توزيع جومبيرتز المُزاح

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 45 صور
الموسوعة الحرة

توزيع جومبيرتز المُزاح هو توزيع أكبر متغيرين عشوائيين مستقلين، أحدهما له توزيع أسي بمعاملب{\displaystyle b}والآخر له توزيع غامبل بمعاملاتη{\displaystyle \eta }وب{\displaystyle b}في صيغته الأصلية، تم التعبير عن التوزيع بالإشارة إلى توزيع جومبيرتز بدلاً من توزيع جامبل، ولكن بما أن توزيع جومبيرتز هو توزيع جامبل معكوس، فإن التسمية تُعتبر دقيقة. وقد استُخدم كنموذج لتبني الابتكارات . اقترحه بيمور (1994). [ 1 ] دُرست بعض خصائصه الإحصائية بشكل أوسع من قِبل خيمينيز وجودرا (2009) [ 2 ] وخيمينيز توريس (2014). [ 3 ]

وقد استُخدمت هذه الطريقة للتنبؤ بنمو وتراجع الشبكات الاجتماعية والخدمات عبر الإنترنت، وثبت أنها تتفوق على نموذج باس وتوزيع ويبول (باوكهاج وكيرستينج 2014). [ 4 ]

مواصفة

دالة كثافة الاحتمال

دالة كثافة الاحتمال لتوزيع جومبيرتز المُزاح هي:

و(x؛ب،η)=بهـ-بxهـ-ηهـ-بx[1+η(1-هـ-بx)] ل x≥0.{\displaystyle f(x;b,\eta )=be^{-bx}e^{-\eta e^{-bx}}\left[1+\eta \left(1-e^{-bx}\right)\right]{\text{ لـ }}x\geq 0.\,}

أينب≥0{\displaystyle b\geq 0}هو معامل قياس وη≥0{\displaystyle \eta \geq 0}هو مُعامل شكل . في سياق انتشار الابتكارات،ب{\displaystyle b}يمكن تفسير ذلك على أنه الجاذبية العامة للابتكار وη{\displaystyle \eta }يمثل الميل إلى التبني في نموذج الميل إلى التبني. كلما كان أكبرب{\displaystyle b}أي كلما زادت قوة الجاذبية واتسعت المساحةη{\displaystyle \eta }أي كلما قلّ الميل إلى التبني.

يمكن إعادة تحديد معلمات التوزيع وفقًا لنموذج التأثير الخارجي مقابل التأثير الداخلي معص=و(0؛ب،η)=بهـ-η{\displaystyle p=f(0;b,\eta )=be^{-\eta }}كمعامل للتأثير الخارجي وq=ب-ص{\displaystyle q=bp}باعتباره معامل التأثير الداخلي. ومن ثم:

و(x؛ص،q)=(ص+q)هـ-(ص+q)xهـ-ln⁡(1+q/ص)هـ-(ص+q)x[1+ln⁡(1+q/ص)(1-هـ-(ص+q)x)] ل x≥0،ص،q≥0.{\displaystyle f(x;p,q)=(p+q)e^{-(p+q)x}e^{-\ln(1+q/p)e^{-(p+q)x}}\left[1+\ln(1+q/p)\left(1-e^{-(p+q)x}\right)\right]{\text{ لـ }}x\geq 0,p,q\geq 0.\,}
=(ص+q)هـ-(ص+q)x(1+q/ص)-هـ-(ص+q)x[1+ln⁡(1+q/ص)(1-هـ-(ص+q)x)] ل x≥0،ص،q≥0.{\displaystyle =(p+q)e^{-(p+q)x}{(1+q/p)^{-e^{-(p+q)x}}}\left[1+\ln(1+q/p)\left(1-e^{-(p+q)x}\right)\right]{\text{ لـ }}x\geq 0,p,q\geq 0.\,}

متىq=0{\displaystyle q=0}يتحول توزيع جومبيرتز المُزاح إلى توزيع أسي. عندماص=0{\displaystyle p=0}نسبة المتبنين معدومة: الابتكار فاشل تمامًا. معامل شكل دالة كثافة الاحتمال يساويq/ص{\displaystyle q/p}على غرار نموذج باس، معدل الخطرz(x؛ص،q){\displaystyle z(x;p,q)}يساويص{\displaystyle p}متىx{\displaystyle x}يساوي0{\displaystyle 0}يقتربص+q{\displaystyle p+q}مثلx{\displaystyle x}يقترب من∞{\displaystyle \infty }انظر Bemmaor و Zheng [ 5 ] لمزيد من التحليل.

