العدد الفائق الحقيقي

تتمثل إحدى الاستخدامات الرئيسية لنظام الأعداد الفائقة الحقيقية في إعطاء معنى دقيق للمؤثر التفاضلي${\displaystyle d}$كما استخدمها لايبنتز لتعريف المشتقة والتكامل.

لأي دالة ذات قيم حقيقية${\displaystyle f,}$التفاضلي${\displaystyle df}$تُعرَّف بأنها خريطة تُرسل كل زوج مرتب${\displaystyle (x,dx)}$(أين${\displaystyle x}$حقيقي و${\displaystyle dx}$(متناهي الصغر غير صفري) إلى متناهي الصغر

${\displaystyle df(x,dx):=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)\ dx.}$

لاحظ أن التدوين نفسه "${\displaystyle dx}$إن استخدام " للدلالة على أي كمية متناهية الصغر يتوافق مع التعريف المذكور أعلاه للمؤثر${\displaystyle d,}$لأنه إذا فسر المرء${\displaystyle x}$(كما هو شائع) أن تكون الوظيفة${\displaystyle f(x)=x,}$ثم لكل${\displaystyle (x,dx)}$التفاضلي${\displaystyle d(x)}$سوف يساوي متناهي الصغر${\displaystyle dx}$.

دالة ذات قيم حقيقية${\displaystyle f}$يقال إنها قابلة للتفاضل عند نقطة${\displaystyle x}$إذا كان ناتج القسمة

${\displaystyle {\frac {df(x,dx)}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)}$

ينطبق الأمر نفسه على جميع الكميات المتناهية الصغر غير الصفرية${\displaystyle dx.}$إذا كان الأمر كذلك، فإن هذا الناتج يُسمى مشتقة${\displaystyle f}$في${\displaystyle x}$.

على سبيل المثال، لإيجاد مشتقة الدالة${\displaystyle f(x)=x^{2}}$، يترك${\displaystyle dx}$ليكن كمية متناهية الصغر غير صفرية. إذن،

${\displaystyle {\frac {df(x,dx)}{dx}}}$	${\displaystyle =\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)}$
	${\displaystyle =\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)}$
	${\displaystyle =\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)}$
	${\displaystyle =\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)}$
	${\displaystyle =\operatorname {st} \left(2x+dx\right)}$
	${\displaystyle =2x}$

يُعدّ استخدام الجزء القياسي في تعريف المشتقة بديلاً دقيقاً للممارسة التقليدية المتمثلة في إهمال مربع الكمية المتناهية الصغر ^{[ 6 ]} . والأعداد الثنائية هي نظام عددي قائم على هذه الفكرة. بعد السطر الثالث من التفاضل أعلاه، كانت الطريقة المعتادة من نيوتن وحتى القرن التاسع عشر هي ببساطة تجاهل${\displaystyle dx^{2}}$مصطلح. في نظام الواقعية المفرطة، ${\displaystyle dx^{2}\neq 0}$، منذ${\displaystyle dx}$وهي غير صفرية، ويمكن تطبيق مبدأ النقل على العبارة القائلة بأن مربع أي عدد غير صفري هو عدد غير صفري. ومع ذلك، فإن الكمية${\displaystyle dx^{2}}$ صغيرة للغاية مقارنة بـ${\displaystyle dx}$أي أن النظام الواقعي المفرط يحتوي على تسلسل هرمي من الكميات المتناهية الصغر.

يُتيح استخدام الأعداد الفائقة الحقيقية في التفاضل منهجًا أكثر مرونةً من الناحية الجبرية للتعامل مع المشتقات. في التفاضل القياسي، لا يُمكن التعامل مع التفاضلات الجزئية والتفاضلات من الرتب العليا بشكل مستقل باستخدام التقنيات الجبرية. مع ذلك، باستخدام الأعداد الفائقة الحقيقية، يُمكن إنشاء نظام للقيام بذلك، وإن كان ينتج عنه تدوين مختلف قليلاً. ^{[ 7 ]}

ومن الاستخدامات الرئيسية الأخرى لنظام الأعداد الفائقة الحقيقية إعطاء معنى دقيق لعلامة التكامل ∫ التي استخدمها لايبنتز لتعريف التكامل المحدد.

