هوية صوفي جيرمان

في الرياضيات، تُعرف متطابقة صوفي جيرمان بأنها تحليل متعدد الحدود، سُميت نسبةً إلى صوفي جيرمان، وتنص على أن $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+4y^{4}&={\bigl (}(x+y)^{2}+y^{2}{\bigr )}\cdot {\bigl (}(xy)^{2}+y^{2}{\bigr )}\\&=(x^{2}+2xy+2y^{2})\cdot (x^{2}-2xy+2y^{2}).\end{aligned}}}$$ إلى جانب استخدامه في الجبر الابتدائي ، يمكن استخدامه أيضًا في نظرية الأعداد لتحليل الأعداد الصحيحة من الشكل الخاص${\displaystyle x^{4}+4y^{4}}$وغالباً ما تشكل أساساً للمسائل في مسابقات الرياضيات . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

على الرغم من أن هذه الهوية نُسبت إلى صوفي جيرمان، إلا أنها لا تظهر في أعمالها. بدلاً من ذلك، يمكن العثور على الهوية ذات الصلة في أعمالها ^{[ 4 ] [ 5 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+y^{4}&=(x^{2}-y^{2})^{2}+2(xy)^{2}\\&=(x^{2}+y^{2})^{2}-2(xy)^{2}.\\\end{aligned}}}$$ تعديل هذه المعادلة عن طريق الضرب${\displaystyle y}$بواسطة${\displaystyle {\sqrt {2}}}$أعطِ $${\displaystyle x^{4}+4y^{4}=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4(xy)^{2},}$$ الفرق بين مربعين ، ومنه تُستنتج هوية جيرمان. ^{[ 5 ]} وقد نسب ليونارد يوجين ديكسون هذه الهوية إلى جيرمان بشكل غير دقيق في كتابه "تاريخ نظرية الأعداد" ، الذي ذكر أيضًا (بشكل غير دقيق أيضًا) أنه يمكن العثور عليها في رسالة من ليونارد أويلر إلى كريستيان غولدباخ . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

يمكن إثبات المتطابقة ببساطة عن طريق ضرب حدي التحليل معًا، والتحقق من أن حاصل ضربهما يساوي الطرف الأيمن من المعادلة. ^{[ 7 ]} كما يمكن تقديم برهان بدون كلمات بالاعتماد على تطبيقات متعددة لنظرية فيثاغورس . ^{[ 1 ]}

إحدى نتائج هوية جيرمان هي أن أعداد الشكل $${\displaystyle n^{4}+4^{n}}$$ لا يمكن أن يكون رئيسيًا لـ${\displaystyle n>1}$. (ل${\displaystyle n=1}$والنتيجة هي العدد الأولي 5.) من الواضح أنها ليست أعدادًا أولية إذا${\displaystyle n}$زوجي، وإذا${\displaystyle n}$من الغريب أن يكون لديهم تحليل إلى عوامل أولية معطى بواسطة المتطابقة مع${\displaystyle x=n}$و${\displaystyle y=2^{(n-1)/2}}$[ ^{3 ] [ 7 ]} هذه الأرقام (التي تبدأ ^بـ${\displaystyle n=0}$) تشكل متتالية الأعداد الصحيحة

ينبع العديد من ظهورات متطابقة صوفي جيرمان في مسابقات الرياضيات من هذه النتيجة المترتبة عليها. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

حالة خاصة أخرى للهوية مع${\displaystyle x=1}$و${\displaystyle y=2^{k}}$ يمكن استخدامها لإنتاج التحليل إلى عوامل $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{4}(2^{2k+1})&=2^{4k+2}+1\\&=(2^{2k+1}-2^{k+1}+1)\cdot (2^{2k+1}+2^{k+1}+1),\\\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \Phi _{4}(x)=x^{2}+1}$هي رابع متعددة حدود حلقية . وكما هو الحال مع متعددات الحدود الحلقية بشكل عام،${\displaystyle \Phi _{4}}$هي كثيرة حدود غير قابلة للاختزال ، لذا لا يمكن تعميم هذا التحليل لعدد لا نهائي من قيمها على تحليل لـ${\displaystyle \Phi _{4}}$باعتبارها متعددة الحدود، مما يجعل هذا مثالاً على تحليل أوريفويل . ^{[ 8 ]}

تم تعميم هوية جيرمان إلى المعادلة الوظيفية$${\displaystyle f(x)^{2}+4f(y)^{2}={\bigl (}f(x+y)+f(y){\bigr )}{\bigl (}f(xy)+f(y){\bigr )},}$$ والتي تتحقق، وفقًا لهوية صوفي جيرمان، بواسطة الدالة المربعة . ^{[ 4 ]}