نظرية القيمة المتوسطة

في حساب التفاضل والتكامل والتحليل الحقيقي ، تُعرف نظرية القيمة المتوسطة (أو نظرية لاغرانج للقيمة المتوسطة ) بأنها نظرية تتعلق بالدوال القابلة للتفاضل ، وتنص باختصار على أن متوسط معدل تغير هذه الدالة على فترة زمنية معينة يساوي معدل تغيرها اللحظي عند نقطة ما في تلك الفترة. على سبيل المثال، إذا قطعت سيارة مسافة معينة بسلاسة خلال فترة زمنية محددة، فإن سرعتها اللحظية عند لحظة معينة خلال الرحلة تساوي متوسط سرعتها طوال الرحلة.

تنص النظرية تحديدًا على أنه إذا كانت دالة حقيقية القيمة متصلة على فترة مغلقة $[a,b]$ ، مع $a<b$ ويمكن تمييزها من الداخل $(a,b)$ إذن، هناك نقطة واحدة على الأقل في $(a,b)$ حيث تساوي المشتقة متوسط معدل تغير الدالة على كامل الفترة. هندسيًا، يعني هذا أن المماس للرسم البياني يكون عند نقطة ما موازيًا للقاطع المار بنهايتي الفترة. ويُستخدم هذا في إثبات خصائص عامة أخرى للدوال القابلة للتفاضل.

تاريخ

وصف باراميشوارا (1380-1460)، من مدرسة كيرالا لعلم الفلك والرياضيات في الهند ، حالة خاصة من هذه النظرية لاستكمال دالة الجيب العكسي ، وذلك في تعليقاته على كتابي جوفينداسوامي وبهاسكارا الثاني . ^[¹^] أثبت ميشيل رول صيغةً محدودةً من النظرية عام 1691؛ وكانت النتيجة ما يُعرف الآن بنظرية رول ، وقد أُثبتت فقط لكثيرات الحدود، دون استخدام تقنيات التفاضل والتكامل. صاغ أوغستين لويس كوشي نظرية القيمة المتوسطة بصيغتها الحديثة وأثبتها عام 1823. ^[²^] وقد أُثبتت العديد من الصيغ المختلفة لهذه النظرية منذ ذلك الحين. ^[³^]^[⁴^]

إفادة

{\displaystyle f} — الوظيفة $f$ يصل إلى ميل القاطع بين $a$ و $b$ باعتبارها المشتقة عند النقطة $c\in (a,b)$ .

من الممكن أيضاً وجود عدة مماسات موازية للقاطع.

يترك $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ لتكن دالة متصلة على الفترة المغلقة $[a,b]$ ، وقابلة للتفاضل على الفترة المفتوحة $(a,b)$ ، أين $a<b$ ثم يوجد شيء ما $c$ في $(a,b)$ بحيث: ^{[ 5 ]}

f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{ba}}.

تُعدّ نظرية القيمة المتوسطة تعميمًا لنظرية رول ، التي تفترض $f(a)=f(b)$ بحيث يكون الجانب الأيمن أعلاه صفرًا.

لا تزال نظرية القيمة المتوسطة صالحة في سياق أكثر عمومية. يكفي أن نفترض أن $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ مستمر على $[a,b]$ وذلك لكل $x$ في $(a,b)$ الحد

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

يوجد كعدد محدود أو يساوي $\infty$ أو $-\infty$ إذا كانت القيمة محدودة، فإن تلك النهاية تساوي $f'(x)$ . مثال على تطبيق هذه الصيغة من النظرية هو دالة الجذر التكعيبي ذات القيم الحقيقية $x\mapsto x^{1/3}$ ، والتي تميل مشتقتها إلى اللانهاية عند نقطة الأصل.

دليل

التعبير ${\textstyle {\frac {f(b)-f(a)}{ba}}}$ يعطي ميل الخط الواصل بين النقطتين $(a,f(a))$ و $(b,f(b))$ ، وهو وتر من الرسم البياني لـ $f$ ، بينما $f'(x)$ يعطي ميل المماس للمنحنى عند النقطة $(x,f(x))$ وبالتالي، تنص نظرية القيمة المتوسطة على أنه إذا أُعطي أي وتر لمنحنى أملس، فإنه يمكننا إيجاد نقطة على المنحنى تقع بين طرفي الوتر بحيث يكون مماس المنحنى عند تلك النقطة موازياً للوتر. ويوضح البرهان التالي هذه الفكرة.