لأي دالة متناهية الصغر${\displaystyle \varepsilon (x)}$يمكن تعريف التكامل${\displaystyle \textstyle \int \varepsilon }$كخريطة ترسل أي ثلاثية مرتبة${\displaystyle (a,b,dx)}$(أين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$حقيقية، و${\displaystyle dx}$هو متناهي الصغر وله نفس الإشارة${\displaystyle b-a}$) إلى القيمة

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\varepsilon ,dx):=\operatorname {st} \left(\sum _{n=0}^{N}\varepsilon (a+n\ dx)\right)}$،

أين${\displaystyle N}$أي عدد صحيح فائق يحقق الشرط التالي:

${\displaystyle \operatorname {st} (N\ dx)=b-a}$.

دالة ذات قيم حقيقية${\displaystyle f}$ويُقال حينها إنها قابلة للتكامل على فترة مغلقة${\displaystyle \ [a,b]\ }$إذا كان لأي عدد متناهي الصغر غير صفري${\displaystyle \ dx,\ }$التكامل

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f\ dx,dx)}$

مستقل عن اختيار${\displaystyle \ dx.}$إذا كان الأمر كذلك، يُطلق على هذا التكامل اسم التكامل المحدد (أو الدالة الأصلية) لـ${\displaystyle f}$على${\displaystyle \ [a,b].}$

يُظهر هذا أنه باستخدام الأعداد الحقيقية الفائقة، يمكن تفسير ترميز لايبنتز للتكامل المحدد على أنه تعبير جبري ذو معنى (تمامًا كما يمكن تفسير المشتقة على أنها خارج قسمة ذو معنى). ^{[ 8 ]}

عندما قدّم نيوتن (وبشكل أكثر وضوحًا) لايبنتز التفاضلات، استخدموا الكميات المتناهية في الصغر، والتي ظلّ علماء الرياضيات اللاحقون، مثل أويلر وكوشي ، يعتبرونها مفيدة . مع ذلك، نُظر إلى هذه المفاهيم منذ البداية بعين الشك، لا سيما من قِبل جورج بيركلي . تمحور نقد بيركلي حول تحوّل مُتصوّر في فرضية تعريف المشتقة بدلالة الكميات المتناهية في الصغر (أو التدفقات)، حيث يُفترض أن dx لا يساوي الصفر في بداية الحساب، وأن يتلاشى عند نهايته (انظر "أشباح الكميات الراحلة " لمزيد من التفاصيل). عندما ترسّخ علم التفاضل والتكامل في القرن التاسع عشر من خلال تطوير تعريف (ε، δ) للنهاية على يد بولزانو وكوشي وويرستراس وغيرهم، تمّ التخلي عن الكميات المتناهية في الصغر إلى حدّ كبير، على الرغم من استمرار البحث في مجالات غير أرخميدس (إيرليخ 2006).

مع ذلك، في ستينيات القرن العشرين، بيّن أبراهام روبنسون كيف يمكن تعريف الأعداد الكبيرة جدًا والمتناهية الصغر تعريفًا دقيقًا واستخدامها لتطوير مجال التحليل غير القياسي . ^{[ 11 ]} طوّر روبنسون نظريته بطريقة غير بنائية ، مستخدمًا نظرية النماذج ؛ إلا أنه من الممكن المضي قدمًا باستخدام الجبر والطوبولوجيا فقط ، وإثبات مبدأ النقل كنتيجة للتعريفات. بعبارة أخرى، لا ترتبط الأعداد فائقة الواقعية في حد ذاتها ، بصرف النظر عن استخدامها في التحليل غير القياسي، بنظرية النماذج أو منطق الرتبة الأولى بالضرورة، على الرغم من اكتشافها بتطبيق تقنيات نظرية النماذج من المنطق. في الواقع، قدّم هيويت (1948) الحقول فائقة الواقعية في الأصل بتقنيات جبرية بحتة، باستخدام بناء القوة الفائقة.

