الانحناء القياسي

في سياق تدوين مؤشر الموتر ، من الشائع استخدام الحرف R لتمثيل ثلاثة أشياء مختلفة: ^{[ 7 ]}

1. موتر انحناء ريمان: R _ijk ^l أو R _ijkl
2. موتر ريتشي: R _ij
3. الانحناء القياسي: R

تُفرَّق هذه الكميات الثلاث عن بعضها البعض بعدد مؤشراتها: موتر ريمان له أربعة مؤشرات، وموتر ريتشي له مؤشران، وقياس ريتشي له صفر من المؤشرات. ومن الرموز الأخرى المستخدمة للانحناء القياسي: scal ، ^{[ 8 ]} و κ ، ^{[ 9 ]} و K ، ^{[ 10 ]} وr ، ^{[ 11 ]} و s أو S ، ^{[ 12 ]} و τ . ^{[ 13 ]}

عادةً ما يخصص من لا يستخدمون ترميز الفهرس الرمز R لموتر انحناء ريمان الكامل. وبدلاً من ذلك، في الترميز غير المعتمد على الإحداثيات، يمكن استخدام Riem لموتر ريمان، و Ric لموتر ريتشي، و R للانحناء القياسي.

بدلاً من ذلك، يقوم بعض المؤلفين بتعريف انحناء ريتشي والانحناء القياسي باستخدام عامل تطبيع، بحيث يكون ^{[ 10 ]}

${\displaystyle R_{ij}={\frac {1}{n-1}}g^{kl}R_{ikjl}{\text{ and }}R={\frac {1}{n}}g^{ij}R_{ij}.}$

والغرض من هذا الاختيار هو أن تصبح انحناءات ريتشي والانحناءات القياسية قيمًا متوسطة (بدلاً من كونها مجاميع) لانحناءات القطاعات. ^{[ 14 ]}

وكنتيجة مباشرة لهويات بيانكي ، فإن أي مقياس (شبه) ريماني له الخاصية التي ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\nabla _{i}R=g^{jk}\nabla _{j}R_{ki}.}$

تُسمى هذه المتطابقة متطابقة بيانكي المُختزلة . ويترتب عليها، كنتيجة مباشرة تقريبًا، مبرهنة شور التي تنص على أنه إذا كان موتر ريتشي مضاعفًا نقطيًا للمقياس، فإن المقياس يجب أن يكون أينشتاين (إلا إذا كان البعد اثنين). علاوة على ذلك، تنص هذه المبرهنة على أنه (باستثناء البعدين) يكون المقياس أينشتاين إذا وفقط إذا كان موتر ريتشي والانحناء القياسي مرتبطين بالعلاقة التالية:

${\displaystyle R_{ij}={\frac {1}{n}}Rg_{ij},}$

حيث يرمز n إلى البُعد. ^{[ 18 ]} تُعدّ متطابقة بيانكي المُختزلة أساسيةً أيضاً في رياضيات النسبية العامة، لأنها تُعرّف موتر أينشتاين ككمية أساسية. ^{[ 19 ]}

بالنظر إلى مقياس ريماني (شبه) g على فضاء ذي بُعد n ، فإن الجزء القياسي من انحناء موتر انحناء ريمان هو حقل الموتر (0,4)

${\displaystyle {\frac {1}{n(n-1)}}R(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl}).}$

(يتبع هذا الاصطلاح القائل بأن R _ijkl = g _lp ∂ _i Γ _jk ^p − ... .) يُعد هذا الموتر مهمًا كجزء من تحليل ريتشي ؛ فهو متعامد مع الفرق بين موتر ريمان ونفسه. يتوافق الجزآن الآخران من تحليل ريتشي مع مكونات انحناء ريتشي التي لا تُساهم في الانحناء القياسي، ومع موتر فايل ، وهو جزء من موتر ريمان لا يُساهم في انحناء ريتشي. بعبارة أخرى، يُعد حقل الموتر المذكور أعلاه الجزء الوحيد من موتر انحناء ريمان الذي يُساهم في الانحناء القياسي؛ أما الأجزاء الأخرى فهي متعامدة معه ولا تُساهم فيه. ^{[ 20 ]} يوجد أيضًا تحليل ريتشي لانحناء مقياس كاهلر . ^{[ 21 ]}

