}}.}$لا يصح العكس، ولكن العدد القليل من الأعداد الأولية الزائفة${\displaystyle \,n\mid P_{n}}$يجعل هذا التسلسل مميزًا. ^{[ 10 ]} الأعداد المركبة السبعة الوحيدة الأقل من ^10⁸ التي تجتاز الاختبار هي: n = 521² ^، 904631، 16532714، 24658561، 27422714، 27664033، 46672291. ^{[ 11 ]}

يتم الحصول على أعداد فان دير لان كقوى صحيحة n > 2 لمصفوفة ذات قيمة ذاتية حقيقية${\displaystyle \rho }$[ ^{8 ]​}$${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}$$

$$//$$

أثر ⁠​​${\displaystyle Q^{n}}$يعطي أرقام بيرين.

أو بدلاً من ذلك ،${\displaystyle Q}$يمكن تفسيرها على أنها مصفوفة وقوع لنظام ليندنماير D0L على الأبجدية${\displaystyle \{a,b,c\}}$مع قاعدة الاستبدال المقابلة $${\displaystyle {\begin{cases}a\;\mapsto \;b\\b\;\mapsto \;ac\\c\;\mapsto \;a\end{cases}}}$$ والمبادر​${\displaystyle w_{0}=c}$سلسلة الكلمات​${\displaystyle w_{n}}$تتميز السلاسل الناتجة عن تكرار عملية الاستبدال بخاصية أن عدد الأحرف c و b و a يساوي أعداد فان دير لان المتتالية. أما أطوالها فهي${\displaystyle l(w_{n})=V_{n+2}.}$

يرتبط بعملية إعادة كتابة السلسلة هذه مجموعة تتكون من ثلاث بلاطات متداخلة متشابهة ذاتيًا تسمى كسورية راوزي ، والتي تصور المعلومات التوافقية الموجودة في تسلسل حروف متعدد الأجيال. ^{[ 12 ]}

دُرست النسبة ρ لأول مرة على يد أكسل ثيو عام 1912، ثم على يد جي إتش هاردي عام 1919. ^{[ 24 ]} اكتشف الطالب الفرنسي جيرار كوردونييه النسبة بنفسه عام 1924. وفي مراسلاته معهانز فان دير لان بعد بضع سنوات، أطلق عليها اسم العدد الإشعاعي ( بالفرنسية : le nombre radiant) . أشار فان دير لان إليها في البداية باسم النسبة الأساسية ( بالهولندية : de grondverhouding) ، مستخدمًا العدد البلاستيكي ( بالهولندية : het plastische getal) منذ خمسينيات القرن العشرين فصاعدًا. [ ^{25 ] في} عام 1944، أثبت كارل سيجل أن ρ هي أصغر عدد ممكن من أعداد بيزو -فيجاياراغافان ، واقترح تسميتها تكريمًا لثيو.

Unlike the names of the golden and silver ratios, the word plastic was not intended by van der Laan to refer to a specific substance, but rather in its adjectival sense, meaning something that can be given a three-dimensional shape.^[26] This, according to Richard Padovan, is because the characteristic ratios of the number, ⁠3/4⁠ and ⁠1/7⁠, relate to the limits of human perception in relating one physical size to another. Van der Laan designed the 1967 St. Benedictusberg Abbey church to these plastic number proportions.^[27]

The plastic number is also sometimes called the silver number, a name given to it by Midhat J. Gazalé ^[28] and subsequently used by Martin Gardner,^[29] but that name is more commonly used for the silver ratio1 + √2, one of the ratios from the family of metallic means first described by Vera W. de Spinadel. Gardner suggested referring to ρ² as "high phi", and Donald Knuth created a special typographic mark for this name, a variant of the Greek letter phi ("φ") with its central circle raised, resembling the Georgian letter pari ("Ⴔ").

Solutions of equations similar to ${\displaystyle x^{3}=x+1}$:

• Golden ratio – the positive solution of the equation ${\displaystyle x^{2}=x+1}$
• Supergolden ratio – the real solution of the equation ${\displaystyle x^{3}=x^{2}+1}$

• مستطيل بلاستيكي وتسلسل بادوفان في تارتابلاغو من تصميم جورجيو بيتروكولا.
• غرفة الدراسة الرقمية لـ Dom Hans van der Laan في أرشيف Van der Laan.
• هاريس، إدموند (15 مارس 2019)، "نسبة البلاستيك" (فيديو) ، يوتيوب ، برادي هاران ، مؤرشف من الأصل في 21 ديسمبر 2021 ، تم استرجاعه في 15 مارس 2019.