يُعرِّف $g(x)=f(x)-rx$ ، أين $r$ ثابت. $f$ مستمر على $[a,b]$ وقابلة للتفاضل على $(a,b)$ وينطبق الشيء نفسه على $g$ نريد الآن أن نختار $r$ لهذا السبب. $g$ يستوفي شروط نظرية رول . أي

{\begin{aligned}g(a)=g(b)&\iff f(a)-ra=f(b)-rb\\&\iff r(ba)=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{ba}}.\end{aligned}}

بحسب نظرية رول ، بما أن $g$ قابلة للتفاضل و $g(a)=g(b)$ هناك بعض $c$ في $(a,b)$ والتي $g'(c)=0$ ويترتب على ذلك المساواة $g(x)=f(x)-rx$ الذي - التي،

\displaystyle \begin{aligned}&g'(x)=f'(x)-r\\&g'(c)=0\\&g'(c)=f'(c)-r=0\\&\Rightarrow f'(c)=r={\frac {f(b)-f(a)}{ba}}\end{aligned}}}

تداعيات

النظرية 1: افترض أن $f$ هي دالة حقيقية متصلة معرفة على فترة اختيارية $I$ من خط الأعداد الحقيقية. إذا كانت مشتقة $f$ عند كل نقطة داخلية من الفاصل الزمني $I$ موجود وقيمته صفر، إذن $f$ ثابت على $I$ .

البرهان: افترض مشتقة $f$ عند كل نقطة داخلية من الفاصل الزمني $I$ موجود وقيمته صفر. ليكن $(a,b)$ لتكن فترة مفتوحة اختيارية في $I$ بحسب نظرية القيمة المتوسطة، توجد نقطة $c$ في $(a,b)$ بحيث

0=f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{ba}}.

وهذا يعني أن $f(a)=f(b)$ . هكذا، $f$ ثابت في الجزء الداخلي من $I$ وبالتالي فهو ثابت على $I$ عن طريق الاستمرارية. (انظر أدناه للحصول على نسخة متعددة المتغيرات من هذه النتيجة.)

ملاحظات:

استمرارية فقط $f$ لا يلزم التفاضل عند نقاط نهاية الفترة $I$ لا حاجة لذكر فرضية الاستمرارية إذا $I$ هي فترة مفتوحة ، لأن وجود مشتقة عند نقطة ما يستلزم استمرارية الدالة عند تلك النقطة. (انظر قسم الاستمرارية وقابلية التفاضل في مقالة المشتقة ).
قابلية التفاضل لـ $f$ يمكن تخفيفها إلى قابلية التفاضل من جانب واحد ، ويتم تقديم برهان في المقالة حول قابلية التفاضل الجزئي .

النظرية 2: إذا $f'(x)=g'(x)$ للجميع $x$ في فترة زمنية $I$ من نطاق هذه الدوال، إذن $fg$ ثابت، أي $f=g+c$ أين $c$ ثابت.

البرهان: ليكن $F(x)=f(x)-g(x)$ ، ثم $F'(x)=f'(x)-g'(x)=0$ في الفترة $I$ بحسب النظرية 1، $F$ ثابت على مدى $I$ ، لذا $f=g+c$ زيادة $I$ ، أين $c$ ثابت.

النظرية 3: إذا $F$ هو مضاد للمشتقة $f$ على فاصل زمني $I$ ثم يكون أكثر أنواع مضادات الاشتقاق عمومية هو $f$ على $I$ يكون $F(x)+c$ أين $c$ ثابت.

البرهان: يتبع ذلك مباشرة من النظرية 2 أعلاه.

نظرية القيمة المتوسطة لكوشي

تُعدّ نظرية كوشي للقيمة المتوسطة ، والمعروفة أيضًا باسم نظرية القيمة المتوسطة الموسعة ، تعميمًا لنظرية القيمة المتوسطة. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} وتنص على ما يلي: إذا كانت الدوال $f$ و $g$ كلاهما متصلان على الفترة المغلقة $[a,b]$ وقابلة للتفاضل على الفترة المفتوحة $(a,b)$ إذن يوجد شيء ما $c\in (a,b)$ بحيث

(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).

بالطبع، إذا $g(a)\neq g(b)$ و $g'(c)\neq 0$ وهذا يعادل:

{\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.

