الجهد النيوتوني

في الرياضيات ، يُعرف جهد نيوتن ، أو كمون نيوتن ، بأنه مؤثر في حساب المتجهات يعمل كمعكوس لمؤثر لابلاس السالب على الدوال الملساء التي تتلاشى بسرعة كافية عند اللانهاية. ولذلك، فهو موضوع أساسي للدراسة في نظرية الكمون . في طبيعته العامة، هو مؤثر تكاملي منفرد ، يُعرَّف بالالتفاف مع دالة لها نقطة تفرد رياضية عند نقطة الأصل، وهي نواة نيوتن.${\displaystyle \Gamma }$وهو الحل الأساسي لمعادلة لابلاس . سُمّي نسبةً إلى إسحاق نيوتن ، الذي اكتشفه لأول مرة وأثبت أنه دالة توافقية في حالة خاصة بثلاثة متغيرات ، حيث كان بمثابة جهد الجاذبية الأساسي في قانون نيوتن للجاذبية الكونية . في نظرية الجهد الحديثة، يُنظر إلى جهد نيوتن على أنه جهد كهرساكن .

الجهد النيوتوني لدالة قابلة للتكامل ذات دعم مضغوط${\displaystyle f}$يُعرَّف بأنه الالتفاف

$${\displaystyle u(x)=\Gamma *f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\Gamma (xy)f(y)\,dy}$$

حيث النواة النيوتونية${\displaystyle \Gamma }$في الأبعاد${\displaystyle d}$يتم تعريفها بواسطة

$${\displaystyle \Gamma (x)={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\log {|x|},&d=2,\\{\frac {1}{d(2-d)\omega _{d}}}|x|^{2-d},&d\neq 2.\end{cases}}}$$

هنا${\displaystyle \omega _{d}}$يمثل حجم كرة الوحدة d (قد تختلف اصطلاحات الإشارة أحيانًا؛ قارن ( إيفانز 1998 ) و ( جيلبارج وترودينجر 1983 ) ). على سبيل المثال، لـ${\displaystyle d=3}$لدينا${\displaystyle \Gamma (x)=-1/(4\pi |x|)}$.

الجهد النيوتوني${\displaystyle w}$ل${\displaystyle f}$هو حل لمعادلة بواسون

$${\displaystyle \Delta w=f,}$$

أي أن عملية حساب الجهد النيوتني لدالة ما هي معكوس جزئي لمؤثر لابلاس.${\displaystyle w}$سيكون حلاً كلاسيكياً، أي قابلاً للتفاضل مرتين، إذا${\displaystyle f}$هي محدودة ومتصلة محليًا وفقًا لشرط هولدر ، كما أثبت أوتو هولدر . وكان السؤال مطروحًا حول ما إذا كان الاتصال وحده كافيًا. وقد أثبت هنريك بيتريني خطأ هذا الافتراض، حيث قدم مثالًا على دالة متصلة.${\displaystyle f}$والتي${\displaystyle w}$ليست قابلة للتفاضل مرتين. الحل ليس فريدًا، حيث أن إضافة أي دالة توافقية إلى${\displaystyle w}$لن يؤثر ذلك على المعادلة. يمكن استخدام هذه الحقيقة لإثبات وجود حلول فريدة لمسألة ديريشليه لمعادلة بواسون في مجالات منتظمة مناسبة، وللدوال ذات السلوك الجيد المناسب.${\displaystyle f}$: يقوم المرء أولاً بتطبيق جهد نيوتني للحصول على حل، ثم يقوم بالتعديل عن طريق إضافة دالة توافقية للحصول على بيانات الحدود الصحيحة.

يُعرَّف الجهد النيوتوني على نطاق أوسع بأنه عملية الالتفاف

$${\displaystyle \Gamma *\mu (x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\Gamma (xy)\,d\mu (y)}$$

متى${\displaystyle \mu }$هي مقياس رادون ذو دعم مضغوط . وهي تحقق معادلة بواسون.

$${\displaystyle \Delta w=\mu }$$

بمعنى التوزيعات . علاوة على ذلك، عندما يكون المقياس موجبًا ، يكون الجهد النيوتوني شبه توافقي على${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$.

لو${\displaystyle f}$إذا كانت دالة متصلة ذات دعم مضغوط (أو، بشكل أعم، مقياس محدود) ثابتة دورانيًا ، فإن التفاف${\displaystyle f}$مع${\displaystyle \Gamma }$يرضي لـ${\displaystyle x}$خارج نطاق دعم${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f*\Gamma (x)=\lambda \Gamma (x),\quad \lambda =\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)\,dy.}$$

في الأبعاد${\displaystyle d=3}$، وهذا يختزل إلى نظرية نيوتن التي تنص على أن طاقة الوضع لكتلة صغيرة خارج توزيع كتلة كروي متناظر أكبر بكثير هي نفسها كما لو كانت كل كتلة الجسم الأكبر مركزة في مركزه.

عندما يكون المقياس${\displaystyle \mu }$يرتبط بتوزيع الكتلة على سطح فائق أملس بدرجة كافية${\displaystyle S}$( سطح ليابونوف من فئة هولدر)${\displaystyle C^{1,\alpha }}$) الذي يقسم${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$إلى منطقتين${\displaystyle D_{+}}$و${\displaystyle D_{-}}$ثم الجهد النيوتوني لـ${\displaystyle \mu }$يُشار إليه باسم جهد الطبقة البسيط . جهود الطبقة البسيطة متصلة وتحل معادلة لابلاس باستثناء${\displaystyle S}$تظهر هذه الظاهرة بشكل طبيعي في دراسة الكهرباء الساكنة في سياق الجهد الكهروستاتيكي المرتبط بتوزيع الشحنة على سطح مغلق.${\displaystyle \mathrm {d} \mu =f\mathrm {d} H}$هو ناتج دالة متصلة على${\displaystyle S}$مع${\displaystyle (d-1)}$مقياس هاوسدورف ذو الأبعاد n ، ثم عند نقطة${\displaystyle y}$ل${\displaystyle S}$، وتخضع المشتقة العادية لانقطاع مفاجئ.${\displaystyle f(y)}$عند عبور الطبقة. علاوة على ذلك، فإن المشتق الطبيعي لـ${\displaystyle w}$هي دالة متصلة محددة جيدًا على${\displaystyle S}$وهذا يجعل الطبقات البسيطة مناسبة بشكل خاص لدراسة مسألة نيومان لمعادلة لابلاس.

• جهد الطبقة المزدوجة
• وظيفة غرين
• إمكانات ريز
• دالة غرين لمعادلة لابلاس ذات ثلاثة متغيرات

• إيفانز، إل سي (1998)، المعادلات التفاضلية الجزئية ، بروفيدنس: الجمعية الرياضية الأمريكية، رقم ISBN 0-8218-0772-2.
• جيلبارج، د.؛ ترودينجر، نيل (1983)، المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية من الرتبة الثانية ، نيويورك: سبرينغر، ISBN 3-540-41160-7.
• سولومينتسيف، إي دي (2001) [1994]، "جهد نيوتن" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
• سولومينتسيف، إي دي (2001) [1994]، "جهد الطبقة البسيطة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
• سولومينتسيف، إي دي (2001) [1994]، "الجهد السطحي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس