مرشح سينك

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 24 صور
الموسوعة الحرة
دالة sinc المعيارية ، والاستجابة النبضية لمرشح sinc الزمني، والاستجابة الترددية لمرشح sinc الترددي
الدالة المستطيلة ، والاستجابة الترددية لمرشح sinc-in-time، والاستجابة النبضية لمرشح sinc-in-frequency

في معالجة الإشارات ، يُشير مُرشِّح sinc إما إلى مُرشِّح sinc-in-time ذي استجابة نبضية دالة sinc واستجابة ترددية مستطيلة ، أو إلى مُرشِّح sinc-in-frequency ذي استجابة نبضية مستطيلة واستجابة ترددية دالة sinc. يُجنِّب استخدام التسمية المُعتمدة على المجال الذي يُشابه فيه المُرشِّح دالة sinc الالتباس. إذا لم يُحدَّد المجال، يُفترض غالبًا أنه مُرشِّح sinc-in-time، أو يُمكن استنتاج المجال الصحيح من السياق.

متزامن مع الزمن

مرشح Sinc-in-time هو مرشح مثالي يزيل جميع مكونات التردد التي تتجاوز تردد قطع معين ، دون إضعاف الترددات المنخفضة، وله استجابة طورية خطية . ولذلك يمكن اعتباره مرشحًا ذا جدار صلب أو مرشحًا مستطيلًا.

استجابتها النبضية هي دالة sinc في المجال الزمني :

الخطيئة⁡(πت)πت{\displaystyle {\frac {\sin(\pi t)}{\pi t}}}

بينما يكون استجابة ترددها دالة مستطيلة :

ح(و)=مستطيل⁡(و2ب)={0،لو |و|>ب،12،لو |و|=ب،1،لو |و|<ب،{\displaystyle H(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B}}\right)={\begin{cases}0,&{\text{إذا كان }}|f|>B,\\{\frac {1}{2}},&{\text{إذا كان }}|f|=B,\\1,&{\text{إذا كان }}|f|<B,\end{cases}}}

أينب{\displaystyle B}(الذي يمثل عرض نطاقه ) هو تردد قطع عشوائي.

يتم تحديد استجابتها النبضية من خلال التحويل العكسي لفورييه لاستجابتها الترددية:

ح(ت)=F-1{ح(و)}=∫-ببخبرة⁡(2πأناوت)دو=2بمنذ⁡(2بت){\displaystyle {\begin{aligned}h(t)={\mathcal {F}}^{-1}\{H(f)\}&=\int _{-B}^{B}\exp(2\pi ift)\,df\\&=2B\operatorname {sinc} (2Bt)\end{aligned}}}

حيث sinc هي دالة sinc المعيارية .

مرشحات جدار الطوب

يُعرف المرشح الإلكتروني المثالي ذو النقل الكامل في نطاق التمرير، والتوهين الكامل في نطاق الإيقاف، والانتقالات المفاجئة، باسم "مرشح الجدار الصلب" (نسبةً إلى شكل دالة النقل ). يُعد مرشح sinc-in-time مرشح تمرير منخفض من نوع الجدار الصلب، والذي يُمكن من خلاله بسهولة بناء مرشحات تمرير نطاق ومرشحات تمرير عالي من نوع الجدار الصلب .

مرشح التمرير المنخفض ذو القطع الحاد عند التردد B L له استجابة نبضية ودالة نقل معطاة بواسطة:

حلPF(ت)=2بلمنذ⁡(2بلت){\displaystyle h_{LPF}(t)=2B_{L}\operatorname {sinc} \left(2B_{L}t\right)}
حلPF(و)=مستطيل⁡(و2بل).{\displaystyle H_{LPF}(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{L}}}\right).}

مرشح تمرير النطاق ذو الحافة النطاقية السفلية B L والحافة النطاقية العلوية B H هو مجرد الفرق بين مرشحين sinc-in-time (بما أن المرشحات ذات طور صفري، فإن استجابات السعة الخاصة بها تطرح مباشرة): [ 1 ]