هندسياً، هذا يعني أن هناك مماسًا ما لرسم المنحنى ^{[ 8 ]}

{\begin{cases}[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}

وهو موازٍ للخط المحدد بالنقاط $(f(a),g(a))$ و $(f(b),g(b))$ ومع ذلك، لا تنص نظرية كوشي على وجود مثل هذا المماس في جميع الحالات التي $(f(a),g(a))$ و $(f(b),g(b))$ هي نقاط متميزة، حيث قد تتحقق فقط لقيمة معينة. $c$ مع $f'(c)=g'(c)=0$ بمعنى آخر، هي القيمة التي يكون عندها المنحنى المذكور ثابتًا ؛ عند هذه النقاط، من غير المرجح أن يكون هناك مماس للمنحنى على الإطلاق. مثال على هذه الحالة هو المنحنى المعطى بواسطة

t\mapsto \left(t^{3},1-t^{2}\right),

والتي تقع في الفترة $[-1,1]$ ينتقل من النقطة $(-1,0)$ ل $(1,0)$ ومع ذلك، لا يوجد لها مماس أفقي أبدًا؛ ومع ذلك، فإن لها نقطة ثابتة (في الواقع نقطة انعطاف ) عند $t=0$ .

يمكن استخدام نظرية القيمة المتوسطة لكوشي لإثبات قاعدة لوبيتال . تُعد نظرية القيمة المتوسطة حالة خاصة من نظرية القيمة المتوسطة لكوشي عندما $g(t)=t$ .

دليل

يعتمد برهان نظرية القيمة المتوسطة لكوشي على نفس فكرة برهان نظرية القيمة المتوسطة.

يُعرِّف $h(x)=(g(b)-g(a))f(x)-(f(b)-f(a))g(x)$ ثم نرى بسهولة $h(a)=h(b)=f(a)g(b)-f(b)g(a)$ .

منذ $f$ و $g$ متصلة على $[a,b]$ وقابلة للتفاضل على $(a,b)$ وينطبق الشيء نفسه على $h$ إجمالاً، $h$ يستوفي شروط نظرية رول . وبالتالي، يوجد بعض $c$ في $(a,b)$ والتي $h'(c)=0$ والآن باستخدام تعريف $h$ لدينا:

0=h'(c)=(g(b)-g(a))f'(c)-(f(b)-f(a))g'(c)

والنتيجة واضحة.

نظرية القيمة المتوسطة في عدة متغيرات

تُعمَّم نظرية القيمة المتوسطة لتشمل الدوال الحقيقية ذات المتغيرات المتعددة. وتكمن الحيلة في استخدام المعامل لإنشاء دالة حقيقية ذات متغير واحد، ثم تطبيق نظرية المتغير الواحد.

يترك $G$ ليكن مجموعة فرعية مفتوحة من $\mathbb {R} ^{n}$ ودع $f:G\to \mathbb {R}$ لتكن دالة قابلة للتفاضل. نقاط ثابتة $x,y\in G$ بحيث يكون الجزء المستقيم بين $x,y$ يكمن في $G$ ، وتحديد $g(t)=f{\big (}(1-t)x+ty{\big )}$ . منذ $g$ إذا كانت دالة قابلة للتفاضل في متغير واحد، فإن نظرية القيمة المتوسطة تعطينا:

g(1)-g(0)=g'(c)

بالنسبة للبعض $c$ بين 0 و1. ولكن بما أن $g(1)=f(y)$ و $g(0)=f(x)$ ، الحوسبة $g'(c)$ لدينا صراحةً ما يلي:

f(y)-f(x)=\nabla f{\big (}(1-c)x+cy{\big )}\cdot (yx)

أين $\nabla$ يشير إلى التدرج و $\cdot$ الضرب النقطي . هذا نظير دقيق للنظرية في متغير واحد (في حالة $n=1$ هذه هي النظرية في متغير واحد). باستخدام متباينة كوشي-شفارتز ، تعطي المعادلة التقدير التالي:

{\Bigl |}f(y)-f(x){\Bigr |}\leq {\Bigl |}\nabla f{\big (}(1-c)x+cy{\big )}{\Bigr |}\ {\Bigl |}y-x{\Bigr |}.

على وجه الخصوص، عندما $G$ دالة محدبة والمشتقات الجزئية لـ $f$ محدودة، $f$ هي دالة متصلة وفقًا لشرط ليبشيتز (وبالتالي متصلة بشكل منتظم ).