نبدأ بلغة تحتوي على رمز ثابت${\displaystyle c_{r}}$لكل عدد حقيقي قياسي${\displaystyle r}$، رمز دالة${\displaystyle f_{F}}$لكل${\displaystyle n}$دالة -ary${\displaystyle F}$على الأعداد الحقيقية القياسية، ورمز محمول${\displaystyle P_{R}}$لكل العلاقات${\displaystyle R}$على الأعداد الحقيقية. قم ببناء نموذج يسمى${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$، الذي كونُه${\displaystyle \mathbb {R} }$ونفسر كل رمز بالطريقة الواضحة (أي${\displaystyle c_{r}^{\mathfrak {R}}=r}$،${\displaystyle f_{F}^{\mathfrak {R}}=F}$،${\displaystyle P_{R}^{\mathfrak {R}}=R}$). ^{[ 12 ]}

ضع في اعتبارك النظرية${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}}$أي مجموعة جميع الجمل الصحيحة في${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$هذه النظرية كاملة، أي أنها تنطبق على كل صيغة .${\displaystyle \phi }$، أيضاً${\displaystyle \phi }$أو${\displaystyle \neg \phi }$هو عنصر من${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}}$. إضافي،${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}}$تحتوي هذه النظرية على كل حقيقة يمكن التعبير عنها حول أي دالة أو علاقة على الأعداد الحقيقية في جملة من الدرجة الأولى . وسنقوم الآن بتوسيع هذه النظرية بمجموعة من الصيغ.${\displaystyle \Sigma =\{c_{r}P_{<}v_{1}|r\in \mathbb {R} \}}$حيث تشير كل صيغة على حدة إلى ذلك بشكل أساسي${\displaystyle v_{1}}$أكبر من عدد حقيقي قياسي${\displaystyle r}$الآن، مجموعة الجمل${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}\cup \Sigma }$قابلة للإشباع بشكل محدود - على وجه الخصوص، يمكن تحقيق هذا الإشباع لأي جزء محدود من تلك المجموعة ببساطة عن طريق تعيين${\displaystyle v_{1}}$قيمة عالية بما فيه الكفاية. وبالتالي، وفقًا لنظرية التراص ، يمكن تحقيقها في بنية معينة.${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$.

لاحظ أولاً أنه بسبب${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}}$مكتملة،${\displaystyle {\mathfrak {A}}\equiv {\mathfrak {R}}}$(${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$وهو مكافئ بشكل أساسي لـ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$بما أن كل جملة أو نفيها عنصر من عناصر${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}}$كل جملة صحيحة في${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$يصمد${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$والعكس صحيح. ومع ذلك،${\displaystyle {\mathfrak {A}}\not \cong {\mathfrak {R}}}$لأنه، بحكم التصميم، يوجد عنصر من${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ذلك أكبر من كل عنصر من عناصر${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$أي أن هذا العدد أكبر من أي عدد حقيقي قياسي، وبالتالي فهو لانهائي. ومع ذلك، فإن الدالة${\displaystyle h(r)=c_{r}^{\mathfrak {A}}}$وهذا يأخذ كل عدد حقيقي قياسي إلى تفسير رمزه الثابت المقابل في${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$هو تضمين متماثل.

لذا، في خطوتنا الأخيرة، نستفيد من حقيقة وجود تضمين متماثل لـ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$داخل${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$وسنستبدل ببساطة، لكل عدد حقيقي قياسي${\displaystyle r}$تفسير${\displaystyle c_{r}}$في${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$بواسطة${\displaystyle r}$وذلك بتحديد تفسيرات رموز الوظائف والمسندات المختلفة وفقًا لذلك. وهذا يعطينا بنيةً${\displaystyle *{\mathfrak {R}}}$، وهو متماثل مع${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$والتي تمثل الأعداد الحقيقية الفائقة.