يمكن حساب الانحناء القياسي للمقياس المتغير بشكل مطابق : ^{[ 22 ]}

${\displaystyle R(e^{2f}g)=e^{-2f}{\Big (}R(g)-2(n-1)\Delta ^{g}f-(n-2)(n-1)g(df,df){\Big )},}$

باستخدام الاصطلاح Δ = g ^ij ∇ _i ∇ _j لمؤثر لابلاس-بيلترامي . أو بدلاً من ذلك، ^{[ 22 ]}

${\displaystyle R(\psi ^{4/(n-2)}g)=-{\frac {4{\frac {n-1}{n-2}}\Delta ^{g}\psi -R(g)\psi }{\psi ^{\frac {n+2}{n-2}}}}.}$

في ظل تغيير طفيف للغاية في المقياس الأساسي، يكون لدينا ^{[ 23 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial t}}=-\Delta ^{g}\left(g^{ij}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial t}}\right)+\left(\nabla _{k}\nabla _{l}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial t}}-R_{kl}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial t}}\right)g^{ik}g^{jl}.}$

يُظهر هذا على وجه الخصوص أن الرمز الرئيسي للمؤثر التفاضلي الذي يرسل مقياسًا إلى انحنائه القياسي يُعطى بواسطة

${\displaystyle (\xi _{i},h_{ij})\mapsto -g(\xi ,\xi )g^{ij}h_{ij}+h_{ij}\xi ^{i}\xi ^{j}.}$

علاوة على ذلك، فإن المرافق لمؤثر الانحناء القياسي الخطي هو

${\displaystyle f\mapsto \nabla _{i}\nabla _{j}f-(\Delta f)g_{ij}-fR_{ij},}$

وهو مؤثر إهليلجي مُفرط التحديد في حالة المقياس الريماني. ومن النتائج المباشرة لصيغ التباين الأول أنه، من الرتبة الأولى، لا يمكن تشويه المقياس الريماني المُسطّح ريتشي على مشعب مغلق بحيث يكون له انحناء قياسي موجب أو سالب. كذلك، من الرتبة الأولى، لا يمكن تشويه مقياس أينشتاين على مشعب مغلق تحت تطبيع الحجم بحيث يزيد أو ينقص الانحناء القياسي. ^{[ 23 ]}

في بُعدين، يكون الانحناء القياسي ضعف الانحناء الغاوسي تمامًا. بالنسبة لسطح مُضمّن في الفضاء الإقليدي R³ ^، فهذا يعني أن

${\displaystyle S={\frac {2}{\rho _{1}\rho _{2}}}\,}$

أين${\displaystyle \rho _{1},\,\rho _{2}}$تمثل هذه القيم أنصاف الأقطار الرئيسية للسطح. على سبيل المثال، يكون الانحناء القياسي للكرة ثنائية الأبعاد ذات نصف القطر r مساوياً لـ 2 ^/ r² .

يحتوي موتر انحناء ريمان ثنائي الأبعاد على مُركّب مستقل واحد فقط، ويمكن التعبير عنه بدلالة الانحناء القياسي وشكل المساحة المترية. أي أنه في أي نظام إحداثيات، يكون لدينا

${\displaystyle 2R_{1212}\,=S\det(g_{ij})=S\left[g_{11}g_{22}-(g_{12})^{2}\right].}$

الشكل الفضائي هو، بحسب التعريف، متعدد شعب ريماني ذو انحناء قطاعي ثابت. وتكون الأشكال الفضائية متساوية القياس محليًا مع أحد الأنواع التالية:

يكون الانحناء القياسي ثابتًا أيضًا عند إعطاء مقياس كاهلر ذي انحناء مقطعي هولومورفي ثابت . ^{[ 21 ]}

الانحناء القياسي لحاصل ضرب M × N من متعددات ريمان هو مجموع الانحناءات القياسية لـ M و N. على سبيل المثال، لأي متعدد شعب مغلق أملس M ، فإن ^M × S² له مقياس ذو انحناء قياسي موجب، وذلك ببساطة عن طريق جعل الكرة ثنائية الأبعاد صغيرة مقارنةً بـ M (بحيث يكون انحناؤها كبيرًا). قد يوحي هذا المثال بأن الانحناء القياسي لا يرتبط كثيرًا بالهندسة العامة لمتعدد الشعب. في الواقع، له أهمية عامة، كما سيتم توضيحه لاحقًا .