كتطبيق لما سبق، نثبت أن $f$ ثابت إذا كانت المجموعة الفرعية المفتوحة $G$ وهي متصلة وكل مشتق جزئي من $f$ يساوي صفرًا. اختر نقطة ما $x_{0}\in G$ ودع $g(x)=f(x)-f(x_{0})$ نريد أن نعرض $g(x)=0$ لكل $x\in G$ لذلك، دع $E=\{x\in G:g(x)=0\}$ . ثم $E$ مغلق في $G$ وغير فارغة. وهي مفتوحة أيضاً: لكل $x\in E$ ،

{\Big |}g(y){\Big |}={\Big |}g(y)-g(x){\Big |}\leq (0){\Big |}y-x{\Big |}=0

لكل $y$ في كرة مفتوحة متمركزة عند $x$ والموجودة في $G$ . منذ $G$ نستنتج أن هناك علاقة بينهما. $E=G$ .

تم تقديم الحجج المذكورة أعلاه بطريقة لا تعتمد على الإحداثيات؛ وبالتالي، يمكن تعميمها على الحالة التي يكون فيها $G$ هي مجموعة جزئية من فضاء باناخ.

نظرية القيمة المتوسطة للدوال المتجهة

لا يوجد نظير دقيق لنظرية القيمة المتوسطة للدوال المتجهة (انظر أدناه). ومع ذلك، توجد متباينة يمكن تطبيقها على العديد من الحالات نفسها التي تنطبق عليها نظرية القيمة المتوسطة في الحالة أحادية البعد: ^{[ 9 ]}

نظرية — بالنسبة لدالة متجهة متصلة $\mathbf {f$ قابلة للتفاضل على $(a,b)$ يوجد عدد $c\in (a,b)$ بحيث

|\mathbf {f} (b)-\mathbf {f} (a)|\leq (b-a)\left|\mathbf {f} '(c)\right|

.

دليل

يأخذ $\varphi (t)=({\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a))\cdot {\textbf {f}}(t)$ . ثم $\varphi$ هي ذات قيم حقيقية، وبالتالي، وفقًا لنظرية القيمة المتوسطة،

\varphi (b)-\varphi (a)=\varphi '(c)(b-a)

بالنسبة للبعض $c\in (a,b)$ . الآن، $\varphi (b)-\varphi (a)=|{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|^{2}$ و $\varphi '(c)=({\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a))\cdot {\textbf {f}}'(c).$ وبالتالي، باستخدام متباينة كوشي-شفارتز ، من المعادلة أعلاه، نحصل على:

|{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|^{2}\leq |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)||{\textbf {f}}'(c)|(b-a).

لو ${\textbf {f}}(b)={\textbf {f}}(a)$ ، تتحقق النظرية بشكل بديهي. وإلا، بقسمة كلا الطرفين على $|{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|$ ينتج عنه النظرية.

عدم المساواة في القيمة المتوسطة

في كتابه الكلاسيكي " أسس التحليل الحديث"، يتخلى جان ديودونيه عن نظرية القيمة المتوسطة ويستبدلها بمتباينة المتوسط، لأن البرهان غير بنائي، ولا يمكن إيجاد القيمة المتوسطة، وفي التطبيقات لا نحتاج إلا إلى متباينة المتوسط. يستخدم سيرج لانغ في كتابه "التحليل 1" نظرية القيمة المتوسطة، بصيغتها التكاملية، كنتيجة مباشرة، لكن هذا الاستخدام يتطلب استمرارية المشتقة. باستخدام تكامل هينستوك-كورزويل، يمكن الحصول على نظرية القيمة المتوسطة بصيغتها التكاملية دون افتراض استمرارية المشتقة، لأن كل مشتقة قابلة للتكامل وفقًا لهينستوك-كورزويل.

يكمن سبب عدم وجود نظير لمساواة القيمة المتوسطة فيما يلي: إذا كانت $f : U \to R m$ دالة قابلة للتفاضل (حيث $U \subset R n$ مجموعة مفتوحة)، وإذا كانت $x + th$ ، $x ، h \in R n ، t \in [0, 1]$ هي القطعة المستقيمة المعنية (الواقعة داخل $U$ )، فيمكن تطبيق إجراء المعايرة المذكور أعلاه على كل دالة من الدوال المكونة $f i (حيث i = 1, \dots, m)$ للدالة f (في الترميز أعلاه $، y = x + h$ ). وبذلك، يتم إيجاد النقاط $x + t i h$ على القطعة المستقيمة التي تحقق

f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t_{i}h)\cdot h.

لكن عمومًا، لن تكون هناك نقطة واحدة $x + t * h$ على القطعة المستقيمة تحقق الشرط التالي:

f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t^{*}h)\cdot h.