يستنتج مبدأ النقل بشكل مباشر من هذا التعريف - فهو ببساطة يستغل حقيقة أن الهياكل${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$و${\displaystyle *{\mathfrak {R}}}$متكافئتان من حيث المبدأ.

أثناء بناء${\displaystyle *{\mathfrak {R}}}$لا يذكر صراحةً الكميات المتناهية الصغر، ولكن من الممكن، في${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$للتعبير عن حقيقة أن لكل عدد غير صفري معكوس ضربي عن طريق جملة من الدرجة الأولى، وهي:

${\displaystyle \forall x\exists y\{x\neq c_{0}\rightarrow f_{\times }xy=c_{1}\}}$.

وبناءً على ذلك، يجب أن تكون هذه الجملة صحيحة في${\displaystyle *{\mathfrak {R}}}$بحسب التصميم. لذا فإن العناصر اللانهائية لـ${\displaystyle *{\mathfrak {R}}}$يجب أن يكون لها معكوسات ضربية. ويجب أن تكون هذه المعكوسات الضربية أصغر من أي عدد حقيقي قياسي، وكذلك الأعداد المتناهية الصغر التي نبحث عنها. ويرجع ذلك أيضًا إلى الخاصية التي

${\displaystyle 1<a<b\;\;\rightarrow \;\;{\frac {1}{b}}<{\frac {1}{a}}<1}$

يمكن التعبير عنها كجملة من الدرجة الأولى في لغتنا.

سنقوم بإنشاء حقل فائق الواقعية عبر متواليات من الأعداد الحقيقية. ^{[ 13 ]} في الواقع، يمكننا جمع وضرب المتواليات عنصرًا بعنصر؛ على سبيل المثال:

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )+(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )=(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots )}$

وبالمثل بالنسبة للضرب. هذا يحوّل مجموعة هذه المتتاليات إلى حلقة تبديلية ، وهي في الواقع جبر حقيقي A. لدينا تضمين طبيعي لـ${\displaystyle \mathbb {R} }$في المجموعة A ، يتم تعريف العدد الحقيقي r بالتسلسل ( r₁ , r₂ , r₃ , ...)، ويحافظ هذا التعريف على العمليات الجبرية المقابلة للأعداد الحقيقية. الدافع البديهي، على سبيل المثال، هو تمثيل عدد متناهي الصغر باستخدام تسلسل يقترب من الصفر. يمثل معكوس هذا التسلسل عددًا لانهائيًا. كما سنرى لاحقًا، تنشأ الصعوبات بسبب الحاجة إلى تحديد قواعد لمقارنة هذه التسلسلات بطريقة، وإن كانت اعتباطية إلى حد ما، إلا أنها يجب أن تكون متسقة ذاتيًا ومحددة جيدًا. على سبيل المثال، قد يكون لدينا تسلسلان يختلفان في أول n عنصر، لكنهما متساويان بعد ذلك؛ من الواضح أن مثل هذه التسلسلات يجب اعتبارها ممثلة لنفس العدد الفائق الحقيقي. وبالمثل، تتذبذب معظم التسلسلات عشوائيًا إلى الأبد، ويجب أن نجد طريقة ما لأخذ مثل هذا التسلسل وتفسيره، على سبيل المثال،${\displaystyle 7+\epsilon }$، أين${\displaystyle \epsilon }$هو عدد متناهي الصغر.