دالة التوزيع التراكمي

دالة التوزيع التراكمي لتوزيع جومبيرتز المُزاح هي:

F(x؛ب،η)=(1-هـ-بx)هـ-ηهـ-بx ل x≥0.{\displaystyle F(x;b,\eta )=\left(1-e^{-bx}\right)e^{-\eta e^{-bx}}{\text{ لـ }}x\geq 0.\,}

وبعبارة أخرى،

F(x؛ص،q)=(1-هـ-(ص+q)x)هـ-ln⁡(1+q/ص)هـ-(ص+q)x ل x≥0.{\displaystyle F(x;p,q)=\left(1-e^{-(p+q)x}\right)e^{-\ln(1+q/p)e^{-(p+q)x}}{\text{ لـ }}x\geq 0.\,}
=(1-هـ-(ص+q)x)(1+q/ص)-هـ-(ص+q)x ل x≥0.{\displaystyle =\left(1-e^{-(p+q)x}\right){(1+q/p)^{-e^{-(p+q)x}}}{\text{ لـ }}x\geq 0.\,}

ملكيات

يكون توزيع جومبيرتز المُزاح ملتويًا نحو اليمين لجميع قيمη{\displaystyle \eta }وهو أكثر مرونة من توزيع غامبل . معدل الخطر هو دالة مقعرة لـF(x؛ب،η){\displaystyle F(x;b,\eta )}والذي يزداد منبهـ-η{\displaystyle be^{-\eta }}لب{\displaystyle b}انحناءها يزداد حدة كلماη{\displaystyle \eta }كبير. في سياق انتشار الابتكارات، يتناقص تأثير التوصيات الشفهية (أي المتبنين السابقين) على احتمالية التبني مع ازدياد نسبة المتبنين. (للمقارنة، في نموذج باس، يبقى التأثير ثابتًا بمرور الوقت). المعلمةq=ب(1-هـ-η){\displaystyle q=b(1-e^{-\eta })}يرصد نمو معدل الخطر عندماx{\displaystyle x}يختلف من0{\displaystyle 0}ل∞{\displaystyle \infty }.

الأشكال

يمكن أن تتخذ دالة كثافة جومبيرتز المزاحة أشكالًا مختلفة اعتمادًا على قيم معامل الشكلη{\displaystyle \eta }:

  • 0<η≤0.5{\displaystyle 0<\eta \leq 0.5\,}دالة كثافة الاحتمال لها نمط عند الصفر.
  • η>0.5{\displaystyle \eta >0.5\,}دالة كثافة الاحتمال لها نمطها عند
وضع=-ln⁡(z⋆)ب0<z⋆<1{\displaystyle {\text{mode}}=-{\frac {\ln(z^{\star })}{b}}\,\qquad 0<z^{\star }<1}
أينz⋆{\displaystyle z^{\star }\,}هو أصغر جذر لـ
η2z2-η(3+η)z+η+1=0،{\displaystyle \eta ^{2}z^{2}-\eta (3+\eta )z+\eta +1=0\,,}
وهو
z⋆=[3+η-(η2+2η+5)1/2]/(2η).{\displaystyle z^{\star }=[3+\eta -(\eta ^{2}+2\eta +5)^{1/2}]/(2\eta .}

متىη{\displaystyle \eta }يختلف وفقًا لتوزيع جاما ذي معامل شكلα{\displaystyle \alpha }ومعامل المقياسβ{\displaystyle \beta }(المتوسط ​​=αβ{\displaystyle \alpha \beta })، توزيعx{\displaystyle x}هو جاما/جومبيرتز المزاح (G/SG). عندماα{\displaystyle \alpha }عندما تكون قيمة G/SG مساويةً للواحد، فإنها تُختزل إلى نموذج باس (بيمور، 1994). وقد طُبِّق نموذج G/SG ذو الثلاثة معلمات من قِبَل دوفر، وغولدنبرغ، وشابيرا (2009) [ 6 ] ، وفان دن بولت، وستريميرش (2004) [ 7 ] ، وغيرهم، في سياق انتشار الابتكارات. نُوقش النموذج في تشاندراسيكاران وتيليس (2007) [ 8 ] . وكما هو الحال في توزيع غومبيرتز المُزاح، يُمكن تمثيل G/SG إما وفقًا لنموذج الميل إلى التبني أو وفقًا لنموذج تقليد الابتكار. في الحالة الأخيرة، يتضمن النموذج ثلاثة معلمات:ص،q{\displaystyle p,q}وα{\displaystyle \alpha }معص=و(0؛ب،β،α)=ب/(1+β)α{\displaystyle p=f(0;b,\beta ,\alpha )=b/(1+\beta )^{\alpha }}وq=ب-ص{\displaystyle q=bp}المعلمةα{\displaystyle \alpha }يُعدِّل انحناء معدل الخطر كما هو مُعبَّر عنه كدالة لـF(x؛ص،q،α){\displaystyle F(x;p,q,\alpha )}: متىα{\displaystyle \alpha }إذا كانت القيمة أقل من 0.5، فإنها تنخفض إلى أدنى مستوى لها قبل أن تزداد بمعدل متزايد.F(x؛ص،q،α<1/2){\displaystyle F(x;p,q,\alpha <1/2)}عندما تزداد، يكون محدبًا عندماα{\displaystyle \alpha }يكون أقل من واحد وأكبر من أو يساوي 0.5، ويكون خطيًا عندماα{\displaystyle \alpha }يساوي واحدًا، ومقعر عندماα{\displaystyle \alpha }أكبر من واحد. فيما يلي بعض الحالات الخاصة لتوزيع G/SG في حالة التجانس (عبر السكان) فيما يتعلق باحتمالية التبني في وقت معين:

F(x؛ص،q،α=0){\displaystyle F(x;p,q,\alpha =0)}= أسي(ص+q){\displaystyle (p+q)}F(x؛ص،q،α=1/2){\displaystyle F(x;p,q,\alpha =1/2)}= توزيع ذو معلَمتين ملتوي لليسار(ص،q){\displaystyle (p,q)}F(x؛ص،q،α=1){\displaystyle F(x;p,q,\alpha =1)} = نموذج باس(ص،q){\displaystyle (p,q)}F(x؛ص،q،α=∞){\displaystyle F(x;p,q,\alpha =\infty )}= غومبيرتز المزاح(ص،q){\displaystyle (p,q)}

مع:

F(x؛ص،q،α=1/2)=(1-هـ-(ص+q)x)/(1+(q/ص)(2+q/ص)هـ-(ص+q)x)1/2 ل x≥0،ص،q≥0.{\displaystyle F(x;p,q,\alpha =1/2)=\left(1-e^{-(p+q)x}\right)/{(1+(q/p)(2+q/p)e^{-(p+q)x})^{1/2}}{\text{ for }}x\geq 0,p,q\geq 0.\,}

يمكن للمرء مقارنة المعاييرص{\displaystyle p}وq{\displaystyle q}عبر قيمα{\displaystyle \alpha }لأنها تعكس نفس المفاهيم. في جميع الحالات، يكون معدل الخطر إما ثابتًا أو دالة متزايدة بشكل رتيب لـF(x؛ص،q،α){\displaystyle F(x;p,q,\alpha )}(التوصيات الإيجابية). يزداد انحراف منحنى الانتشار كلماα{\displaystyle \alpha }نتوقع أن يصبح حجمها كبيرًاq{\displaystyle q}تتناقص مع ازدياد مستوى الانحراف نحو اليمين.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بيمور، ألبرت سي. (1994). "نمذجة انتشار السلع المعمرة الجديدة: تأثير التسويق الشفهي مقابل تباين المستهلكين". في: جي. لوران، جي إل ليليان، وبي. براس (محررون). تقاليد البحث في التسويق . بوسطن: دار كلوير الأكاديمية للنشر. ص 201-223 . ISBN  978-0-7923-9388-7.
  2. ↑ خيمينيز، فرناندو؛ خودرا، بيدرو (2009). "ملاحظة حول العزوم والتوليد الحاسوبي لتوزيع جومبيرتز المُزاح". الاتصالات في الإحصاء - النظرية والأساليب . 38 (1): 78-89 . doi : 10.1080/03610920802155502 . S2CID 116954940 . 
  3. ↑ خيمينيز توريس، فرناندو (2014). "تقدير معلمات توزيع جومبيرتز المُزاح، باستخدام طرق المربعات الصغرى، والحد الأقصى للاحتمالية، والعزوم" . مجلة الرياضيات الحسابية والتطبيقية . 255 (1): 867-877 . doi : 10.1016/j.cam.2013.07.004 .
  4. ↑ باوكهاج، كريستيان؛ كيرستينغ، كريستيان (2014). "انتظامات قوية في نمو وتراجع شعبية خدمات التواصل الاجتماعي". arXiv : 1406.6529 [ math-ph ].
  5. ↑ بيمور، ألبرت سي؛ تشنغ، لي (2018). "انتشار الشبكات الاجتماعية عبر الهاتف المحمول: دراسة إضافية" (ملف PDF) . المجلة الدولية للتنبؤ . 32 (4): 612-621 . doi : 10.1016/j.ijforecast.2018.04.006 . S2CID 158385920 . 
  6. ↑ دوفر، يانيف؛ غولدنبرغ، جاكوب؛ شابيرا، دانيال (2012). "آثار الشبكة على الاختراق: الكشف عن توزيع الدرجات من بيانات التبني". علوم التسويق . 31 (4): 689-712 . doi : 10.1287/mksc.1120.0711 .
  7. ↑ فان دن بولت، كريستوف؛ ستريميرش، ستيفان (2004). "العدوى الاجتماعية وتفاوت الدخل في انتشار المنتجات الجديدة: اختبار تحليلي شامل". علوم التسويق . 23 (4): 530-544 . doi : 10.1287/mksc.1040.0054 .
  8. ↑ تشاندراسيكاران، ديبا؛ تيليس، جيرارد ج. (2007). "مراجعة نقدية لأبحاث التسويق حول انتشار المنتجات الجديدة". في ناريش ك. مالهوترا (محرر). مراجعة أبحاث التسويق . المجلد 3. أرمونك: إم إي شارب. الصفحات 39-80 . ISBN   978-0-7656-1306-6.