النظرية الفئوية

في المنطق الرياضي ، تُعتبر النظرية تصنيفية إذا كان لها نموذج واحد فقط ( حتى التماثل ). ^{[ أ ]} يمكن اعتبار هذه النظرية بمثابة تعريف لنموذجها، وتوصيف فريد لبنية النموذج.

في منطق الرتبة الأولى ، لا يمكن أن تكون النظريات فئوية إلا إذا كان نموذجها محدودًا ، وذلك بفضل نظرية لوفنهايم-سكوليم التصاعدية . أما منطق الرتب العليا فيحتوي على نظريات فئوية ذات نموذج غير محدود . على سبيل المثال، تُعدّ بديهيات بيانو من الرتبة الثانية فئوية، إذ لها نموذج فريد مجاله مجموعة الأعداد الطبيعية.${\displaystyle \mathbb {N} .}$

في نظرية النماذج ، يُحسَّن مفهوم النظرية الفئوية فيما يتعلق بالعددية . تُوصف النظرية بأنها κ- فئوية ( أو فئوية في κ ) إذا كان لها نموذج واحد فقط بعددية κ حتى التشاكل. تنص نظرية مورلي للفئوية على أنه إذا كانت نظرية من الدرجة الأولى في لغة قابلة للعد فئوية في عددية غير قابلة للعد ، فإنها تكون فئوية في جميع الأعدادية غير القابلة للعد.

قام ساهارون شيلاه ( 1974 ) بتوسيع نظرية مورلي لتشمل اللغات غير القابلة للعد: إذا كانت اللغة تحتوي على عدد أصلي κ وكانت النظرية فئوية في عدد أصلي غير قابل للعد أكبر من أو يساوي κ، فإنها تكون فئوية في جميع الأعداد الأصلية الأكبر من κ .  

عرّف أوزوالد فيبلين في عام 1904 النظرية بأنها تصنيفية إذا كانت جميع نماذجها متماثلة.

بحسب نظرية لوفنهايم-سكوليم التصاعدية ، إذا كانت نظرية من الدرجة الأولى تمتلك نموذجًا ذا عدد لا نهائي من العناصر${\displaystyle \kappa }$إذن، يكون له نموذج من أي عدد أصلي${\displaystyle \kappa '>\kappa }$إذن، لا يمكن أن يكون تصنيفيًا. يقودنا هذا مباشرةً إلى المفهوم الأكثر دقةً للتصنيفية من الرتبة κ ، والذي يسأل: ما هي الأعداد الأصلية κ التي يوجد لها نموذج واحد فقط ذو عدد أصلي κ للنظرية المعطاة T حتى التشاكل؟ بلغة الطيف ، ليكن${\displaystyle I(T,\kappa )}$ليكن عدد النماذج غير المتماثلة لـ T ذات العددية κ ، فإن T تكون κ- فئوية إذا وفقط إذا${\displaystyle I(T,\kappa )=1}$.

بحسب نظرية الاكتمال، إذا لم تكن T كاملة، فلا يمكن أن تكون فئوية من النوع κ لأي قيمة لـ κ . وبالتالي، فإن الفئوية لا تكون ذات أهمية إلا في حالة كون T متسقة وكاملة.

في الحالة الخاصة لنظرية متسقة وكاملة T على لغة قابلة للعد ، فإن نظريتي لوفنهايم-سكوليم الهابطة والصاعدة، بالإضافة إلى نظرية الاكتمال، تستلزم ما يلي:${\displaystyle I(T,\kappa )\geq 1}$لجميع قيم κ اللانهائية .

في عام 1954 لاحظ جيرزي لوس أنه إذا كانت T نظرية متسقة وكاملة على لغة قابلة للعد ، مع نموذج واحد لانهائي على الأقل، فإنه لم يستطع إيجاد سوى ثلاث طرق لكي تكون T κ- فئوية عند κ ما : 

• T هي فئة غير قابلة للعد ، أي أن T هي فئة κ إذا وفقط إذا كان κ عددًا أصليًا غير قابل للعد .
• T هي فئة قابلة للعد ، أي أن T هي فئة κ إذا وفقط إذا كان κ عددًا أصليًا قابلًا للعد.
• T هي فئة فئوية تمامًا ، أي أن T هي فئة κ لجميع الأعداد الأصلية اللانهائية κ . 

أثارت هذه الملاحظة قدراً كبيراً من الأبحاث في ستينيات القرن العشرين. وتؤكد نظرية التصنيف لمايكل مورلي (1965) أن هذه هي الاحتمالات الوحيدة:

تم توسيع النظرية وتحسينها لاحقًا بواسطة ساهارون شيلاه في السبعينيات وما بعدها، مما أدى إلى نظرية الاستقرار وبرنامج شيلاه الأكثر عمومية لنظرية التصنيف .