لذا، تُعدّ مقارنة المتتاليات مسألة دقيقة. يمكننا، على سبيل المثال، محاولة تعريف علاقة بين المتتاليات بطريقة تحليلية تعتمد على مكوناتها:

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )\leq (b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )\iff (a_{0}\leq b_{0})\wedge (a_{1}\leq b_{1})\wedge (a_{2}\leq b_{2})\ldots }$

لكننا نواجه هنا مشكلة، إذ قد تكون بعض عناصر المتتالية الأولى أكبر من العناصر المقابلة لها في المتتالية الثانية، وقد تكون عناصر أخرى أصغر. وعليه، فإن العلاقة المُعرَّفة بهذه الطريقة هي ترتيب جزئي فقط . ولتجاوز هذه المشكلة، علينا تحديد المواضع المهمة. وبما أن عدد المؤشرات لا نهائي، فلا نريد أن تؤثر مجموعات المؤشرات المحدودة. ويُمكن اختيار مجموعات المؤشرات المهمة بشكل متسق من خلال أي مرشح فائق حر U على الأعداد الطبيعية ؛ ويمكن وصف هذه المرشحات بأنها مرشحات فائقة لا تحتوي على أي مجموعات محدودة. (الخبر السار هو أن مبرهنة زورن تضمن وجود العديد من هذه المجموعات U ؛ والخبر السيئ هو أنه لا يمكن إنشاؤها بشكل صريح.) نحن نفكر في U على أنها تحدد مجموعات المؤشرات التي "تهم": نكتب ( _a0 , a1 , _a2 , ... ₎ ≤ ( b0, b1 _, b2 _, ... ) إذا وفقط إذا _كانت مجموعة الأعداد الطبيعية { n : an _≤ bn _} موجودة في U. 

هذا ترتيب جزئي كلي ، ويتحول إلى ترتيب كلي إذا اتفقنا على عدم التمييز بين متتاليتين a و b إذا كان a ≤ b و b ≤ a . وبهذا التحديد، يصبح الحقل المرتب${\displaystyle *\mathbb {R} }$يتم بناء مجموعة من الأعداد الفائقة الحقيقية. من وجهة نظر جبرية، تسمح لنا U بتعريف مثالي أعظمي مناظر I في الحلقة التبديلية A (أي مجموعة المتتاليات التي تتلاشى في عنصر ما من U )، ثم تعريف${\displaystyle *\mathbb {R} }$كـ A / I ؛ كحاصل قسمة حلقة تبديلية على مثالي أقصى،${\displaystyle *\mathbb {R} }$هو حقل. يُرمز إليه أيضًا بـ A / U ، مباشرةً بدلالة المرشح الفائق الحر U ؛ وهما متكافئان. تنبع عظمة I من إمكانية، بالنظر إلى متتالية a ، إنشاء متتالية b تعكس العناصر غير الصفرية لـ a دون تغيير عناصرها الصفرية. إذا لم تكن المجموعة التي تنعدم عندها a تنتمي إلى U ، فإن حاصل ضرب ab يُعرَّف بالعدد 1، وأي مثالي يحتوي على 1 يجب أن يكون A. في الحقل الناتج، يكون كل من a و b معكوسين.

المجال A / U هو قوة فائقة من${\displaystyle \mathbb {R} }$بما أن هذا الحقل يحتوي${\displaystyle \mathbb {R} }$لها عدد عناصر لا يقل عن عدد عناصر المتصل . بما أن A لها عدد عناصر

${\displaystyle (2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}^{2}}=2^{\aleph _{0}},}$

كما أنها ليست أكبر من${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$وبالتالي، فإن له نفس العددية مثل${\displaystyle \mathbb {R} }$.

أحد الأسئلة التي قد نطرحها هو: هل لو اخترنا مرشحًا فائقًا حرًا مختلفًا V ، لكان حقل القسمة A / U متماثلًا كحقل مرتب مع A / V ؟ يتضح أن هذا السؤال مكافئ لفرضية الاستمرارية ؛ ففي نظرية ZFC مع فرضية الاستمرارية، يمكننا إثبات أن هذا الحقل فريد حتى تماثل الترتيب ، وفي نظرية ZFC مع نفي فرضية الاستمرارية، يمكننا إثبات وجود أزواج من الحقول غير المتماثلة ترتيبيًا، والتي تُمثل قوى فائقة للأعداد الحقيقية ذات فهرسة قابلة للعد. ^{[ 14 ]}

لمزيد من المعلومات حول طريقة البناء هذه، انظر ultraproduct .