في كل من الرياضيات والنسبية العامة، تُعدّ مقاييس الضرب المشوه مصدرًا مهمًا للأمثلة. على سبيل المثال، يُعدّ فضاء روبرتسون-ووكر العام ، المهم لعلم الكونيات ، مقياس لورنتز.

${\displaystyle -dt^{2}+f(t)^{2}g}$

على ( أ ، ب ) × م ، حيث g هي متريّة ريمانية ذات انحناء ثابت على مشعب ثلاثي الأبعاد م . يُعطى الانحناء القياسي لمتريّة روبرتسون-ووكر بواسطة

${\displaystyle 6{\frac {f'(t)^{2}+f(t)f''(t)+k}{f(t)^{2}}},}$

حيث k هو الانحناء الثابت لـ g . ^{[ 26 ]}

من البديهي أن أي فضاء ريتشي مسطح يتميز بانحناء قياسي معدوم؛ وأشهر الفضاءات في هذه الفئة هي فضاءات كالابي-ياو . وفي سياق شبه ريماني، يشمل ذلك أيضًا فضاء شوارزشيلد وفضاء كير .

توجد مقاييس ذات انحناء قياسي صفري ولكن بانحناء ريتشي غير صفري. على سبيل المثال، يوجد مقياس ريماني كامل على حزمة الخط التكرارية فوق الفضاء الإسقاطي الحقيقي ، مُنشأ كمقياس ضرب ملتوٍ ، وله انحناء قياسي صفري ولكن بانحناء ريتشي غير صفري. ويمكن أيضًا اعتبار هذا المقياس مقياسًا ريمانيًا متناظرًا دورانيًا ذا انحناء قياسي صفري على الأسطوانة R × S ⁿ . ^{[ 27 ]}

في ستينيات القرن العشرين، اكتشف أندريه ليشنيروفيتش أنه على مشعب دوراني ، يُعطى الفرق بين مربع مؤثر ديراك ومؤثر لابلاس الموتري (كما هو مُعرَّف على حقول السبينور) بربع الانحناء القياسي تمامًا. يُعد هذا مثالًا أساسيًا لصيغة ويتزنبوك . ونتيجةً لذلك، إذا كان للمقياس الريماني على مشعب مغلق انحناء قياسي موجب، فلا يمكن أن توجد سبينورات توافقية . ومن ثم، وفقًا لنظرية مؤشر أتياس-سينجر، أنه لأي مشعب دوراني مغلق ذي بُعد يقبل القسمة على أربعة وانحناء قياسي موجب، يجب أن يتلاشى جنس Â . وهذا عائق طوبولوجي بحت أمام وجود المقاييس الريمانية ذات الانحناء القياسي الموجب. ^{[ 29 ]}

يمكن "تعديل" حجة ليشنيروفيتش باستخدام مؤثر ديراك بواسطة حزمة متجهات مساعدة ، مما يؤدي إلى إضافة حد واحد فقط إلى صيغة ليشنيروفيتش. ^{[ 30 ]} ثم، باتباع التحليل نفسه المذكور أعلاه، ولكن باستخدام صيغة العائلات لنظرية المؤشر وصيغة مُحسَّنة من جنس Â تُعرف باسم جنس α ، أثبت نايجل هيتشين أنه في أبعاد معينة توجد كرات غريبة لا تمتلك أي مقاييس ريمانية ذات انحناء قياسي موجب. وقد استخدم جروموف ولوسون لاحقًا هذه المتغيرات من عمل ليشنيروفيتش على نطاق واسع. إحدى النظريات الناتجة عنهما تُدخل مفهوم قابلية التوسيع في نظرية التماثل، وتنص على أن مشعب الدوران القابل للتوسيع لا يمكن أن يمتلك مقياسًا ريمانيًا ذا انحناء قياسي موجب. كنتيجة لذلك، فإن أي فضاء مغلق ذي مقياس ريماني ذي انحناء غير موجب، مثل الطارة ، لا يمتلك مقياسًا ذا انحناء قياسي موجب. تدعم نتائج غروموف ولوسون المتعددة حول عدم وجود مقاييس ريمانية ذات انحناء قياسي موجب فرضيةً حول تلاشي مجموعة واسعة من الثوابت الطوبولوجية لأي فضاء دوراني مغلق ذي انحناء قياسي موجب. وهذا (بصيغة دقيقة) يُعد بدوره حالة خاصة من فرضية نوفيكوف القوية للمجموعة الأساسية ، والتي تتناول نظرية K لجبر C* . ^{[ 31 ]} وهذه بدورها حالة خاصة من فرضية باوم-كونيس للمجموعة الأساسية. ^{[ 32 ]}