حبPF(ت)=2بحمنذ⁡(2بحت)-2بلمنذ⁡(2بلت){\displaystyle h_{BPF}(t)=2B_{H}\operatorname {sinc} \left(2B_{H}t\right)-2B_{L}\operatorname {sinc} \left(2B_{L}t\right)}
حبPF(و)=مستطيل⁡(و2بح)-مستطيل⁡(و2بل).{\displaystyle H_{BPF}(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{H}}}\right)-\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{L}}}\right).}

إن مرشح الترددات العالية ذو الحافة النطاقية السفلية B H هو مجرد مرشح شفاف ناقص مرشح sinc-in-time، مما يوضح أن دالة ديراك دلتا هي نهاية مرشح sinc-in-time ضيق النطاق الزمني:

ححPF(ت)=دلتا(ت)-2بحمنذ⁡(2بحت){\displaystyle h_{HPF}(t)=\delta (t)-2B_{H}\operatorname {sinc} \left(2B_{H}t\right)}
ححPF(و)=1-مستطيل⁡(و2بح).{\displaystyle H_{HPF}(f)=1-\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{H}}}\right).}

غير قابل للتحقيق

بما أن مرشح sinc-in-time له استجابة نبضية لا نهائية في الاتجاهين الزمنيين الموجب والسالب، فهو غير سببي وله تأخير لا نهائي (أي أن نطاقه المحدود في مجال التردد يجبر استجابته الزمنية على أن تكون ذات نطاق غير محدود، مما يعني أنها دائمة) ورتبة لا نهائية (أي لا يمكن التعبير عن الاستجابة كمعادلة تفاضلية خطية ذات مجموع محدود). ومع ذلك، يُستخدم في البراهين المفاهيمية، مثل نظرية أخذ العينات وصيغة ويتاكر-شانون للاستيفاء .

يجب تقريب مرشحات sinc-in-time للتطبيقات الواقعية (غير المجردة)، وذلك عادةً عن طريق تقسيم نواة مرشح sinc-in-time المثالي إلى نوافذ واقتطاعها ، ولكن القيام بذلك يقلل من خصائصه المثالية. [ 2 ] وينطبق هذا على مرشحات الجدار الصلب الأخرى المبنية باستخدام مرشحات sinc-in-time.

استقرار

مرشح sinc ليس مستقرًا وفقًا لمعيار BIBO (مدخل محدود - مخرج محدود) . بمعنى آخر، يمكن لمدخل محدود أن ينتج عنه مخرج غير محدود، لأن تكامل القيمة المطلقة لدالة sinc لانهائي. مثال على مدخل محدود ينتج عنه مخرج غير محدود هو sgn(sinc( t )). مثال آخر هو sin( 2πBt ) u ( t )، وهي موجة جيبية تبدأ عند الزمن صفر، بتردد القطع.

دالة sinc في مجال التردد

استجابة التردد بالديسيبل لمرشحات المتوسط ​​المتحرك. تم رسم التردد بالنسبة لتردد أخذ العينات.وS{\displaystyle f_{S}}.
استجابة التردد لمجموع 16 عينة باستخدام  تردد أخذ عينات 1000 هرتز، ممتدة إلى 4 أضعاف تردد نايكويست. ولأن دالة النقل دورية، فإن هذا النمط المتكرر يستمر إلى ما لا نهاية.

يستخدم أبسط تطبيق لمرشح sinc-in-frequency استجابة نبضية مربعة لإنتاج متوسط ​​متحرك بسيط (خاصةً عند القسمة على عدد العينات)، ويُعرف أيضًا باسم مرشح التجميع والتفريغ (خاصةً عند الجمع فقط دون قسمة). ويمكن نمذجته كمرشح استجابة نبضية محدودة (FIR) مع جميعشمال{\displaystyle N}المعاملات متساوية. يتم أحيانًا ربطها على التوالي لإنتاج متوسطات متحركة من الرتبة الأعلى (انظر استجابة النبضة المحدودة §  مثال المتوسط ​​المتحرك ومرشح التكامل-المشط المتتالي ).

