نظرية الضغط

وفقًا للفرضيات المذكورة أعلاه، لدينا، مع أخذ الحد الأدنى والحد الأعلى: $${\displaystyle L=\lim _{x\to a}g(x)\leq \liminf _{x\to a}f(x)\leq \limsup _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}h(x)=L,}$$ إذن، كل أوجه عدم المساواة هي في الواقع أوجه مساواة، وتترتب على ذلك مباشرة الفرضية.

يمكن إثبات ذلك مباشرةً باستخدام تعريف النهاية ( ε , δ ) ، وذلك بإثبات أنه لكل عدد حقيقي ε > 0 يوجد عدد حقيقي δ > 0 بحيث يكون لكل x حيث${\displaystyle |xa|<\delta ,}$لدينا${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon .}$رمزياً،

$${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0:\forall x,(|xa|<\delta \ \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

مثل

$${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=L}$$

هذا يعني أن

$${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \ \delta _{1}>0:\forall x\ (|xa|<\delta _{1}\ \Rightarrow \ |g(x)-L|<\varepsilon ).}$$

1

و $${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=L}$$

هذا يعني أن

$${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \ \delta _{2}>0:\forall x\ (|xa|<\delta _{2}\ \Rightarrow \ |h(x)-L|<\varepsilon ),}$$

2

ثم لدينا

$${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$$$${\displaystyle g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L}$$

بإمكاننا الاختيار${\displaystyle \delta$ :=\min \left\{\delta _{1},\delta _{2}\right\}} . ثم، إذا${\displaystyle |xa|<\delta }$بدمج ( 1 ) و( 2 )، نحصل على

$${\displaystyle -\varepsilon <g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L\ <\varepsilon ,}$$$${\displaystyle -\varepsilon <f(x)-L<\varepsilon ,}$$

وبذلك يكتمل البرهان.

البرهان على المتتاليات مشابه جدًا، باستخدام${\displaystyle \varepsilon }$- تعريف نهاية المتتالية .

الحد

$${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$$

لا يمكن تحديد ذلك من خلال قانون الحد

$${\displaystyle \lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x),}$$

لأن

$${\displaystyle \lim _{x\to 0}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$$

غير موجود.

لكن، بحسب تعريف دالة الجيب ،

$${\displaystyle -1\leq \sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\leq 1.}$$

ويترتب على ذلك أن

$${\displaystyle -x^{2}\leq x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\leq x^{2}}$$

منذ${\displaystyle \lim _{x\to 0}-x^{2}=\lim _{x\to 0}x^{2}=0}$، وفقًا لنظرية الضغط،${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$يجب أن يكون أيضًا 0.

لعلّ أشهر الأمثلة على إيجاد النهاية عن طريق الضغط هي براهين المتساويات. $${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,\\[10pt]&\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0.\end{aligned}}}$$

وتنتج النهاية الأولى عن طريق نظرية الضغط من حقيقة أن ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \cos x\leq {\frac {\sin x}{x}}\leq 1}$$

بالنسبة لقيم x القريبة من الصفر. ويمكن إثبات صحة ذلك بالنسبة لقيم x الموجبة من خلال استدلال هندسي بسيط (انظر الرسم) يمكن تعميمه على قيم x السالبة أيضًا. أما النهاية الثانية فتُستنتج من نظرية الضغط وحقيقة أن

$${\displaystyle 0\leq {\frac {1-\cos x}{x}}\leq x}$$ بالنسبة لقيم x القريبة من الصفر. يمكن استنتاج ذلك باستبدال sin x في الحقيقة السابقة بـ${\textstyle {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}$وتربيع المتباينة الناتجة.

تُستخدم هاتان النهايتان في إثبات أن مشتقة دالة الجيب هي دالة جيب التمام. وتُعتمد هذه الحقيقة في براهين أخرى لمشتقات الدوال المثلثية .

من الممكن إثبات ذلك $${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }$$ بالضغط، كما يلي.

في الرسم التوضيحي على اليمين، مساحة القطاع الأصغر من القطاعين المظللين في الدائرة هي

$${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}},}$$

بما أن نصف القطر هو sec θ وطول القوس على دائرة الوحدة هو Δ θ . وبالمثل، فإن مساحة القطاع الأكبر من القطاعين المظللين هي 

$${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}.}$$

ما يقع بينهما هو المثلث الذي قاعدته هي القطعة الرأسية التي طرفاها النقطتان. طول قاعدة المثلث هو tan( θ + Δθ ) − tanθ ، وارتفاعه يساوي  1. وبالتالي، فإن مساحة المثلث هي

$${\displaystyle {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{2}}.}$$

من أوجه عدم المساواة

$${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}}\leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{2}}\leq {\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}}$$

نستنتج أن

$${\displaystyle \sec ^{2}\theta \leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{\Delta \theta }}\leq \sec ^{2}(\theta +\Delta \theta ),}$$

بشرط أن يكون Δθ > 0 ، وتنعكس المتباينات إذا كان Δθ < 0. بما أن التعبيرين الأول والثالث يقتربان من sec²θ ^عندما Δθ → 0 ، فإن التعبير الأوسط يقترب من  ${\displaystyle {\tfrac {d}{d\theta }}\tan \theta ,}$والنتيجة المرجوة تتحقق.

لا يزال بالإمكان استخدام نظرية الحصر في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات، ولكن يجب أن تكون الدوال الدنيا (والعليا) أسفل (وأعلى) الدالة المستهدفة، ليس فقط على طول مسار محدد، بل في جميع أنحاء جوار النقطة محل الاهتمام، ولا تُجدي هذه النظرية إلا إذا كانت للدالة نهاية فعلية عند تلك النقطة. لذا، يمكن استخدامها لإثبات أن للدالة نهاية عند نقطة معينة، ولكن لا يمكن استخدامها مطلقًا لإثبات عدم وجود نهاية لها عند تلك النقطة. ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}$$

لا يمكن إيجادها بأخذ أي عدد من النهايات على طول المسارات التي تمر عبر النقطة، ولكن بما أن

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&0&\leq &\displaystyle {\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &1\\[4pt]-|y|\leq y\leq |y|\implies &-|y|&\leq &\displaystyle {\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &|y|\\[4pt]{{\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}-|y|=0} \atop {\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}\ \ \ |y|=0}}\implies &0&\leq &\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &0\end{array}}}$$

وبالتالي، وفقًا لنظرية الضغط،

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}=0.}$$