لكل $i$ في آن واحد . على سبيل المثال، عرّف:

{\begin{cases}f:[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}\\f(x)=(\cos(x),\sin(x))\end{cases}}

ثم $f(2\pi )-f(0)=\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{2}$ ، لكن $f_{1}'(x)=-\sin(x)$ و $f_{2}'(x)=\cos(x)$ لا يمكن أن تكون القيمتان صفرًا في نفس الوقت أبدًا لأن $x$ نطاقات $\left[0,2\pi \right]$ .

تستلزم النظرية المذكورة أعلاه ما يلي:

متباينة القيمة المتوسطة ^{[ 10 ]} — للدالة المتصلة ${\textbf {f}}:[a,b]\to \mathbb {R} ^{k}$ ، لو ${\textbf {f}}$ قابلة للتفاضل على $(a,b)$ ، ثم

|{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|\leq (b-a)\sup _{(a,b)}|{\textbf {f}}'|

.

في الواقع، تكفي العبارة المذكورة أعلاه للعديد من التطبيقات، ويمكن إثباتها مباشرةً على النحو التالي. (سنكتب $f$ ل ${\textbf {f}}$ (لتحسين سهولة القراءة.)

دليل

افترض أولاً $f$ قابلة للتفاضل عند $a$ أيضًا. إذا $f'$ غير محدود على $(a,b)$ لا يوجد ما يُثبت. لذا، افترض $\sup _{(a,b)}|f'|<\infty$ . يترك $M>\sup _{(a,b)}|f'|$ ليكن عددًا حقيقيًا. $E=\{0\leq t\leq 1\mid |f(a+t(b-a))-f(a)|\leq Mt(b-a)\}.$ نريد أن نعرض $1\in E$ باستمرار $f$ ، المجموعة $E$ مغلق. وهو أيضاً غير فارغ لأن $0$ موجود فيه. ومن ثم، المجموعة $E$ يحتوي على العنصر الأكبر $s$ . لو $s=1$ ، ثم $1\in E$ وهكذا نكون قد انتهينا. فلنفترض خلاف ذلك. $1>t>s$ ،

{\begin{aligned}&|f(a+t(b-a))-f(a)|\\&\leq |f(a+t(b-a))-f(a+s(b-a))-f'(a+s(b-a))(t-s)(b-a)|+|f'(a+s(b-a))|(t-s)(b-a)\\&+|f(a+s(b-a))-f(a)|.\end{aligned}}

يترك $\epsilon >0$ أن يكون على هذا النحو $M-\epsilon >\sup _{(a,b)}|f'|$ . من خلال قابلية التفاضل لـ $f$ في $a+s(b-a)$ (ملحوظة $s$ (قد يكون 0)، إذا $t$ قريب بما فيه الكفاية من $s$ ، الحد الأول هو $\leq \epsilon (t-s)(b-a)$ الحد الثاني هو $\leq (M-\epsilon )(t-s)(b-a)$ الحد الثالث هو $\leq Ms(b-a)$ وبالتالي، بجمع التقديرات، نحصل على: $|f(a+t(b-a))-f(a)|\leq tM|b-a|$ ، وهو ما يتناقض مع مبدأ الحد الأقصى لـ $s$ . لذلك، $1=s\in M$ وهذا يعني:

|f(b)-f(a)|\leq M(b-a).

منذ $M$ إذا كان الأمر اعتباطيًا، فإن هذا يستلزم صحة الادعاء. أخيرًا، إذا $f$ غير قابلة للتفاضل عند $a$ ، يترك $a'\in (a,b)$ وتطبيق الحالة الأولى على $f$ مقيد على $[a',b]$ مما يعطينا:

|f(b)-f(a')|\leq (b-a')\sup _{(a,b)}|f'|

منذ $(a',b)\subset (a,b)$ تأجير $a'\to a$ ينهي البرهان.

الحالات التي لا يمكن فيها تطبيق النظرية

جميع الشروط اللازمة لنظرية القيمة المتوسطة ضرورية:

${\boldsymbol {f}}$ قابلة للتفاضل على ${\boldsymbol {(a,b)}}$
${\boldsymbol {f}}$ مستمر على ${\boldsymbol {[a,b]}}$
${\boldsymbol {f}}$ له قيمة حقيقية

عندما لا يتم استيفاء أحد الشروط المذكورة أعلاه، فإن نظرية القيمة المتوسطة لا تكون صالحة بشكل عام، وبالتالي لا يمكن تطبيقها.

