شيو يوين تشينغ

في عام ١٩٧٥، اكتشف شينغ-تونغ ياو تقديرًا جديدًا للتدرج لحلول المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية من الرتبة الثانية على بعض المشعبات الريمانية الكاملة . ^{[ ٣ ]} تمكن تشنغ وياو من تحديد موقع تقدير ياو باستخدام طريقة طورها يوجينيو كالابي . ^[CY75] تُعرف هذه النتيجة بتقدير تشنغ-ياو للتدرج، وهي شائعة الاستخدام في مجال التحليل الهندسي . ونتيجة لذلك، استطاع تشنغ وياو إثبات وجود دالة ذاتية، تُقابل القيمة الذاتية الأولى، لمؤثر لابلاس-بيلترامي على مشعب ريماني كامل.

طبّق تشنغ وياو المنهجية نفسها لفهم الأسطح الفائقة الشبيهة بالفضاء في فضاء مينكوفسكي وهندسة الأسطح الفائقة في الفضاء الأفيني . ^{[CY76a] [CY86]} ومن التطبيقات الخاصة لنتائجهما نظرية برنشتاين للأسطح الفائقة الشبيهة بالفضاء المغلقة في فضاء مينكوفسكي التي يكون انحناؤها المتوسط ​​صفرًا؛ أي سطح فائق من هذا القبيل يجب أن يكون مستويًا. ^[CY76a]

في عام 1916، وجد هيرمان فايل متطابقة تفاضلية للبيانات الهندسية لسطح محدب في الفضاء الإقليدي. وبتطبيق مبدأ القيمة القصوى، تمكن من التحكم في الهندسة الخارجية بدلالة الهندسة الداخلية. وقد عمم تشنغ وياو هذا المفهوم ليشمل الأسطح الفائقة في مشعبات ريمانية. ^[CY77b]

يمكن اعتبار أي سطح فائق مغلق محدب تمامًا في الفضاء الإقليدي ℝⁿ⁺¹ بمثابة تضمين للكرة ذات ^البعد n ^، عبر خريطة غاوس . تتساءل مسألة مينكوفسكي عما إذا كان من الممكن تمثيل دالة ملساء وموجبة عشوائية على الكرة ذات البعد n كانحناء قياسي للمقياس الريماني الناتج عن هذا التضمين. وقد حُلّت هذه المسألة عام 1953 على يد لويس نيرنبرغ ، في حالة n = 2. ^{[ 4 ]} وفي عام 1976، حلّ تشنغ وياو المسألة بشكل عام. ^[CY76b]

باستخدام تحويل ليجندر ، توفر حلول معادلة مونج-أمبير أيضًا أسطحًا محدبة في الفضاء الإقليدي؛ ويُحدد الانحناء القياسي للمقياس الجوهري بواسطة الطرف الأيمن من معادلة مونج-أمبير. وبذلك، تمكن تشنغ وياو من استخدام حلهما لمسألة مينكوفسكي للحصول على معلومات حول حلول معادلات مونج-أمبير. ^[CY77a] كتطبيق خاص، توصلا إلى أول نظرية عامة للوجود والوحدانية لمسألة القيمة الحدية لمعادلة مونج-أمبير. وفي وقت لاحق، طور لويس كافاريلي ونيرنبرغ وجويل سبروك طرقًا أكثر مرونة للتعامل مع المسألة نفسها. ^{[ 5 ]}