لا توجد أمثلة طبيعية كثيرة لنظريات قاطعة في عدد أصلي غير قابل للعد. ومن الأمثلة المعروفة ما يلي:

• نظرية الهوية البحتة (بدون دوال أو ثوابت أو محمولات بخلاف "=" أو بديهيات).
• المثال الكلاسيكي هو نظرية الحقول المغلقة جبريًا ذات خاصية معينة . لا تعني خاصية التصنيف أن جميع الحقول المغلقة جبريًا ذات الخاصية 0، والتي تساوي الأعداد المركبة C، هي نفسها C ؛ بل تؤكد فقط أنها متماثلة كحقول مع C. ويترتب على ذلك أنه على الرغم من أن الإغلاقات p -adic الكاملة C_{_p} متماثلة كحقول مع C ، إلا أنها قد تمتلك (وهي في الواقع تمتلك) خصائص طوبولوجية وتحليلية مختلفة تمامًا. إن نظرية الحقول المغلقة جبريًا ذات خاصية معينة ليست تصنيفية في ω (العدد الأصلي اللانهائي القابل للعد)؛ فهناك نماذج ذات درجات تجاوز 0، 1، 2، ...، ω .
• الفضاءات المتجهة على حقل قابل للعد معين. وهذا يشمل الزمر الأبيلية ذات الأس الأولي المعطى (وهي في الأساس نفس الفضاءات المتجهة على حقل منتهٍ) والزمر الأبيلية القابلة للقسمة والخالية من الالتواء (وهي في الأساس نفس الفضاءات المتجهة على الأعداد النسبية ).
• نظرية مجموعة الأعداد الطبيعية ذات دالة الخلف.

توجد أيضًا أمثلة على نظريات تكون فئوية في ω ولكنها ليست فئوية في الأعداد الأصلية غير القابلة للعد. أبسط مثال على ذلك هو نظرية علاقة التكافؤ التي تحتوي على فئتين تكافؤيتين فقط ، وكلاهما لانهائي. مثال آخر هو نظرية الترتيبات الخطية الكثيفة التي لا تحتوي على نقاط نهاية؛ أثبت كانتور أن أي ترتيب خطي قابل للعد من هذا النوع متماثل مع الأعداد النسبية: انظر نظرية كانتور للتماثل .

يُصنِّف علماء الرياضيات العاملون في نظرية التصنيف نظريات الرتبة الأولى وفقًا لخطوط فاصلة . الخط الفاصل هو خاصية تتوافر في بعض نظريات الرتبة الأولى دون غيرها، بحيث تختلف السلوكيات البنيوية للنظريات التي تمتلك خصائص مختلفة للخط الفاصل. تُصمَّم الخطوط الفاصلة عادةً لتوضيح مدى تعقيد نماذج نظرية الرتبة الأولى الكاملة. غالبًا ما تُعرَّف خاصية الخط الفاصل بحيث تجعل النظرية التي تمتلكها نظريةً غير مستقرة، بينما تُعرَّف النظرية التي لا تمتلك أيًا من خصائص الخط الفاصل قيد الدراسة بأنها نظرية مستقرة .

للحصول على نظرية كاملة${\displaystyle T}$تشمل الخطوط الفاصلة الرئيسية المستخدمة في نظرية شيلا للفئات الاستقرار ، والاستقرار الفائق، وخاصية الترتيب البُعدي، وخاصية ترتيب الأنواع المحذوفة. ^{[ 1 ]}

تكون النظرية الكاملة مستقرة في عدد أصلي${\displaystyle \kappa }$إذا، على كل مجموعة من المعلمات ذات الحجم${\displaystyle \kappa }$، لديها على الأكثر${\displaystyle \kappa }$الأنواع الكاملة. يحد الاستقرار من عدد الامتدادات الممكنة للمعلومات الجزئية على مجموعة من المعلمات.

تُعتبر النظرية فائقة الاستقرار إذا كانت مستقرة في جميع الأعداد الأصلية الكبيرة بما فيه الكفاية؛ أو بعبارة أخرى، في حالة الأعداد القابلة للعد، تكون مستقرة في كل عدد أصلي غير قابل للعد. يُعدّ الاستقرار الفائق فرضية أساسية في نظرية بنية نماذج النظريات الكاملة.

خاصية الترتيب البُعدي ( DOP ) هي إحدى خصائص نظرية الاستقرار الفائق، والتي تسمح ببناء العديد من النماذج غير المتماثلة عن طريق تغيير الأبعاد المستقلة ضمن ترتيب ثنائي الأبعاد للنماذج. ويُعدّ وجود خاصية الترتيب البُعدي دليلاً على أن النظرية تتضمن طيفًا معقدًا من النماذج.