يمكن استخدام هذا المرشح لتقليل معدل أخذ العينات (المعروف أيضًا باسم التخفيض) بشكل تقريبي ولكنه سريع وسهل بمعاملشمال.{\displaystyle N.}إن بساطة المرشح تتناقض مع قدراته المتواضعة في تمرير الترددات المنخفضة. يحتوي نطاق الإيقاف على فصوص دورية ذات ارتفاع متناقص تدريجيًا بين نقاط الصفر عند مضاعفاتوSشمال{\textstyle {\frac {f_{S}}{N}}}يبلغ مستوى الفص الأول -11.3 ديسيبل لمتوسط ​​متحرك مكون من 4 عينات، أو -12.8 ديسيبل لمتوسط ​​متحرك مكون من 8 عينات، و-13.1 ديسيبل لمتوسط ​​متحرك مكون من 16 عينة.   شمال{\displaystyle N}- تم أخذ عينة من مرشح العينة عندوS{\displaystyle f_{S}}سيتم استخدام جميع مكونات الإشارة غير المخففة بالكامل التي تقع أعلاه كبديل.وS2شمال{\textstyle {\frac {f_{S}}{2N}}}إلى نطاق التردد الأساسي الذي يتراوح من التيار المستمر إلىوS2شمال.{\textstyle {\frac {f_{S}}{2N}}.}

معالجة مرشح متوسط ​​المجموعةشمال{\displaystyle N}العينات لديهاشمال2{\displaystyle {\tfrac {N}{2}}}أصفار الإرسال متباعدة بالتساوي بواسطةوSشمال،{\displaystyle {\tfrac {f_{S}}{N}},}مع أدنى صفر عندوSشمال{\displaystyle {\tfrac {f_{S}}{N}}}وأعلى صفر عندوS2{\displaystyle {\tfrac {f_{S}}{2}}}( تردد نايكويست ). فوق تردد نايكويست، ينعكس استجابة التردد ثم يتكرر دوريًا فوقه.وS{\displaystyle f_{S}}للأبد.

يُعدّ مقدار استجابة التردد (الموضح في هذه الرسوم البيانية) مفيدًا عند الرغبة في معرفة مقدار توهين الترددات. على الرغم من أن دالة sinc تتذبذب فعليًا بين قيم سالبة وموجبة، فإن القيم السالبة لاستجابة التردد تُقابل ببساطة إزاحة طورية مقدارها 180 درجة .

يمكن استخدام مرشح sinc العكسي لمعادلة الإشارة في المجال الرقمي (مثل مرشح FIR ) أو المجال التناظري (مثل مرشح مكبر العمليات ) لمواجهة التوهين غير المرغوب فيه في نطاق التردد المطلوب لتوفير استجابة ترددية مسطحة. [ 3 ]

انظر دالة النافذة §  النافذة المستطيلة لتطبيق نواة sinc كأبسط دالة نافذة.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ مارك أوين (2007). معالجة الإشارات العملية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص  81. ISBN 978-0-521-85478-8.
  2. ↑ سميث، ستيفن و. (1999). "مرشحات سينك ذات النافذة" (ملف PDF) . دليل العالم والمهندس لمعالجة الإشارات الرقمية ( الطبعة الثانية). دار النشر التقنية في كاليفورنيا. الصفحات 285-296 . ISBN   0-9660176-7-6.
  3. ↑ "ملاحظة تطبيقية رقم 3853: تقنيات معادلة الصوت تُسطّح استجابة تردد محول الإشارة الرقمية إلى التناظرية" . شركة Analog Devices . 20 أغسطس 2012. مؤرشف من الأصل بتاريخ 18 سبتمبر 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 2 يناير 2024 .