فيما يلي طريقة بديهية لفهم الأعداد الفائقة الحقيقية. النهج المتبع هنا قريب جدًا من النهج الوارد في كتاب غولدبلات . ^{[ 15 ]} تذكر أن المتتاليات التي تتقارب إلى الصفر تُسمى أحيانًا بالمتناهية الصغر. وهي تُعتبر تقريبًا متناهية الصغر بمعنى ما؛ أما المتناهية الصغر الحقيقية فتشمل فئات معينة من المتتاليات التي تحتوي على متتالية تتقارب إلى الصفر.

دعونا نرى من أين تأتي هذه الفئات. لننظر أولًا إلى متتاليات الأعداد الحقيقية. تُشكّل هذه المتتاليات حلقةً ، أي يُمكن ضربها وجمعها وطرحها، ولكن ليس بالضرورة قسمتها على عنصر غير صفري. تُعتبر الأعداد الحقيقية متتاليات ثابتة، وتكون المتتالية صفرًا إذا كانت جميع عناصرها صفرًا، أي aⁿ = 0 لجميع _قيم n .  

في حلقة المتتاليات لدينا، يمكن الحصول على ab  =  0 مع عدم كون a  =  0 أو b  =  0. وبالتالي، إذا كان لدينا متتاليتان${\displaystyle a,b}$إذا كان لدينا عددان ab  =  0، فيجب تعريف أحدهما على الأقل على أنه صفر. والمثير للدهشة أن هناك طريقة متسقة للقيام بذلك. ونتيجة لذلك، فإن فئات التكافؤ للمتتاليات التي تختلف بمتتالية معينة تم تعريفها على أنها صفر ستشكل حقلاً يُسمى حقل الأعداد الفائقة الحقيقية . سيحتوي هذا الحقل على الأعداد المتناهية الصغر بالإضافة إلى الأعداد الحقيقية العادية، وكذلك الأعداد الكبيرة جدًا (مقلوبات الأعداد المتناهية الصغر، بما في ذلك تلك التي تمثلها المتتاليات المتباعدة إلى اللانهاية). كما أن كل عدد فائق حقيقي ليس كبيرًا جدًا سيكون قريبًا جدًا من عدد حقيقي عادي، أي أنه سيكون مجموع عدد حقيقي عادي وعدد متناهي الصغر.

هذا البناء موازٍ لبناء الأعداد الحقيقية من الأعداد النسبية الذي قدمه كانتور . بدأ كانتور بحلقة متتابعات كوشي للأعداد النسبية، وأعلن أن جميع المتتابعات التي تتقارب إلى الصفر هي أصفار. والنتيجة هي الأعداد الحقيقية. لمواصلة بناء الأعداد الفائقة الحقيقية، لننظر إلى مجموعات الأصفار لمتتابعاتنا، أي...${\displaystyle z(a)=\{i:a_{i}=0\}}$، إنه،${\displaystyle z(a)}$هي مجموعة الفهارس${\displaystyle i}$والتي${\displaystyle a_{i}=0}$من الواضح أنه إذا${\displaystyle ab=0}$ثم اتحاد${\displaystyle z(a)}$و${\displaystyle z(b)}$يكون${\displaystyle \mathbb {N} }$(مجموعة جميع الأعداد الطبيعية)، لذا:

1. يجب اعتبار إحدى المتتاليات التي تتلاشى على مجموعتين متكاملتين صفرًا.
2. لو${\displaystyle a}$تم إعلانها صفرًا،${\displaystyle ab}$يجب إعلانها صفرًا أيضًا، بغض النظر عن أي شيء${\displaystyle b}$يكون.
3. إذا كان كلاهما${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$يتم إعلانها صفرًا، ثم${\displaystyle a+b}$ينبغي أيضاً إعلانها صفراً.