في حالة خاصة، وهي الفضاءات رباعية الأبعاد، استُخدمت معادلات سيبرغ-ويتن بشكلٍ مفيد لدراسة الانحناء القياسي. وكما في تحليل ليشنيروفيتش، يكمن المفتاح في تطبيق مبدأ القيمة القصوى لإثبات أن حلول معادلات سيبرغ-ويتن يجب أن تكون تافهة عندما يكون الانحناء القياسي موجبًا. وبالمثل، يمكن لنظريات المؤشر أن تضمن وجود حلول غير تافهة للمعادلات. يوفر هذا التحليل معايير جديدة لعدم وجود مقاييس ذات انحناء قياسي موجب. وقد تناول كلود لوبرون هذه الأفكار في عدد من الأبحاث. ^{[ 33 ]}

وعلى النقيض من نتائج عدم الوجود المذكورة أعلاه، قام لوسون وياو ببناء مقاييس ريمانية لانحناء قياسي موجب من فئة واسعة من تأثيرات المجموعة الفعالة غير التبديلية. ^{[ 30 ]}

لاحقًا، أثبت كلٌ من شون-ياو وغروموف-لوسون (باستخدام تقنيات مختلفة) النتيجة الأساسية القائلة بأن وجود المقاييس الريمانية ذات الانحناء القياسي الموجب يبقى محفوظًا بواسطة الجراحة الطوبولوجية في بُعد مشترك لا يقل عن ثلاثة، وبشكل خاص يبقى محفوظًا بواسطة المجموع المتصل . وهذا يُثبت وجود هذه المقاييس على مجموعة واسعة من المتشعبات. على سبيل المثال، يُظهر مباشرةً أن المجموع المتصل لعدد عشوائي من نسخ الأشكال الفضائية الكروية والأسطوانات المعممة S m × S n له مقياس ريماني ذو انحناء قياسي موجب. وبناء غريغوري بيرلمان لتدفق ريتشي مع الجراحة له، كنتيجة مباشرة، عكس ذلك في الحالة ثلاثية الأبعاد: يجب أن يكون أي متشعب ثلاثي الأبعاد مغلق وقابل للتوجيه ذو مقياس ريماني ذي انحناء قياسي موجب مجموعًا متصلًا من هذا القبيل. [ 34 ]

استنادًا إلى الجراحة التي يسمح بها بناء غروموف-لوسون وشون-ياو، لاحظ غروموف ولوسون إمكانية تطبيق نظرية التماثل-h وتحليل حلقة التماثل-h بشكل مباشر. وقد أثبتا أنه في بُعد أكبر من أربعة، يمتلك أي مشعب مغلق بسيط الاتصال غير مغزلي مقياسًا ريمانيًا ذا انحناء قياسي موجب. ^{[ 35 ]} أكمل ستيفان ستولز نظرية الوجود للمشعبات المغلقة بسيطة الاتصال في بُعد أكبر من أربعة، موضحًا أنه طالما أن جنس α يساوي صفرًا، فإنه يوجد مقياس ريماني ذو انحناء قياسي موجب. ^{[ 36 ]}

وفقًا لهذه النتائج، بالنسبة للمشعبات المغلقة، فإن وجود المقاييس الريمانية ذات الانحناء القياسي الموجب يتم حسمه تمامًا في الحالة ثلاثية الأبعاد وفي حالة المشعبات المتصلة ببساطة ذات البعد الأكبر من أربعة.