يمكن ملاحظة ضرورة الشرط الأول من خلال المثال المضاد حيث الدالة $f$ مقدم من $f(x)=|x|$ على $[-1,1]$ غير قابلة للتفاضل عند نقطة واحدة على الأقل في $(-1,1)$ .

يمكن ملاحظة ضرورة الشرط الثاني من خلال المثال المضاد حيث الدالة $f$ مقدم من $f(x)={\begin{cases}1,&{\text{at }}x=0\\0,&{\text{if }}x\in (0,1]\end{cases}}$ يستوفي المعيار 1 لأن $f'(x)=0$ على $(0,1)$ لكن ليس المعيار الثاني لأن $f$ لا يكون متصلاً من اليسار عند $0$ متوسط معدل التغير لـ $f$ زيادة $[0,1]$ يُعطى بواسطة ${\frac {f(1)-f(0)}{1-0}}=-1$ لكن لا يوجد $x\in (0,1)$ بحيث $f'(x)=-1$ إذن، فإن النظرية لا تنطبق.

تكون النظرية خاطئة إذا كانت الدالة القابلة للتفاضل ذات قيم مركبة بدلاً من قيم حقيقية. على سبيل المثال، إذا $f(x)=e^{xi}$ لكل حقيقي $x$ ، ثم $f(2\pi )-f(0)=0=0(2\pi -0)$ بينما $f'(x)\neq 0$ لأي شخص حقيقي $x$ .

نظريات القيمة المتوسطة للتكاملات المحددة

نظرية القيمة المتوسطة الأولى للتكاملات المحددة

هندسيا: بتفسير f ( c ) على أنها ارتفاع مستطيل و b – a على أنها العرض، فإن هذا المستطيل له نفس مساحة المنطقة الواقعة أسفل المنحنى من a إلى b ^{[ 11 ].}

لتكن f دالة متصلة من [ a , b ] إلى R. عندئذٍ يوجد عدد c في ( a , b ) بحيث

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a).

وينتج هذا مباشرةً من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل ، بالإضافة إلى نظرية القيمة المتوسطة للمشتقات. بما أن القيمة المتوسطة للدالة f على الفترة [ a , b ] تُعرَّف على النحو التالي:

{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx,

يمكننا تفسير النتيجة على أنها تحقق متوسط قيمة f عند قيمة c ما في ( a , b ). ^{[ 12 ]}

بشكل عام، إذا كانت الدالة f : [ a , b ] → R متصلة، وكانت g دالة قابلة للتكامل ولا تغير إشارتها على [ a , b ]، فإنه يوجد عدد c في ( a , b ) بحيث

\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)\,dx.

نظرية القيمة المتوسطة الثانية للتكاملات المحددة

توجد عدة نظريات مختلفة قليلاً تُعرف باسم نظرية القيمة المتوسطة الثانية للتكاملات المحددة . إحدى الصيغ الشائعة هي كما يلي:

لو

G:[a,b]\to \mathbb {R}

هي دالة موجبة متناقصة بشكل رتيب و

{\displaystyle \varphi

قابلة للتكامل، فإنه يوجد عدد x في `( a , b ]` بحيث

\int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt.

هنا $G(a^{+})$ يرمز إلى ${\textstyle {\lim _{x\to a^{+}}G(x)}}$ ، والتي يترتب وجودها على الشروط. لاحظ أنه من الضروري أن تحتوي الفترة ( أ ، ب ) على ب . وهناك صيغة أخرى لا تتطلب هذا الشرط وهي: ^{[ 13 ]}

لو

G:[a,b]\to \mathbb {R}

هي دالة رتيبة (ليست بالضرورة متناقصة وموجبة) و

{\displaystyle \varphi

قابلة للتكامل، فإنه يوجد عدد x في ( a , b ) بحيث

\int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt+G(b^{-})\int _{x}^{b}\varphi (t)\,dt.

إذا كانت الدالة $G$ إذا كانت الدالة تُرجع متجهًا متعدد الأبعاد، فإن نظرية المتجه متعدد الأبعاد للتكامل غير صحيحة، حتى لو كان مجالها $G$ وهو متعدد الأبعاد أيضاً.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك الدالة ثنائية الأبعاد التالية المعرفة على $n$ مكعب ذو أبعاد:

{\begin{cases}G:[0,2\pi ]^{n}\to \mathbb {R} ^{2}\\G(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\sin(x_{1}+\cdots +x_{n}),\cos(x_{1}+\cdots +x_{n})\right)\end{cases}}

ثم، من خلال التناظر، من السهل أن نرى أن القيمة المتوسطة لـ $G$ نطاقها هو (0,0):

\int _{[0,2\pi ]^{n}}G(x_{1},\dots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}=(0,0)

لكن لا توجد نقطة في $G=(0,0)$ ، لأن $|G|=1$ في كل مكان.