والآن، الفكرة هي اختيار مجموعة U من المجموعات الجزئية من${\displaystyle \mathbb {N} }$وأن تعلن أن ${\displaystyle a=0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle z(a)}$ينتمي إلى U. من الشروط المذكورة أعلاه يمكن ملاحظة ما يلي:

1. من مجموعتين متكاملتين، تنتمي إحداهما إلى المجموعة U.
2. أي مجموعة تحتوي على مجموعة جزئية تنتمي إلى U ، تنتمي أيضًا إلى U.
3. تقاطع أي مجموعتين تنتميان إلى U ينتمي إلى U.
4. وأخيرًا، لا نريد أن تنتمي المجموعة الفارغة إلى U لأنه حينها سينتمي كل شيء إلى U ، حيث أن كل مجموعة تحتوي على المجموعة الفارغة كمجموعة جزئية.

تُسمى أي عائلة من المجموعات التي تحقق الشروط (2-4) مرشحًا (مثال: مكملات المجموعات المنتهية، وتُسمى مرشح فريشيه ، وتُستخدم في نظرية النهايات المعتادة). إذا تحقق الشرط (1) أيضًا، تُسمى U مرشحًا فائقًا (لأنه لا يمكن إضافة المزيد من المجموعات إليها دون الإخلال بتكوينها). المثال الوحيد المعروف صراحةً للمرشح الفائق هو عائلة المجموعات التي تحتوي على عنصر معين (في حالتنا، لنفترض العدد 10). تُسمى هذه المرشحات الفائقة بالمرشحات التافهة، وإذا استخدمناها في بنائنا، فإننا نعود إلى الأعداد الحقيقية العادية. أي مرشح فائق يحتوي على مجموعة منتهية هو مرشح تافه. من المعروف أنه يمكن توسيع أي مرشح ليصبح مرشحًا فائقًا، لكن البرهان يستخدم بديهية الاختيار . يمكن إضافة وجود مرشح فائق غير تافه ( مبرهنة المرشح الفائق ) كبديهية إضافية، لأنها أضعف من بديهية الاختيار.

الآن إذا أخذنا مرشحًا فائقًا غير تافه (وهو امتداد لمرشح فريشيه) وقمنا ببنائه، فسنحصل على الأعداد الحقيقية الفائقة كنتيجة لذلك.

لو${\displaystyle f}$هي دالة حقيقية لمتغير حقيقي ${\displaystyle x}$ثم${\displaystyle f}$يمتد بشكل طبيعي إلى دالة فائقة الواقعية لمتغير فائق الواقعية عن طريق التركيب:

${\displaystyle f(\{x_{n}\})=\{f(x_{n})\}}$

أين${\displaystyle \{\dots \}}$يعني "فئة التكافؤ للمتتالية"${\displaystyle \dots }$بالنسبة إلى مرشحنا الفائق، يكون التسلسلان في نفس الفئة إذا وفقط إذا كانت مجموعة الأصفار لفرقهما تنتمي إلى مرشحنا الفائق.

جميع التعبيرات والصيغ الحسابية منطقية بالنسبة للأعداد الفائقة الحقيقية، وتظل صحيحة إذا كانت صحيحة بالنسبة للأعداد الحقيقية العادية. ويتضح أن أي عدد محدود (أي، بحيث${\displaystyle |x|<a}$لبعض الأشياء العادية الحقيقية${\displaystyle a}$) واقعي للغاية${\displaystyle x}$سيكون على الشكل التالي${\displaystyle y+d}$أين${\displaystyle y}$هو عدد حقيقي عادي (يسمى قياسي) و${\displaystyle d}$هو كمية متناهية الصغر. ويمكن إثبات ذلك باستخدام طريقة التنصيف المستخدمة في إثبات نظرية بولزانو-فايرشتراس، حيث تبين أن الخاصية (1) للمرشحات الفائقة حاسمة.