كادلاج

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 46 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرف الدالة càdlàg ( بالفرنسية : continue à droite, limite à gauche )، أو RCLL ("متصل من اليمين وله حدود من اليسار")، أو corlol ("متصل من اليمين، وله حدود من اليسار")، بأنها دالة مُعرَّفة على الأعداد الحقيقية (أو مجموعة جزئية منها) وتكون متصلة من اليمين في كل مكان ولها حدود من اليسار في كل مكان. تُعد دوال càdlàg مهمة في دراسة العمليات العشوائية التي تسمح (أو حتى تتطلب) بالقفزات، على عكس الحركة البراونية التي لها مسارات عينة متصلة. تُعرف مجموعة دوال càdlàg على مجال مُحدد باسم فضاء Skorokhod .

هناك مصطلحان مرتبطان هما càglàd ، الذي يرمز إلى " continue à gauche, limite à droite "، وهو عكس càdlàg من اليسار إلى اليمين، و càllàl الذي يرمز إلى " continue à l'un, limite à l'autre " (مستمر من جانب واحد، ونهاية من الجانب الآخر)، وذلك لدالة تكون عند كل نقطة من المجال إما càdlàg أو càglàd.

تعريف

تُعد دوال التوزيع التراكمي أمثلة على دوال càdlàg.
مثال على دالة التوزيع التراكمي مع مجموعة لا نهائية قابلة للعد من الانقطاعات

يترك(م،د){\displaystyle (M,d)}ليكن فضاءً متريًا ، وليكنهـ⊆R{\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }دالةو:هـ→م{\displaystyle f:E\to M}تُسمى دالة càdlàg إذا، لكلت∈هـ{\displaystyle t\in E}،

  • الحد الأيسرو(ت-):=ليمs→ت-و(s){\displaystyle f(t-):=\lim _{s\to t^{-}}f(s)}موجود؛ و
  • الحد الصحيحو(ت+):=ليمs→ت+و(s){\displaystyle f(t+):=\lim _{s\to t^{+}}f(s)}موجود ويساويو(ت){\displaystyle f(t)}.

إنه،و{\displaystyle f}هي دالة متصلة من اليمين ولها حدود من اليسار.

أمثلة

  • جميع الدوال المتصلة على مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية هي دوال càdlàg على تلك المجموعة الجزئية.
  • نتيجةً لتعريفها، فإن جميع دوال التوزيع التراكمي هي دوال متأخرة. على سبيل المثال، التوزيع التراكمي عند النقطةر{\displaystyle r}يتوافق مع احتمال أن يكون أقل من أو يساوير{\displaystyle r}، أيP[X≤ر]{\displaystyle \mathbb {P} [X\leq r]}بمعنى آخر، الفترة شبه المفتوحة التي تثير القلق بالنسبة للتوزيع ثنائي الذيل(-∞،ر]{\displaystyle (-\infty ,r]}مغلق من اليمين.
  • المشتق الأيمنو+′{\displaystyle f_{+}^{\prime }}لأي دالة محدبةو{\displaystyle f}الدالة المعرفة على فترة مفتوحة، هي دالة متزايدة cadlag.

مساحة سكوروهود

مجموعة جميع دوال càdlàg منهـ{\displaystyle E}لم{\displaystyle M}يُشار إليه غالبًا بـد(هـ:م){\displaystyle \mathbb {D} (E:M)}(أو ببساطة)د{\displaystyle \mathbb {D} }ويُطلق عليه اسم فضاء سكوروهود نسبةً إلى عالم الرياضيات الأوكراني أناتولي سكوروهود . يمكن إسناد طوبولوجيا إلى فضاء سكوروهود تسمح لنا بشكلٍ بديهي "بالتلاعب بالمكان والزمان قليلاً" (بينما تسمح لنا الطوبولوجيا التقليدية للتقارب المنتظم "بالتلاعب بالمكان قليلاً" فقط). [ 1 ] ولتبسيط الأمر، لنأخذهـ=[0،تي]{\displaystyle E=[0,T]}وم=Rن{\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}— انظر بيلينجسلي [ 2 ] للحصول على بنية أكثر عمومية.

يجب علينا أولاً تعريف نظير لمعامل الاستمرارية ،ϖو′(دلتا){\displaystyle \varpi '_{f}(\delta )}لأيF⊆هـ{\displaystyle F\subseteq E}، تعيين

wو(F):=رشفةs،ت∈F|و(s)-و(ت)|{\displaystyle w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|}

و، لـدلتا>0{\displaystyle \delta >0}، عرّف معامل càdlàg على النحو التالي

ϖو′(دلتا):=معلوماتΠالأعلى1≤أنا≤كwو([تأنا-1،تأنا))،{\displaystyle \varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),}

حيث يمتد الحد الأدنى على جميع الأقسامΠ={0=ت0<ت1<⋯<تك=تي}،ك∈هـ{\displaystyle \Pi =\{0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T\},\;k\in E}، معمينأنا(تأنا+1-تأنا)>دلتا{\displaystyle \min _{i}(t_{i+1}-t_{i})>\delta }هذا التعريف منطقي بالنسبة لغير كادلاجو{\displaystyle f}(تمامًا كما أن معامل الاستمرارية المعتاد يكون منطقيًا بالنسبة للدوال غير المتصلة).و{\displaystyle f}يكون كادلاج إذا وفقط إذاليمدلتا→0ϖو′(دلتا)=0{\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\varpi '_{f}(\delta )=0}.