التعميمات

الجبر الخطي

افترض أن $f,g,$ و $h$ هي دوال قابلة للتفاضل على $(a,b)$ التي تستمر على $[a,b]$ . يُعرِّف

D(x)={\begin{vmatrix}f(x)&g(x)&h(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}

يوجد $c\in (a,b)$ بحيث $D'(c)=0$ .

لاحظ أن

D'(x)={\begin{vmatrix}f'(x)&g'(x)&h'(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}

وإذا وضعنا $h(x)=1$ ، فنحصل على نظرية القيمة المتوسطة لكوشي . إذا وضعنا $h(x)=1$ و $g(x)=x$ نحصل بذلك على نظرية لاغرانج للقيمة المتوسطة .

برهان التعميم بسيط للغاية: كل من $D(a)$ و $D(b)$ هي محددات ذات صفين متطابقين، وبالتالي $D(a)=D(b)=0$ ثم تنص نظرية رول على وجود $c\in (a,b)$ بحيث $D'(c)=0$ .

نظرية الاحتمالات

ليكن X و Y متغيرين عشوائيين غير سالبين بحيث يكون E[ X ] < E[ Y ] < ∞ و $X\leq _{st}Y$ (أي أن X أصغر من Y في الترتيب العشوائي المعتاد ). عندئذٍ يوجد متغير عشوائي Z غير سالب ومستمر تمامًا، وله دالة كثافة احتمالية.

f_{Z}(x)={\Pr(Y>x)-\Pr(X>x) \over {\rm {E}}[Y]-{\rm {E}}[X]}\,,\qquad x\geqslant 0.

لتكن g دالة قابلة للقياس والتفاضل بحيث يكون E[ g ( X )] و E[ g ( Y )] < ∞، ولتكن مشتقتها g′ قابلة للقياس وقابلة للتكامل وفقًا لريمان على الفترة [ x , y ] لجميع y ≥ x ≥ 0. عندئذٍ، تكون E[ g′ ( Z )] محدودة و ^{[ 14 ]}

{\rm {E}}[g(Y)]-{\rm {E}}[g(X)]={\rm {E}}[g'(Z)]\,[{\rm {E}}(Y)-{\rm {E}}(X)].

التحليل المعقد

كما ذُكر أعلاه، لا تنطبق النظرية على الدوال المركبة القابلة للتفاضل. وبدلاً من ذلك، يُصاغ تعميم للنظرية على النحو التالي: ^{[ 15 ]}

لتكن f : Ω → C دالة تامة الشكل على المجموعة المفتوحة المحدبة Ω، ولتكن a و b نقطتين مختلفتين في Ω. عندئذٍ توجد نقطتان u و v على الجزء الداخلي من القطعة المستقيمة من a إلى b بحيث

\operatorname {Re} (f'(u))=\operatorname {Re} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right),

\operatorname {Im} (f'(v))=\operatorname {Im} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right).

