شكل اللحام

في الرياضيات ، وبشكل أكثر دقة في الهندسة التفاضلية ، فإن لحام (أو أحيانًا شكل اللحام ) لحزمة ألياف بمشعب أملس هو طريقة لربط الألياف بالمشعب بطريقة يمكن اعتبارها مماسة. وبشكل حدسي، يعبر اللحام بمصطلحات مجردة عن فكرة أن المشعب قد يكون له نقطة اتصال مع هندسة كلاين نموذجية معينة عند كل نقطة. في الهندسة التفاضلية الخارجية، يتم التعبير عن اللحام ببساطة من خلال مماس مساحة النموذج للمشعب. في الهندسة الجوهرية، هناك حاجة إلى تقنيات أخرى للتعبير عنها. تم تقديم اللحام بهذا الشكل العام بواسطة تشارلز إريسمان في عام 1950. ^[1]

ليكن M متعدد شعب أملس، و G مجموعة لي ، وليكن E حزمة ألياف ناعمة على M بمجموعة بنية G. افترض أن G تعمل بشكل انتقالي على الألياف النموذجية F لـ E ، وأن dim F = dim M. يتكون لحام E إلى M من البيانات التالية:

1. قسم مميز : م → هـ . ​
2. تماثل خطي لحزم المتجهات θ: T M → o ^* V E من الحزمة المماسية لـ M إلى الانسحاب للحزمة الرأسية لـ E على طول المقطع المميز.

على وجه الخصوص، يمكن تفسير هذا الشرط الأخير على أنه يقول إن θ يحدد تماثلًا خطيًا

${\displaystyle \theta _{x}:T_{x}M\rightarrow V_{o(x)}E}$

من الفضاء المماس لـ M عند x إلى الفضاء المماس (الرأسي) للألياف عند النقطة التي يحددها المقطع المميز. يسمى الشكل θ شكل اللحام للحام.

حسب الاتفاقية، عندما يكون اختيار اللحام فريدًا أو محددًا بشكل قانوني، يُطلق على شكل اللحام اسم الشكل القانوني أو الشكل التقليدي.

افترض أن E عبارة عن حزمة متجهية أفينية (حزمة متجهية بدون اختيار القسم الصفري). عندئذٍ يحدد اللحام على E أولاً قسمًا مميزًا : أي اختيار القسم الصفري o ، بحيث يمكن تحديد E كحزمة متجهية. يكون شكل اللحام بعد ذلك تماثلًا خطيًا

${\displaystyle \theta \colon TM\to V_{o}E,}$

ومع ذلك، بالنسبة لحزمة المتجهات، يوجد تماثل قياسي بين المساحة الرأسية عند الأصل والألياف V _o E ≈ E . لإجراء هذا التعريف، يتم تحديد شكل اللحام بواسطة تماثل خطي

${\displaystyle TM\to E.}$

بعبارة أخرى، اللحام على الحزمة الأفينية E هو اختيار تماثل E مع الحزمة المماسية لـ M.

غالبًا ما يتم الحديث عن شكل اللحام على حزمة متجهة ، حيث يُفهم مسبقًا أن القسم المميز من اللحام هو القسم الصفري للحزمة. في هذه الحالة، غالبًا ما يتم تكبير مجموعة البنية لحزمة المتجه ضمناً من خلال المنتج شبه المباشر لـ GL ( n ) مع الألياف النموذجية لـ E (وهو تمثيل لـ GL ( n )). ^[2]

• على سبيل المثال، كحالة خاصة، تحمل الحزمة المماسية نفسها شكل لحام أساسي، ألا وهو الهوية.
• إذا كان لدى M مقياس ريماني (أو مقياس شبه ريماني )، فإن موتر المقياس المتغير يعطي تماثلًا من الحزمة المماسية إلى الحزمة المماسية ، وهو شكل لحام.${\displaystyle g\colon TM\to T^{*}M}$
• في ميكانيكا هاميلتون ، يُعرف شكل اللحام بالشكل الواحد التوتولوجي ، أو بشكل بديل باسم شكل ليوفيل الواحد ، أو شكل بوانكاريه الواحد ، أو الشكل الواحد القانوني ، أو الإمكانات السمبلكتيكية .
• لننظر إلى شريط موبيوس باعتباره حزمة ألياف فوق الدائرة. الحزمة الرأسية o ^* V E لا تزال عبارة عن شريط موبيوس، في حين أن الحزمة المماسية T M هي الأسطوانة، لذا لا يوجد شكل لحام لهذا.

• يسمح شكل اللحام على حزمة متجهة بتحديد موتر الالتواء والالتواء للاتصال .

• تحدث أشكال اللحام في نموذج سيجما ، حيث تقوم بلصق الفضاء المماس لمتعدد الزمكان مع الفضاء المماس لمتعدد المجال.

• تبدو الرباعيات أو الفيرباينات في النسبية العامة مثل أشكال اللحام، حيث تلصق معًا مخططات الإحداثيات على متعدد الشعب الزمكاني، إلى الأساس المفضل، المتعامد عادةً، على الفضاء المماس، حيث يمكن تبسيط الحسابات إلى حد كبير. وهذا يعني أن مخططات الإحداثيات هي في التعريفات أعلاه، وحقل الإطار هو الحزمة الرأسية . في نموذج سيجما، تكون الفيرباينات صراحة أشكال اللحام.${\displaystyle TM}$${\displaystyle VE}$

في لغة الحزم الرئيسية، فإن شكل اللحام على حزمة G الرئيسية الملساء P فوق متعدد الشعب الأملس M هو شكل تفاضلي أفقي ومتغاير G 1 على P مع قيم في تمثيل خطي V لـ G بحيث تكون خريطة الحزمة المرتبطة من الحزمة المماسية TM إلى الحزمة المرتبطة P × _G V عبارة عن تماثل حزمة . (على وجه الخصوص، يجب أن يكون لـ V و M نفس البعد.)

من الأمثلة التحفيزية لشكل اللحام هو الشكل الأساسي أو المكرر على حزمة إطار متعدد الشعب.

يرجع سبب التسمية إلى أن قالب اللحام يلحم (أو يلصق) الحزمة الأساسية المجردة بالمشعب M من خلال تحديد حزمة مرتبطة بالحزمة المماسية. توفر أشكال اللحام طريقة لدراسة هياكل G وهي مهمة في نظرية اتصالات كارتان . المصطلحات والنهج شائعان بشكل خاص في أدبيات الفيزياء.

• إرسمان، سي. (1950). "الاتصالات اللانهائية في مساحة ألياف مختلفة". Colloque de Topologie، بروكسل : 29-55.
• كوباياشي، شوشيتشي (1957). "نظرية الاتصالات". Ann. Mat. Pura Appl . 43 (1): 119–194. doi : 10.1007/BF02411907 .
• كوباياشي، شوشيتشي ونوميزو، كاتسومي (1996). أساسيات الهندسة التفاضلية ، المجلد 1 و2 (الطبعة الجديدة). وايلي إنترساينس . رقم ISBN 0-471-15733-3.