والآن لنبدأΛ{\displaystyle \Lambda }لنرمز إلى مجموعة جميع الدوال التقابلية المتزايدة تمامًا والمتصلة منهـ{\displaystyle E}لنفسها (هذه "تموجات في الزمن"). دع

‖و‖:=رشفةت∈هـ|و(ت)|{\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|}

يرمز إلى المعيار الموحد على الدوال علىهـ{\displaystyle E}عرّف مقياس سكوروهودσ{\displaystyle \sigma }علىد{\displaystyle \mathbb {D} }بواسطة

σ(و،ز):=معلوماتλ∈Λالأعلى{‖λ-أنا‖،‖و-ز∘λ‖}،{\displaystyle \sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|fg\circ \lambda \|\},}

أينأنا:هـ→هـ{\displaystyle I:E\to E}هي دالة التطابق. من حيث الحدس "المتذبذب"،‖λ-أنا‖{\displaystyle \|\lambda -I\|}يقيس حجم "التذبذب مع مرور الوقت"، و‖و-ز∘λ‖{\displaystyle \|fg\circ \lambda \|}يقيس حجم "التذبذب في الفضاء".

إن مقياس سكوروهود هو بالفعل مقياس. الطوبولوجياΣ{\displaystyle \Sigma }تم إنشاؤه بواسطةσ{\displaystyle \sigma }تُسمى هذه الطوبولوجيا بطوبولوجيا سكورخود .د{\displaystyle \mathbb {D} }.

مقياس مكافئ،

د(و،ز):=معلوماتλ∈Λ(‖λ-أنا‖+‖و-ز∘λ‖)،{\displaystyle d(f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }(\|\lambda -I\|+\|fg\circ \lambda \|)،}

تم تقديمها بشكل مستقل واستخدامها في نظرية التحكم لتحليل أنظمة التبديل. [ 3 ]

خصائص فضاء سكوروهود

تعميم الطوبولوجيا المنتظمة

المساحةج{\displaystyle C}من الدوال المتصلة علىهـ{\displaystyle E}هو فضاء جزئي مند{\displaystyle \mathbb {D} }طوبولوجيا سكوروهود النسبية إلىج{\displaystyle C} يتوافق ذلك مع البنية الطوبولوجية المنتظمة هناك.

اكتمال

بالرغم مند{\displaystyle \mathbb {D} }لا يمثل فضاءً كاملاً فيما يتعلق بمقياس سكوروهودσ{\displaystyle \sigma }، يوجد مقياس مكافئ طوبولوجيًاσ0{\displaystyle \sigma _{0}}فيما يتعلق بأيد{\displaystyle \mathbb {D} }مكتمل. [ 4 ]

قابلية الفصل

فيما يتعلق بأي منهماσ{\displaystyle \sigma }أوσ0{\displaystyle \sigma _{0}}،د{\displaystyle \mathbb {D} }هو فضاء قابل للفصل . وبالتالي، فإن فضاء سكوروهود هو فضاء بولندي .

ضيق في مساحة سكوروهود

بتطبيق نظرية أرزيلا-أسكولي ، يمكن إثبات أن متتالية(μن)ن=1،2،...{\displaystyle (\mu _{n})_{n=1,2,\dots }}مقاييس الاحتمالية على فضاء سكوروهودد{\displaystyle \mathbb {D} }تكون الحالة ضيقة إذا وفقط إذا تحققت الشروط التالية:

ليمأ→∞ليم سوبن→∞μن({و∈د|‖و‖≥أ})=0،{\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in \mathbb {D} \;|\;\|f\|\geq a\}{\big )}=0,}

و

ليمدلتا→0ليم سوبن→∞μن({و∈د|ϖو′(دلتا)≥ε})=0 للجميع ε>0.{\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in \mathbb {D} \;|\;\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}{\big )}=0{\text{ لجميع }}\varepsilon >0.}

البنية الجبرية والطوبولوجية

في ظل طوبولوجيا سكوروهود والجمع النقطي للدوال،د{\displaystyle \mathbb {D} }ليست مجموعة طوبولوجية، كما يتضح من المثال التالي:

يتركهـ=[0،2){\displaystyle E=[0,2)}لنفترض أنها فترة نصف مفتوحة ونأخذون=χ[1-1/ن،2)∈د{\displaystyle f_{n}=\chi _{[1-1/n,2)}\in \mathbb {D} }أن تكون سلسلة من الدوال المميزة. على الرغم من حقيقة أنون→χ[1،2){\displaystyle f_{n}\rightarrow \chi _{[1,2)}}في طوبولوجيا سكوروهود، التسلسلون-χ[1،2){\displaystyle f_{n}-\chi _{[1,2)}}لا يتقارب إلى الصفر.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ "فضاء سكوروهود - موسوعة الرياضيات" .
  2. ↑ بيلينجسلي، ب. تقارب مقاييس الاحتمالية . نيويورك: وايلي.
  3. ↑ جورجيو، تي تي وسميث، إم سي (2000). "متانة مذبذب الاسترخاء". المجلة الدولية للتحكم القوي وغير الخطي . 10 ( 11-12 ): 1005-1024 . doi : 10.1002/1099-1239(200009/10)10:11/12 < 1005::AID-RNC536 > 3.0.CO ; 2-Q .{{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  4. ↑ بيلينجسلي، ب. تقارب مقاييس الاحتمالية . نيويورك: وايلي.

للمزيد من القراءة

  • بيلينغسلي، باتريك (1995). الاحتمال والقياس . نيويورك، نيويورك: جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 0-471-00710-2.
  • بيلينغسلي، باتريك (1999). تقارب مقاييس الاحتمال . نيويورك، نيويورك: جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 0-471-19745-9.