حيث Re() هو الجزء الحقيقي و Im() هو الجزء التخيلي لدالة ذات قيم مركبة.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ جيه جيه أوكونور وإي إف روبرتسون (2000). باراميسفارا ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات .
↑ آدم بيسينيي. “التطور التاريخي لنظرية القيمة المتوسطة” (PDF) .
↑ لوزادا-كروز، جيرمان (2020-10-02). "بعض صيغ نظرية القيمة المتوسطة لكوشي" . المجلة الدولية للتعليم الرياضي في العلوم والتكنولوجيا . 51 (7): 1155-1163 . Bibcode : 2020IJMES..51.1155L . doi : 10.1080/0020739X.2019.1703150 . ISSN 0020-739X . S2CID 213335491 .
↑ ساهو، براسانا. (1998). نظريات القيمة المتوسطة والمعادلات الدالية . ريدل، ت. (توماس)، 1962-. سنغافورة: وورلد ساينتيفيك. ISBN 981-02-3544-5. OCLC 40951137 .
↑ رودين 1976 ، ص 108.
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية القيمة المتوسطة الموسعة" . عالم الرياضيات .
^ رودين 1976 ، ص 107 – 108.
↑ "نظرية كوشي للقيمة المتوسطة" . Math24 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2018-10-08 .
↑ رودين 1976 ، ص 113.
↑ هورماندر 2015 ، النظرية 1.1.1. والملاحظة التي تليها.
↑ "Mathwords: Mean Value Theorem for Integrals" . www.mathwords.com .
↑ مايكل كومينتز (2002). حساب التفاضل والتكامل: العناصر . وورلد ساينتيفيك. ص 159. ISBN 978-981-02-4904-5.
↑ هوبسون، إي دبليو (1909). "حول نظرية القيمة المتوسطة الثانية في حساب التكامل" . وقائع جمعية لندن الرياضية، S2–7 (1): 14–23 . Bibcode : 1909PLMS...27...14H . doi : 10.1112/plms/s2-7.1.14 . MR 1575669 .
↑ دي كريسينزو، أ. (1999). "نظير احتمالي لنظرية القيمة المتوسطة وتطبيقاتها في نظرية الموثوقية". مجلة الاحتمالات التطبيقية 36 (3): 706-719 . doi : 10.1239/jap/1032374628 . JSTOR 3215435. S2CID 250351233 .
↑ 1 J.-Cl. Evard, F. Jafari, A Complex Rolle's Theorem, American Mathematical Monthly, Vol. 99, Issue 9, (Nov. 1992), pp. 858-861.

مراجع

رودين، والتر (1976). مبادئ التحليل الرياضي . أوكلاند: شركة ماكجرو هيل للنشر. ISBN 978-0-07-085613-4.
هورماندر، لارس (2015)، تحليل المؤثرات التفاضلية الجزئية الخطية 1: نظرية التوزيع وتحليل فورييه ، سلسلة كلاسيكيات الرياضيات ( الطبعة الثانية)، سبرينغر، ISBN 9783642614972

روابط خارجية

[1] جيه جيه أوكونور وإي إف روبرتسون (2000). باراميسفارا ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات .

[2] آدم بيسينيي. “التطور التاريخي لنظرية القيمة المتوسطة” (PDF) .

[3] لوزادا-كروز، جيرمان (2020-10-02). "بعض صيغ نظرية القيمة المتوسطة لكوشي" . المجلة الدولية للتعليم الرياضي في العلوم والتكنولوجيا . 51 (7): 1155-1163 . Bibcode : 2020IJMES..51.1155L . doi : 10.1080/0020739X.2019.1703150 . ISSN 0020-739X . S2CID 213335491 .

[4] ساهو، براسانا. (1998). نظريات القيمة المتوسطة والمعادلات الدالية . ريدل، ت. (توماس)، 1962-. سنغافورة: وورلد ساينتيفيك. ISBN 981-02-3544-5. OCLC 40951137 .

[FOOTNOTERudin1976108-5] رودين 1976 ، ص 108.

[6] وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية القيمة المتوسطة الموسعة" . عالم الرياضيات .

[FOOTNOTERudin1976107–108-7] رودين 1976 ، ص 107 – 108.

[8] "نظرية كوشي للقيمة المتوسطة" . Math24 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2018-10-08 .

[FOOTNOTERudin1976113-9] رودين 1976 ، ص 113.

[10] هورماندر 2015 ، النظرية 1.1.1. والملاحظة التي تليها.

[11] "Mathwords: Mean Value Theorem for Integrals" . www.mathwords.com .

[Comenetz2002-12] مايكل كومينتز (2002). حساب التفاضل والتكامل: العناصر . وورلد ساينتيفيك. ص 159. ISBN 978-981-02-4904-5.

[13] هوبسون، إي دبليو (1909). "حول نظرية القيمة المتوسطة الثانية في حساب التكامل" . وقائع جمعية لندن الرياضية، S2–7 (1): 14–23 . Bibcode : 1909PLMS...27...14H . doi : 10.1112/plms/s2-7.1.14 . MR 1575669 .

[14] دي كريسينزو، أ. (1999). "نظير احتمالي لنظرية القيمة المتوسطة وتطبيقاتها في نظرية الموثوقية". مجلة الاحتمالات التطبيقية 36 (3): 706-719 . doi : 10.1239/jap/1032374628 . JSTOR 3215435. S2CID 250351233 .

[15] 1 J.-Cl. Evard, F. Jafari, A Complex Rolle's Theorem, American Mathematical Monthly, Vol. 99, Issue 9, (Nov. 1992), pp. 858-861.

[

[

[

[

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ].

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