خاصية ترتيب الأنواع المحذوفة ( OTOP ) هي إحدى خصائص نظرية الاستقرار الفائق، والتي تسمح بترميز المعلومات الشبيهة بالترتيب من خلال التحكم في الأنواع المحذوفة في النماذج. ومثل خاصية ترتيب الأنواع المحذوفة (DOP)، يؤدي وجود خاصية OTOP إلى ظهور العديد من النماذج غير المتماثلة في الأعداد الكبيرة.

تُسمى نظرية الرتبة الأولى الكاملة قابلة للتصنيف إذا كانت فائقة الاستقرار، وليست من نوع DOP، وليست من نوع OTOP. يمكن لنظرية البنية الرئيسية لشيلاه أن تُفكك النماذج القابلة للتصنيف إلى أجزاء أبسط. في المقابل، تحتوي النظريات التي تتسم بعدم الاستقرار، أو عدم الاستقرار الفائق، أو DOP، أو OTOP على العديد من النماذج غير المتماثلة في أعداد كبيرة بما يكفي، وهي جميعها تقريبًا معقدة للغاية بحيث يصعب وصفها. ^{[ 1 ]}

ومن بين الخطوط الفاصلة الأخرى خاصية الشجرة ، وخاصية الاستقلال ، وخاصية الترتيب الصارم (SOP)، وما إلى ذلك.

كل نظرية تصنيفية كاملة . ^{[ 2 ]} ومع ذلك، فإن العكس ليس صحيحًا. ^{[ 3 ]}

أي نظرية T فئوية في عدد أصلي لانهائي κ تقترب جدًا من الاكتمال. بتعبير أدق، ينص اختبار Łoś–Vaught على أنه إذا لم يكن لنظرية قابلة للإرضاء نماذج منتهية وكانت فئوية في عدد أصلي لانهائي κ يساوي على الأقل عدد عناصر لغتها، فإن النظرية تكون كاملة. والسبب هو أن جميع النماذج اللانهائية مكافئة من الدرجة الأولى لنموذج ما ذي عدد أصلي κ وفقًا لنظرية Löwenheim–Skolem ، وبالتالي فهي جميعها متكافئة لأن النظرية فئوية في κ . لذلك، فإن النظرية كاملة لأن جميع النماذج متكافئة. والافتراض بأن النظرية لا تحتوي على نماذج منتهية ضروري. ^{[ 4 ]}

• طيف نظرية

• تشانغ، تشين تشونغ ؛ كيسلر، هـ. جيروم (1990) [1973]، نظرية النماذج ، دراسات في المنطق وأسس الرياضيات، إلسيفير، ISBN 978-0-444-88054-3
• كوركوران، جون (1980)، "التصنيف"، تاريخ وفلسفة المنطق ، 1 ( 1-2 ): 187-207 ، doi : 10.1080/01445348008837010
• هودجز، ويلفريد، "نظرية النموذج من الدرجة الأولى"، موسوعة ستانفورد للفلسفة (طبعة صيف 2005)، إدوارد ن. زالتا (محرر).
• ماركر، ديفيد (2002)، نظرية النماذج: مقدمة ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  217، نيويورك، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 0-387-98760-6، Zbl 1003.03034 
• مونك، ج. دونالد (1976)، المنطق الرياضي ، سبرينغر-فيرلاغ، doi : 10.1007/978-1-4684-9452-5 ، ISBN 978-1-4684-9454-9
• مورلي، مايكل (1965)، "التصنيف في القوة"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 114 (2)، الجمعية الرياضية الأمريكية ، المجلد 114، العدد 2: 514-538 ، doi : 10.2307/1994188 ، ISSN 0002-9947 ، JSTOR 1994188  
• باليوتين، إي. أ. (2001) [1994]، "التصنيف في العددية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
• شيلا، ساهارون (1974)، "تصنيف النظريات غير القابلة للعد"، وقائع ندوة تارسكي (وقائع ندوات الرياضيات البحتة، المجلد 25، جامعة كاليفورنيا، بيركلي، كاليفورنيا، 1971) ، وقائع ندوات في الرياضيات البحتة، المجلد  25، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية، الصفحات 187-203 ، doi : 10.1090/pspum/025/0373874 ، ISBN  9780821814253، MR 0373874 
• شيلاه، ساهارون (1990) [1978]، نظرية التصنيف وعدد النماذج غير المتماثلة ، دراسات في المنطق وأسس الرياضيات (  الطبعة الثانية)، إلسيفير، ISBN 978-0-444-70260-9(IX, 1.19, pg.49)
• فيبلين، أوزوالد (1904)، "نظام بديهيات للهندسة"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 5 (3)، الجمعية الرياضية الأمريكية، المجلد 5، العدد 3: 343-384 ، doi : 10.2307/1986462 ، ISSN 0002-9947 ، JSTOR 1986462